2017年高考數(shù)學(xué)理試題分類匯編：圓錐曲線
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2017 年高考試題分類匯編之圓錐曲線（理數(shù)） 解析 一、選擇題 1 二、填空題 3 三、大題 5 1、 選擇題 【浙江卷】2．橢圓的離心率是 A． B． C． D． 【解析】，選B. 【全國(guó)1卷（理）】10.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【解析 方法一：根據(jù)題意可判斷當(dāng)A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1，|AB|+|DE|最小，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可． 方法二：設(shè)出兩直線的傾斜角，利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式分別表示出|AB|，|DE|，整理求得答案 】設(shè)傾斜角為．作垂直準(zhǔn)線，垂直軸 易知 同理， 又與垂直，即的傾斜角為 而，即． ，當(dāng)取等號(hào) 即最小值為，故選A 【全國(guó)Ⅱ卷（理）】9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 【解析】取漸近線，化成一般式，圓心到直線距離為 得，，． 【全國(guó)III卷（理）】5.已知雙曲線C: (a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓 有公共焦點(diǎn)，則C的方程為( ) A. B. C. D. 【解析】∵雙曲線的一條漸近線方程為，則① 又∵橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知，則② 由①②解得，則雙曲線的方程為，故選B. 【全國(guó)III卷（理）】10.已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為( ) A. B. C. D. 【解析】∵以為直徑為圓與直線相切，∴圓心到直線距離等于半徑， ∴ 又∵，則上式可化簡(jiǎn)為 ∵，可得，即 ∴，故選A 【天津卷】（5）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【解析】由題意得 ，故選B. 二、填空題 【全國(guó)1卷（理）】15.已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60，則C的離心率為_(kāi)_______. 【解析】如圖， ， ∵，∴， ∴ 又∵，∴，解得 ∴ 【全國(guó)2卷（理）】16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則 ． 【解析】則，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線， 如圖，為、中點(diǎn)， 故易知線段為梯形中位線， ∵，， ∴ 又由定義， 且， ∴ 【北京卷】（9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_______________. 【解析】. 【江蘇卷】8.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,雙曲線 的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q，其焦點(diǎn)是F1 , F2 ,則四邊形F1 P F2 Q的面積是 . 【解析】右準(zhǔn)線方程為，漸近線為，則，，，，則. 【山東卷】14.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為 . 三、大題 【全國(guó)I卷（理）】20.（12分）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn). 20.解：（1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過(guò)、 又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過(guò)，所以過(guò)三點(diǎn) 將代入橢圓方程得，解得， ∴橢圓的方程為：． （2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè) 得，此時(shí)過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足． 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè) 聯(lián)立，整理得 , 則 又，此時(shí)，存在使得成立． ∴直線的方程為 當(dāng)時(shí)， 所以過(guò)定點(diǎn)． 【全國(guó)II卷（理）】20. （12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦 點(diǎn)F. ．解：⑴設(shè)，易知 又 ∴，又在橢圓上． ∴，即． ⑵設(shè)點(diǎn)，，， 由已知：， ， ∴， ∴． 設(shè)直線：， 因?yàn)橹本€與垂直． ∴ 故直線方程為， 令，得， ， ∴， ∵， ∴， 若，則，，， 直線方程為，直線方程為，直線過(guò)點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)． 【全國(guó)III卷（理）】20.（12分）已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓. （1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； （2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P（4，-2），求直線l與圓M的方程. 解:(1)顯然，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意． 設(shè)，，， 聯(lián)立：得， 恒大于，，． ∴，即在圓上． (2)若圓過(guò)點(diǎn)，則 化簡(jiǎn)得解得或 ①當(dāng)時(shí)，圓心為， ，， 半徑 則圓 ②當(dāng)時(shí)，圓心為， ，， 半徑 則圓 【北京卷】（18）（14分）已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,B，其中O為原點(diǎn). （Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn). （18）解：（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=∴C:y2=x， ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0），準(zhǔn)線：x=-. （Ⅱ）設(shè)l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=， 由題知A(x1，x1)，B(x1，) k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1x2=. 由x1+x2=，x1x2=， 上式∴A為線段BM中點(diǎn). 【江蘇卷】17.（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2. （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 17.解:（1）∵橢圓E的離心率為，∴①.∵兩準(zhǔn)線之間的距離為8，∴②.聯(lián)立①②得，∴，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）設(shè)，則，由題意得，整理得，∵點(diǎn)在橢圓E上，∴，∴，∴，故點(diǎn)P的坐標(biāo)是. 【江蘇卷】B.[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 已知矩陣A= ，B=. (1) 求AB; (2)若曲線C1; 在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2 ，求C2的方程. B.解:（1）AB==. （2）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為， 所以，即，因?yàn)樵谇€上，所以即曲線C2的方程. 【山東卷】（21）（本小題滿分13分） 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率. （21）解：（I）由題意知 ，， 所以 ， 因此 橢圓的方程為. （Ⅱ）設(shè)， 聯(lián)立方程 得， 由題意知， 且， 所以 . 由題意知， 所以 由此直線的方程為. 聯(lián)立方程 得， 因此 . 由題意可知 ， 而 ， 令， 則， 因此 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)， 所以 ， 因此， 所以最大值為. 綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為. 【天津卷】（19）（本小題滿分14分） 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程. （19）（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，， 解得，，， 于是. 所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為. 所以，直線的方程為，或. 【浙江卷】21．（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn).過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q. （Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值. 21．解：（Ⅰ）由題易得P（x，x2），-下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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