2016屆百校聯(lián)盟全國(guó)卷II高考《考試大綱》調(diào)研卷文科數(shù)學(xué)(第九模擬)(解析版)

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1 頁(yè) 百校聯(lián)盟 2016 年全國(guó)卷 II 高考 考試大綱 調(diào)研卷文科數(shù)學(xué) 第九模擬 一 選擇題 共 12 題 1 已知集合 A y y 2x x0 得 0 x 3 B 0 3 A B 0 3 故選 C 2 若 x yi x y R i 為虛數(shù)單位 則 1 2 A 2 B 15 C 2 D 15 答案 A 解析 本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況 解題的關(guān)鍵是將分母實(shí)數(shù)化 對(duì)已 知等式進(jìn)行化簡(jiǎn) x yi 2 i x 2 y 1 所以 2 1 2 3 下列函數(shù)中 在區(qū)間 1 上是增函數(shù)的是 A y x 1 B y C y x 1 2 D y 31 x 11 答案 B 解析 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性 考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況與基本的運(yùn)算求解能力 由題意可知 y x 1 與 y 31 x 在定義域上均為減函數(shù) y x 1 2 的對(duì)稱軸為 x 1 且開口向下 所以在區(qū)間 1 上是減函數(shù) 只有函數(shù) y 在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 故選 B 11 4 a 1 是 x 0 R asinx 0 1 0 的 2 頁(yè) A 必要不充分條件 B 充分不必要條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 答案 B 解析 本題考查常用邏輯用語(yǔ)的知識(shí) 主要是充要關(guān)系的判斷 考查考生的邏輯思維能力和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的 掌握情況 由題意知 x0 R asinx 0 1 0 等價(jià)于 asinx 1 min0 時(shí) a 11 或當(dāng) a 0 時(shí) a 1 0 即 a 1 所以 a 1 是 x0 R asinx0 1 0 的充分不必要條件 故選 B 5 已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 拋物線 y2 2x 的焦點(diǎn)為 F M 3 2 點(diǎn) Q 在拋物線上 則 MQ QF 的最小值 為 A 3 B 2 C D 52 72 答案 D 解析 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì) 意在考查考生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)和運(yùn)算能力 由題意得 拋物線的準(zhǔn)線方程為 x 當(dāng) MQ x 軸時(shí) MQ QF 取得最小值 此時(shí) MQ QF 12 72 6 某程序框圖如圖所示 若輸出的 k 的值為 3 則輸入的 x 的取值范圍為 A 15 60 B 15 60 C 12 48 D 12 48 答案 B 解析 本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖 考查考生的運(yùn)算求解能力 高考對(duì)算法的考查主要以程序框圖 為載體 考查函數(shù) 數(shù)列 不等式等基礎(chǔ)知識(shí) 3 頁(yè) 根據(jù)程序框圖的要求逐步分析每次循環(huán)后的結(jié)果 可得不等式組 解得 153 3 2 31 3 3 2 3 3 7 已知實(shí)數(shù) x y 滿足不等式組 則 z x 3y 7 的最大值為 2 0 0 3 A 5 B 11 C 15 D 19 答案 D 解析 本題主要考查線性規(guī)劃的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想 解題的關(guān)鍵是正確畫出滿足不等式組的平面區(qū)域 通解 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示 將 z x 3y 7 變形為 y x 數(shù)形結(jié)合可 13 73 知 當(dāng)直線 y x 過點(diǎn) B 3 5 時(shí) z 的值最大 此時(shí)為 19 z 的最大值為 19 故選 D 13 73 優(yōu)解 解不等式組可得三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 3 3 3 5 1 1 分別代入 z x 3y 7 得 z x 3y 7 的最大值 為 19 8 已知數(shù)列 a n 為等差數(shù)列 若 25 恒成立 則 a1 3a7 的取值范圍為 21 210 A 5 5 B 5 5 C 10 