函數(shù)的表示法

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函數(shù)的表示法 主講：黃岡中學(xué)教師　 湯彩仙 一、知識(shí)概述 1、函數(shù)的定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的函數(shù)．記作：f：． 　　說(shuō)明：（1）函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系（或?qū)?yīng)法則）； 　　（2）函數(shù)符號(hào)表示“是的函數(shù)”，可簡(jiǎn)記為函數(shù)，有時(shí)也用． 　　（3）的意義：自變量取確定的值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值用符號(hào)表示； 　?。?）定義域：自變量的取值的集合，值域：函數(shù)值的集合； 　?。?）兩個(gè)函數(shù)相同：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)的三要素全相同． 2、區(qū)間的概念： 　　設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且，規(guī)定： 　?。?）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，表示為； 　?。?）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為； 　?。?）滿足不等式或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，表示為，． 　?。?）滿足，，，的實(shí)數(shù)的集合分別表示為，，，． 3、函數(shù)常用的表示方法有三種：列表法、圖象法、解析法，三種表示方法的比較． 表示法 定義 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 列表法 通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表來(lái)表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法 不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 它只能表示自變量可以一一列出的函數(shù)關(guān)系 圖像法 利用“圖形”表示函數(shù)的方法 能形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況 只能近似地求出自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，而且有時(shí)誤差較大 解析法 如果在函數(shù)中，是用代數(shù)式（或解析式）來(lái)表達(dá)的，則這種表示函數(shù)的方法叫解析法（也稱為公式法） 一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 不夠形象、直觀、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來(lái) 4、函數(shù)的解析式的求法 　　求函數(shù)的解析式的常用方法有： 　?。?）代入法：如已知，求時(shí)，有． 　?。?）待定系數(shù)法：已知的函數(shù)類型，要求的解析式時(shí)，可根據(jù)類型設(shè)其解析式，從而確定其系數(shù)即可． 　?。?）拼湊法：已知的解析式，要求時(shí)，可從的解析式中拼湊出“”，即用來(lái)表示，再將解析式的兩邊的用x代替即可． 　?。?）換元法：令，再求出的解析式，然后用x代替兩邊所有的t即可． 二、例題講解 例1、已知， （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 分析： 　　和的值由于解析式已給出，直接計(jì)算即可，而實(shí)際上是兩次求值． 解： 　?。?）因?yàn)椋? 　　所以． 　?。?）． 　　（3）， 　?。? 點(diǎn)撥：對(duì)于中的“x”與中的“2x－1”實(shí)質(zhì)上是相同的． 例2、已知函數(shù)求和的表達(dá)式． 解： 當(dāng)2x－1≥0，即時(shí)，； 當(dāng)2x－1<0，即時(shí)，．∴ 例3、已知，求的解析式． 解法1： 令，則，代入原式有， ． ． 解法2： ， ． 即． 例4、已知，求一次函數(shù)的解析式． 解： 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)，設(shè)，則 ． 則由 解得或 或． 例5、如果函數(shù)滿足方程，且為常數(shù)，且，求． 解： ，① 將x換成，則換成x，得，② 由①、②消去即①a－②得． ，即． 點(diǎn)撥： 　　本題是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函數(shù)式子，而得到的表達(dá)式，此種方法稱為消去法，也稱為解方程法． 例6、設(shè)是R上的函數(shù)，且滿足f (0)=1，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有，求的解析式． 解法一： 設(shè)x=y，得． ，即． 解法二： 令x=0，則． 即． 令－y=x，則有． 點(diǎn)撥： 　?。?）所給函數(shù)方程含有兩個(gè)變量時(shí)，可對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入，或使這兩個(gè)變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù)．至于取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定． 　　（2）通過(guò)取某些特殊值代入題設(shè)中的等式，可使問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式．