滬教版高二上數(shù)列數(shù)學(xué)歸納法例題及練習(xí)

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1、. . 數(shù)學(xué)歸納法 一. 教學(xué)容： 高三復(fù)習(xí)專題：數(shù)學(xué)歸納法 二. 教學(xué)目的 掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用 三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用 四. 知識(shí)分析 【知識(shí)梳理】 數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考察，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成"觀察—－歸納—－猜想—－證明〞的思維模式，就顯得特別重要。 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按

2、以下步驟進(jìn)展： 〔1〕〔歸納奠基〕證明當(dāng)n取第一個(gè)值n = n0時(shí)命題成立； 〔2〕〔歸納遞推〕假設(shè)n = k〔〕時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開場(chǎng)的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。 數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的根底保證，即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)根底必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是

3、否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。 【要點(diǎn)解析】 ? 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵在第二步，即n＝k＋1時(shí)為什么成立，n＝k＋1時(shí)成立是利用假設(shè)n＝k時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n＝k＋1時(shí)成立，而不是直接代入，否那么n＝k＋1時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明。 用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析。 ? 2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤 〔1〕對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)。 〔2〕沒有利用歸納假

4、設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過(guò)去了。 〔3〕關(guān)鍵步驟模糊不清，"假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立〞，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié)，對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程要把步驟寫完整，注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)性。 【典型例題】 例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，。 解析：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。 ②假設(shè)時(shí)等式成立，即有，那么當(dāng)時(shí)， ， 所以當(dāng)時(shí)，等式也成立。 由①，②可知，對(duì)一切等式都成立。 點(diǎn)評(píng)：〔1〕用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于"先看項(xiàng)〞，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多

5、少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由到時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)。 〔2〕在本例證明過(guò)程中，〔I〕考慮"n取第一個(gè)值的命題形式〞時(shí)，需認(rèn)真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假，〔II〕步驟②在由到的遞推過(guò)程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。 此題證明時(shí)假設(shè)利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法，即 ，那么這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。 〔3〕在步驟②的證明過(guò)程中，突出了兩個(gè)湊字，一"湊〞假設(shè)，二"湊〞結(jié)論，關(guān)鍵是明確時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由到時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。 例2. 。 解析：〔1〕當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，命題成立。 〔

6、2〕假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即 ， 那么當(dāng)時(shí)， 左邊 。 上式說(shuō)明當(dāng)時(shí)命題也成立。 由〔1〕〔2〕知，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立。 例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式 成立。 解析：①當(dāng)時(shí)，左=，右，左>右，∴不等式成立。 ②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即 ， 那么當(dāng)時(shí)， ， ∴時(shí)，不等式也成立。 由①，②知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立。 點(diǎn)評(píng)：〔1〕此題證明命題成立時(shí)，利用歸納假設(shè)，并對(duì)照目標(biāo)式進(jìn)展了恰當(dāng)?shù)目s小來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立。 〔2〕應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一不可，第①步成立是推理

7、的根底，第②步是推理的依據(jù)〔即成立，那么成立，成立，……，從而斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)均成立〕。另一方面，第①步中，驗(yàn)證中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2，3等；第②步中，證明時(shí)命題也成立的過(guò)程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃危O(shè)法用上歸納假設(shè)。 例4. 假設(shè)不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。 解析：取，。 令，得，而， 所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明， ， 〔1〕時(shí)，已證結(jié)論正確 〔2〕假設(shè)時(shí)， 那么當(dāng)時(shí)，有 ， 因?yàn)椋? 所以， 所以， 即時(shí)，結(jié)論也成立， 由〔1〕〔2〕可知，對(duì)一切， 都有， 故a的最大值為25。 例5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

8、能被9整除。 解析：方法一：令， 〔1〕能被9整除。 〔2〕假設(shè)能被9整除，那么 ∴能被9整除。 由〔1〕〔2〕知，對(duì)一切，命題均成立。 方法二：〔1〕，原式能被9整除， 〔2〕假設(shè)，能被9整除，那么時(shí) ∴時(shí)也能被9整除。 由〔1〕，〔2〕可知，對(duì)任何，能被9整除。 點(diǎn)評(píng)：證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是"湊項(xiàng)〞，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題獲證。 例6. 求證：能被整除，。 解析：〔1〕當(dāng)時(shí)，，命題顯然成立。 〔2〕設(shè)時(shí)，能被整除， 那么當(dāng)時(shí)， 。 由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被整除， 故時(shí)命題成立。 由〔1〕〔2〕可知

