高中數(shù)學(xué)周期函數(shù)、公式的總結(jié)、推導(dǎo)、證明過(guò)程

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周期公式序號(hào)公式T理解或者公式特點(diǎn)例題1fx+a+fx+b=c2|a-b|自變量的和不是常數(shù)，兩個(gè)自變量之差是常數(shù)，兩個(gè)函數(shù)值相加為常數(shù)。2fx+a=-f(x)即fx+a+fx=0是上一個(gè)公式的特例2a兩個(gè)自變量之差是常數(shù)。兩個(gè)函數(shù)值相加為常數(shù)。3fx+a=kfx2a正負(fù)號(hào)，倒數(shù)，兩個(gè)自變量之差是常數(shù)。4fx+a=1+fx1-fx4a類(lèi)似第3個(gè)公。5fx+a=1-fx1+fx2a類(lèi)似第3個(gè)公式。6fx=fx+a+fx-a例如：fx=fx-1-fx-2整理后：fx-1=fx+fx-2令x=x+1得到：fx=fx+1+fx-16a兩個(gè)函數(shù)值之和等于另一個(gè)函數(shù)值，且兩個(gè)作為加數(shù)的函數(shù)的自變量是xa7fx+a=fx+b|a-b|圖像向左平移a個(gè)單位，和向左平移b個(gè)單位重合。原來(lái)兩個(gè)點(diǎn)x坐標(biāo)差的距離就是他們的周期。兩個(gè)自變量之差是常數(shù)，兩個(gè)函數(shù)值相等。8函數(shù)f(x)的圖像S有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸x=a,x=b（ab）2|a-b|對(duì)稱(chēng)軸多和偶函數(shù)以及一個(gè)函數(shù)圖像的自對(duì)稱(chēng)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)9函數(shù)f(x)的圖像S有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心G1a,c和G2b,c（ab）2|a-b|對(duì)稱(chēng)中心多和奇函數(shù)以及一個(gè)函數(shù)圖像的自對(duì)稱(chēng)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)10函數(shù)f(x)的圖像S有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心G1b,c和一條對(duì)稱(chēng)軸x=a，（ab）4|a-b|知識(shí)點(diǎn)涉及奇函數(shù)、偶函數(shù)以及函數(shù)圖像的自對(duì)稱(chēng)以上基本是高中階段遇到的各種周期公式及其變形的總結(jié)。解周期問(wèn)題，兩種方法：1.列舉多個(gè)數(shù)據(jù)，找尋規(guī)律和周期；2.通過(guò)抽象函數(shù)直接得到周期。1. 已知f(X)是R上不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xfx+1=x+1f(x)，則ff52=解：令x=0，f(0)=0;令x=-12，f-12=0；令x=12，f32=0；令x=32，f52=0； ff52=f0=02. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足fx=log21-x,x0 fx-1-fx-2,x0，則f(2009)= 解：整理fx=fx-1-fx-2，得到fx-1=fx+fx-2令x=x+1得到，fx=fx+1+fx-1由公式6知道周期為6，即fx+6=f(x)，x0f(2009)=f3346+5=f(5)。由公式fx=fx-1-fx-2得f5=f4-f3=f3-f2-f3=-f2 =-f1-f0=-(f0-f-1-f0) =f-1=03. 已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f1=14，4fxfy=fx+y+fx-y,x,yR，則f(2010)= 思路：消元和賦值。令x=x,y=1，則fx=fx+1+f(x-1)，根據(jù)公式6知道，f(x+6)=f(x)，f2010=f3356=f(0)。令y=0，則4fxf0=2f(x)， x不恒為零，f0=12f2010=12。下面兩頁(yè)是周期函數(shù)公式的周期推導(dǎo)證明過(guò)程，并總結(jié)了推導(dǎo)周期過(guò)程的一般思路。因?yàn)閣ord輸入數(shù)學(xué)公式太過(guò)麻煩，所以手寫(xiě)了出來(lái)，以圖片的形式奉上。6