10 D 10 10 2 2 2 2 答案 D 解析 本題以不等式為切入點(diǎn) 考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì) 考查考生的基本運(yùn)算能力 解法一 由數(shù)列 a n 為等差數(shù)列 可知 a1 3a7 2 a1 a10 則可將題目轉(zhuǎn)化為圓面 25 與直線 21 210 z 2 a1 a10 的關(guān)系 由點(diǎn)到直線的距離知 a 1 3a7 的取值范圍為 10 10 2 2 4 頁(yè) 解法二 由數(shù)列 a n 為等差數(shù)列 可知 a1 3a7 2 a1 a10 由基本不等式 2 得 2 a 1 a10 10 1 102 21 2102 當(dāng)且僅當(dāng) a1 a10 時(shí)取等號(hào) a 1 3a7 的取值范圍為 10 10 2 2 2 9 已知函數(shù) f x asinx cos 2x a a R a 0 若對(duì)任意 x R 都有 f x 0 則 a 的取值范圍是 12 3 12 A 0 B 1 0 0 1 C 0 1 D 1 3 32 答案 C 解析 本題主要考查二倍角公式等知識(shí) 考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況 由 f x asinx cos 2x a 得 f x sin2x asinx a 令 t sinx 1 t 1 則 g t t2 at a 對(duì)任意 x R f x 0 12 3 12 3 3 恒成立的充要條件是 解得 00 b 0 的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn) 過 F 作 x 軸的垂線在第一象限與雙曲線交 2 2 2 2 于點(diǎn) P AP 的延長(zhǎng)線與雙曲線在第一象限的漸近線交于點(diǎn) Q 過 Q 作 QR x 軸于 R 若 AF 2 AR 則雙2 曲線的離心率是 A B C 2 D 2 3 2 5 答案 A 解析 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)等知識(shí) 考查考生的運(yùn)算求解能力和對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用能 力 由題意設(shè) F c 0 則由 OA a 得 AF c a 將 x c 代入雙曲線得 P c 則直線 AP 的斜率為 所以直線 2 2 AP 的方程為 y x a 與漸近線 y x 聯(lián)立 解得 x 所以 AR a 因?yàn)?2 2 AF 2 AR 所以 c a 2 則 b c 1 a 代入 c2 a2 b2 得 c2 a2 c2 2 1 ac 3 2 a2 2 2 2 2 2 2 解得 即 e 故選 A 2 2 12 已知函數(shù) f x 若方程 f x kx 2 有三個(gè)不相等的實(shí)根 則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 12 0 2 2 8 15 2 A 0 B 1 C 2 8 1 D 2 8 12 12 13 12 13 答案 D 解析 本題主要考查分段函數(shù) 方程的根 考查考生分析問題和解決問題的能力 解答時(shí) 考慮分段進(jìn)行處 理 因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)方程的根 因此處理函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題時(shí) 通常利用其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系 來解決 6 頁(yè) 設(shè) g x kx 2 則 y f x y g x 的圖象有三個(gè)交點(diǎn) 畫出 y f x y g x 的圖象如圖所示 直線 g x kx 2 與曲線 f x x2 8x 15 x 2 相切時(shí) 設(shè)切點(diǎn)為 x 0 y0 則由 f x 2x 8 得 2x0 8 k 且 y0 8x0 15 kx0 2 得 x0 k 2 20 13 8 直線 g x kx 2 恒過點(diǎn) 0 2 當(dāng)直線 g x kx 2 過點(diǎn) 2 1 時(shí) 解得 k 此時(shí) y f x y g x 的圖象有兩個(gè)13 12 交點(diǎn) 結(jié)合圖象可知當(dāng) k 2 8 時(shí) f x kx 2 有三個(gè)不相等的實(shí)根 12 13 二 填空題 共 4 題 13 在 1 5 內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù) a 則直線 ax y 1 0 與直線 ax y 3 0 之間的距離小于 1 的概率為 答案 5 34 解析 本題主要考查幾何概型和兩平行線間的距離等基礎(chǔ)知識(shí) 考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況及運(yùn)算求 解能力 由直線 ax y 1 0 與直線 ax y 3 0 之間的距離 所以所求概率為 