2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第44課 直接證明與間接證明要點導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第44課 直接證明與間接證明要點導(dǎo)學(xué) 綜合法 　若正數(shù)a,b,c滿足a2+2ab+4bc+2ca=16,求證:a+b+c≥4. [思維引導(dǎo)]從平方關(guān)系入手,然后再把條件中的數(shù)值代入化簡. [證明]因為a2+2ab+4bc+2ca=16, 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=b2+c2-2bc+16=(b-c)2+16≥16,當且僅當b=c時等號成立. 又a,b,c均為正數(shù), 所以a+b+c≥4. [精要點評]利用綜合法證明的前提是結(jié)合分析法進行探求解題思路.但是,一定要注意表達條理清晰. 　(xx·西安

2、模擬)若cosxcosy+sinx·siny=,sin2x+sin2y=,求證:sin(x+y)=. [證明]因為cosxcosy+sinxsiny=, 所以cos(x-y)=. 因為sin2x+sin2y=,所以 2sin(x+y)cos(x-y)=, 所以2sin(x+y)·=,所以sin(x+y)=. 分析法 　已知△ABC的三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:B<90°. [證明]因為cos B=, 故要證明B<90°,即證cos B>0, 只需證a2+c2>b2. 又三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,即=+Tb=, 只需證a2+c2>, 即(a2+c

3、2)(a+c)2>(2ac)2. 又a2+c2>2ac, 只需證(a+c)2>2ac,即證a2+c2>0. 而上式顯然成立,所以B<90°. [精要點評]分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明過程來講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說,即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當這些判斷恰恰都是已證的命題或是要證命題的已知條件時,則所證命題得證. 　已知a>0,求證:-≥a+-2. [證明]要證-≥a+-2, 只要證+2≥a++, 因為a>0,故只要證≥, 即證a2++4+4≥a2+2++2+2, 從而只

4、要證2≥, 只要證4≥2,即證a2+≥2, 而該不等式顯然成立,故原不等式成立. 反證法 　(xx·北京順義區(qū)模擬)求證:若一個整數(shù)的平方是偶數(shù),則這個數(shù)也是偶數(shù). [證明]假設(shè)這個數(shù)是奇數(shù),可以設(shè)為2k+1,k∈Z, 則有(2k+1)2=4k2+4k+1, 而4k2+4k+1(k∈Z)不是偶數(shù),這與原命題的條件矛盾. 故原命題成立. 　(xx·江蘇模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2. (1) 求數(shù)列{an}的通項公式; (2) 求證:數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列. [解答](1) 當n=1時,a1+S1=2a1=2,則

5、a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2, 兩式相減得an+1=an, 所以{an}是首項為1、公比為的等比數(shù)列, 所以an=. (2) 假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p

6、=0沒有實數(shù)根 2. 一般地,欲證-<-,即需證　 . [答案]> 3. 設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. [證明]3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b). 因為a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0. 從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,即3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 4. (xx·北京順義區(qū)模擬)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn為它的前n項和,求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列. [證明]假設(shè){Sn}是等比數(shù)列,則=S1S3, 即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2). 因為a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2. 即q=0,與等比數(shù)列中公比q≠0矛盾. 故{Sn}不是等比數(shù)列. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)(第87-88頁).