《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第44課 直接證明與間接證明要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第44課 直接證明與間接證明要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)（3頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第44課 直接證明與間接證明要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)
綜合法
若正數(shù)a,b,c滿足a2+2ab+4bc+2ca=16,求證:a+b+c≥4.
[思維引導(dǎo)]從平方關(guān)系入手,然后再把條件中的數(shù)值代入化簡(jiǎn).
[證明]因?yàn)閍2+2ab+4bc+2ca=16,
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=b2+c2-2bc+16=(b-c)2+16≥16,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立.
又a,b,c均為正數(shù),
所以a+b+c≥4.
[精要點(diǎn)評(píng)]利用綜合法證明的前提是結(jié)合分析法進(jìn)行探求解題思路.但是,一定要注意表達(dá)條理清晰.
(xx·西安
2、模擬)若cosxcosy+sinx·siny=,sin2x+sin2y=,求證:sin(x+y)=.
[證明]因?yàn)閏osxcosy+sinxsiny=,
所以cos(x-y)=.
因?yàn)閟in2x+sin2y=,所以
2sin(x+y)cos(x-y)=,
所以2sin(x+y)·=,所以sin(x+y)=.
分析法
已知△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:B<90°.
[證明]因?yàn)閏os B=,
故要證明B<90°,即證cos B>0,
只需證a2+c2>b2.
又三邊長(zhǎng)a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,即=+Tb=,
只需證a2+c2>,
即(a2+c
3、2)(a+c)2>(2ac)2.
又a2+c2>2ac,
只需證(a+c)2>2ac,即證a2+c2>0.
而上式顯然成立,所以B<90°.
[精要點(diǎn)評(píng)]分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明過(guò)程來(lái)講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說(shuō),即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題或是要證命題的已知條件時(shí),則所證命題得證.
已知a>0,求證:-≥a+-2.
[證明]要證-≥a+-2,
只要證+2≥a++,
因?yàn)閍>0,故只要證≥,
即證a2++4+4≥a2+2++2+2,
從而只
4、要證2≥,
只要證4≥2,即證a2+≥2,
而該不等式顯然成立,故原不等式成立.
反證法
(xx·北京順義區(qū)模擬)求證:若一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù),則這個(gè)數(shù)也是偶數(shù).
[證明]假設(shè)這個(gè)數(shù)是奇數(shù),可以設(shè)為2k+1,k∈Z,
則有(2k+1)2=4k2+4k+1,
而4k2+4k+1(k∈Z)不是偶數(shù),這與原命題的條件矛盾.
故原命題成立.
(xx·江蘇模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2.
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2) 求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.
[解答](1) 當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則
5、a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,
兩式相減得an+1=an,
所以{an}是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列,
所以an=.
(2) 假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p
6、=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根
2. 一般地,欲證-<-,即需證 .
[答案]>
3. 設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
[證明]3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).
因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0.
從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
4. (xx·北京順義區(qū)模擬)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn為它的前n項(xiàng)和,求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.
[證明]假設(shè){Sn}是等比數(shù)列,則=S1S3,
即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).
因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2.
即q=0,與等比數(shù)列中公比q≠0矛盾.
故{Sn}不是等比數(shù)列.
[溫馨提醒]
趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)(第87-88頁(yè)).
2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第44課 直接證明與間接證明要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)