2 2 1 3 5 34 14 已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 向量 2 3 4 1 且 3 則 答案 72 解析 本題主要考查向量的坐標(biāo)表示與共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算 考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況與運(yùn)算求解 能力 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 設(shè) P x y 由題意可得 A B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 2 3 4 1 由 3 可得 x 2 y 3 3 4 x 1 y 根據(jù)向量相等的概念得 解得 故 2 12 3 3 3 3 72 0 72 7 頁(yè) 15 已知函數(shù) f x x2 ax 1 的部分圖象如圖所示 則函數(shù) g x alnx 在點(diǎn) b g b 處的切線的斜率 33 2 的最小值是 答案 2 解析 本題主要考查函數(shù)的圖象 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 基本不等式等知識(shí) 考查考生的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分析 問題 解決問題的能力 由題意 f x x2 bx a 根據(jù) f x 的圖象的極大值點(diǎn) 極小值點(diǎn)均大于零 可得 b 0 a 0 又 g x 則 2 g b 2 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取等號(hào) 所以切線斜率的最小值為 2 2 16 設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 已知 a1 m an 1 2Sn 4n n N 若 an 1 an 則實(shí)數(shù) m 的最小值是 答案 4 解析 本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí) 考查考生的運(yùn)算求解能力 分析問題和解決問題的能力 由條件得 a2 2m 4 且 Sn 1 Sn 2Sn 4n 即 Sn 1 3Sn 4n 得 Sn 1 4n 1 3 Sn 4n 故數(shù)列 S n 4n 是以 m 4 為首項(xiàng) 3 為 公比的等比數(shù)列 S n m 4 3n 1 4n 從而 an 1 2 m 4 3n 1 3 4n 故當(dāng) n 2 時(shí) a n 2 m 4 3n 2 3 4n 1 由 an 1 an n N 得 2 m 4 3n 1 3 4n 2 m 4 3n 2 3 4n 1 解得 m 4 n 易知 4 n 4 2 故 m 5 又 811643 811643 811643 當(dāng) n 1 時(shí) 2m 4 m 得 m 4 綜上所述 m 4 故 m 的最小值是 4 三 解答題 共 8 題 17 已知函數(shù) f x 2cos2x sin 2x 7 6 1 求函數(shù) f x 的最大值 并寫出 f x 取最大值時(shí) x 的取值集合 2 已知 ABC 中 角 A B C 的對(duì)邊分別為 a b c 若 f A b c 2 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 32 8 頁(yè) 答案 1 f x 2cos 2x sin 2x 7 6 1 cos 2x sin 2xcos cos 2xsin 7 6 7 6 1 sin 2x cos 2x 32 12 1 sin 2x 6 函數(shù) f x 的最大值為 2 當(dāng)且僅當(dāng) sin 2x 1 即 2x 2k k Z 即 x k k Z 時(shí)取到最大值 6 6 2 6 函數(shù)取最大值時(shí) x 的取值集合為 x x k k Z 6 2 由題意 f A sin 2A 1 6 32 化簡(jiǎn)得 sin 2A 6 12 A 0 2A 2A 6 613 6 6 5 6 A 3 在 ABC 中 a 2 b2 c2 2bccos b c 2 3bc 3 由 b c 2 知 bc 2 1 即 a2 1 當(dāng) b c 1 時(shí)取等號(hào) 2 又由 b c a 得 ab 0 的離心率為 以橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為 2 2 2 2 32 圓 C 的方程為 x a 2 y b 2 2 3 1 求橢圓及圓 C 的方程 2 過原點(diǎn) O 作直線 l 與圓 C 交于 A B 兩點(diǎn) 若 2 求直線 l 被圓 C 截得的弦長(zhǎng) 答案 1 設(shè)橢圓的焦距為 2c 左 右焦點(diǎn)分別為 F1 c 0 F2 c 0 由橢圓的離心率為 可得 即 所以 a 2b b c 32 32 2 2 2 34 33 以橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為 b 2c 即 c 2c 12 3 12 33 3 11 頁(yè) 所以 c 則 a 2 b 1 3 所以橢圓的方程為 y2 1 圓 C 的方程為 x 2 2 y 1 2 4 24 2 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí) 直線方程為 x 0 與圓 C 相切 不符合題意 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí) 設(shè)直線方程為 y kx 由 可得 k 2 1 x2 2k 4 x 1 0 2 2 1 2 4 由條件可得 2k 4 2 4 k2 1 0 即 k 34 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 則 x1 x2 x1x2 2 4 2 1 1 2 1 y1 y2 k x1 x2 y1y2 k2x1x2 2 2 4 2 1 2 2 1 而圓心 C 的坐標(biāo)為 2 1 則 x1 2 y1 1 x2 2 y2 1 所以 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 2 即 x1x2 2 x1 x2 y1y2 y1 y2 5 2 所以 2 5 2 解得 k 0 或 k 1 2 1 2 4 2 1 2 2 12 2 4 2 1 43 當(dāng) k 0 時(shí) 在圓 C 中 令 y 0 可得 x 2 或 x 2 故直線 l 被圓 C 截得的弦長(zhǎng)為 2 3 3 3 當(dāng) k 時(shí) 直線 l 的方程為 4x 3y 0 圓心 C 2 1 到直線 l 的距離 d 1 43 8 3 5 故直線 l 被圓 C 截得的弦長(zhǎng)為 2 2 22 12 3 綜上可知 直線 l 被圓 C 截得的弦長(zhǎng)為 2 3 解析 本題主要考查橢圓與圓的方程的求解 直線與圓的位置關(guān)系 考查考生的邏輯思維能力及運(yùn)算求解 能力 備注 高考對(duì)圓錐曲線的考查主要圍繞橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 直線與橢圓的位置關(guān)系等展開 因此 猜想 2016 年新課標(biāo)全國(guó)卷 對(duì)圓錐曲線的考查仍會(huì)以直線與橢圓的位置關(guān)系為重點(diǎn) 試題的命制點(diǎn)應(yīng)該是 有關(guān)直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng) 三角形的面積 向量的數(shù)量積等的最值 取值范圍問題 也可能會(huì)設(shè)置成 以定值 定點(diǎn) 定直線的存在性為主的探究性問題 21 已知函數(shù) f x x alnx a R 1 12 頁(yè) 1 若函數(shù) f x 在 1 上單調(diào)遞增 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2 試討論函數(shù) f x 極值的情況 答案 1 因?yàn)楹瘮?shù) f x 在 1 上單調(diào)遞增 所以 f x 1 0 在 1 上恒成立 即 a x 在 1 1 2 1 上恒成立 又 x 2 當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時(shí)等號(hào)成立 所以 a 2 1 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 2 2 f x 1 x 0 令 f x 0 得 x2 ax 1 0 1 2 2 1 2 i 當(dāng) a2 4 0 即 2 a 2 時(shí) f x 0 函數(shù) f x 在 0 上單調(diào)遞增 此時(shí)函數(shù) f x 無極值 ii 當(dāng) a2 4 0 即 a2 時(shí) 由 x2 ax 1 0 得 x1 x2 2 42 2 42 若 a0 得 0 x 2 42 2 42 由 f x 0 得 x 2 42 2 42 所以當(dāng) a2 則 x1 0 x20 時(shí) f x 0 函數(shù) f x 在 0 上單調(diào)遞增 此時(shí)函數(shù) f x 無極值 綜上可得 當(dāng) a 2 時(shí) 函數(shù) f x 無極值 當(dāng) a 2 時(shí) 函數(shù) f x 的極大值為 aln 極小值為 2 4 2 42 aln 2 4 2 42 13 頁(yè) 解析 本題主要考查函數(shù)的極值 函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí) 意在考查考生的運(yùn)算求解能力及分類討論思想 對(duì)于 1 由題意將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決 對(duì)于 2 先求出函數(shù) f x 的導(dǎo)函數(shù) 再利用分類討論的方 法討論其極值 備注 高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查通常以與對(duì)數(shù)相關(guān)的函數(shù)為載體 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值以及 不等式恒成立問題與不等式的證明 同時(shí)還考查分類討論思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 函數(shù)與方程思想等 這是 考查導(dǎo)數(shù)的主要潮流 也是 2016 年高考的命題趨勢(shì)與方向 22 如圖所示 在 ABC 中 CD 是 ACB 的平分線 ADC 的外接圓交線段 BC 于點(diǎn) E BE 3AD 1 求證 AB 3AC 2 當(dāng) AC 4 AD 3 時(shí) 求 CD 的長(zhǎng) 答案 1 因?yàn)樗倪呅?ACED 為圓內(nèi)接四邊形 所以 BDE BCA 又 DBE CBA 所以 BDE BCA 則 在圓內(nèi)接四邊形 ACED 中 CD 是 ACE 的平分線 所以 DE AD 又 BE 3AD 所以 AB 3AC 2 由 1 得 AB 3AC 12 而 AD 3 所以 DE 3 BD 9 BE 3AD 9 根據(jù)割線定理得 BD BA BE BC 所以 BC 12 EC BC BE 3 在圓內(nèi)接四邊形 ACED 中 由于 AD EC 3 所以 ACD EDC DE AC 故在等腰梯形 ACED 中 易求得 CD 21 解析 本題主要考查三角形相似 割線定理等知識(shí) 考查考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力 備注 求解或證明直線與圓的位置關(guān)系問題 要注意分析條件 選用相應(yīng)的性質(zhì)定理和判定定理 如出現(xiàn)切 線則考慮是否可選用弦切角定理 切割線定理 出現(xiàn)比例問題則考慮是否可選用切割線定理 相交弦定理及 三角形相似 出現(xiàn)直徑則考慮是否可選用射影定理及直徑所對(duì)的圓周角為直角等知識(shí) 14 頁(yè) 23 已知直線 l 經(jīng)過點(diǎn) P 1 1 傾斜角 6 1 寫出直線 l 的參數(shù)方程 2 設(shè)直線 l 與圓 為參數(shù) R 相交于 A B 兩點(diǎn) 求點(diǎn) P 到 A B 兩點(diǎn)的距離之積 2 2 答案 1 由題意知 直線 l 的參數(shù)方程為 t 是參數(shù) 1 32 1 12 2 因?yàn)辄c(diǎn) A B 都在直線 l 上 所以可設(shè)點(diǎn) A B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t1 和 t2 則點(diǎn) A B 的坐標(biāo)分別為 1 t1 1 t1 1 t2 1 t2 32 12 32 12 將直線 l 的參數(shù)方程代入圓的普通方程 x2 y2 4 整理得 t2 1 t 2 0 3 因?yàn)?t1 和 t2 是方程 的解 所以 t1t2 2 所以 PA PB t1t2 2 2 解析 本題主要考查直線與圓的參數(shù)方程 直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí) 考查考生的運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化 與化歸思想 備注 求解直線 曲線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題 通常情況下是將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程 極 坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程 將所要解決的問題統(tǒng)一到直角坐標(biāo)系中進(jìn)行處理 但在轉(zhuǎn)化過程中必須注意 其等價(jià)性 24 已知函數(shù) f x x a 1 若不等式 f x 1 1 的解集為 A 且 3 A 4 A 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2 若關(guān)于 x 的不等式 f 2x a 2f x 2 的解集為 x x 求正實(shí)數(shù) a 的值 12 32 答案 1 由 f x 1 1 得 1 x a 1 1 即 0 x a 2 即 2 x a 2 a 2 x a 2 所以 a 2 3 a 2 且 a 24 解得 1 a 2 所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1 2 2 記 h x f 2x a 2f x 2x 2 x a 15 頁(yè) 則 h x 由 h x 2 得 2 04 2 0 2 4x 2a 2 得 x 12 12 由 h x 2 的解集為 x x 得 得 a 2 12 32 12 12 12 32 解析 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法 考查考生的運(yùn)算求解能力和對(duì)零點(diǎn)分段法的應(yīng)用能力 備注 求絕對(duì)值不等式 ax b cx d m 的解集通常利用零點(diǎn)分段法 如果 a c 則?？紤]利用三角不等 式求最值