9、，對(duì)，命題成立。 例7. 平面有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無(wú)三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成個(gè)局部。 解析：①時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2局部，顯然命題成立。 ②假設(shè)時(shí)，個(gè)圓將平面分成個(gè)局部， 當(dāng)時(shí)， 第k+1個(gè)圓交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這k+1個(gè)圓將平面分成個(gè)局部，即個(gè)局部。 故時(shí)，命題成立。 由①，②可知，對(duì)命題成立。 點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是"找項(xiàng)〞，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析，在實(shí)在分析不出來(lái)的情況下

10、，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。 例8. 設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，使等式對(duì)于的一切自然數(shù)都成立.并證明你的結(jié)論。 解析：當(dāng)時(shí)，由， 得， 當(dāng)時(shí)，由， 得， 猜想。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，等式恒成立。 ①當(dāng)時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立。 ②假設(shè)成立， 那么當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)時(shí)，等式也成立。 由①②知，對(duì)一切的自然數(shù)n，等式都成立。 故存在函數(shù)，使等式成立。 點(diǎn)評(píng)：〔1〕歸納、猜想時(shí)，關(guān)鍵是尋找滿足條件的與n的關(guān)系式，猜想的關(guān)系未必對(duì)任意的都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)

11、歸納法證明。 〔2〕通過(guò)解答歸納的過(guò)程提供了一種思路：可直接解出，即 。 【模擬試題】 ? 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，能被整除〞時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成 ?????? A. 假設(shè)時(shí)，命題成立 B. 假設(shè)時(shí)，命題成立 C. 假設(shè)時(shí)，命題成立 D. 假設(shè)時(shí)，命題成立 ? 2. 證明，假設(shè)時(shí)成立，當(dāng)1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是 ?????? A. 1項(xiàng)??? B. 項(xiàng)???? C. k項(xiàng)??? D. 項(xiàng) ? 3. 記凸k邊形的角和為，那么凸邊形的角和〔〕 ?????? A. ???? B. ????? C. ? D. ? 4. 某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，假設(shè)時(shí)命題成

12、立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)當(dāng)時(shí)，該命題不成立，那么可推得 ?????? A. 當(dāng)時(shí)，該命題不成立 B. 當(dāng)時(shí)，該命題成立 C. 當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立 D. 當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立 ? 5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是 ?????? A. ?? B. ????? C. D. ? 6. 〔5分〕在數(shù)列中，，且，，2成等差數(shù)列〔表示數(shù)列的前n項(xiàng)和〕，那么，，分別為__________；由此猜想___________。 ? 7. 〔5分〕對(duì)一切都成立，那么a=_____________，b=_____________，c=___________

13、__。 ? 8. 〔14分〕由以下各式： ，，，，……你能得出怎樣的結(jié)論.并進(jìn)展證明。 ? 9. 〔16分〕設(shè)數(shù)列滿足，。 〔1〕證明：對(duì)一切正整數(shù)n均成立； 〔2〕令，判斷與的大小，并說(shuō)明理由。 ? 10. 〔14分〕函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，。 〔1〕用數(shù)學(xué)歸納法證明 〔2〕證明：。 ? 11. 〔16分〕〔2006年，〕數(shù)列滿足：，且 。 〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 〔2〕證明：對(duì)一切正整數(shù)n，不等式恒成立。 【試題答案】 ? 1. B???? 2. D??????? 3. B??????? 4. C??????? 5. C ? 6. ，，， ? 7. ，， ? 8. 解：對(duì)所給各式進(jìn)展觀察比較，注意各不等式左邊最后一項(xiàng)的分母特點(diǎn)：，，，，…，猜想為，對(duì)應(yīng)各式右端為。 歸納得一般結(jié)論 ①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立， 即成立， 那么當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立。 由①②可知對(duì)任意，結(jié)論都成立。 ? 9. 解：〔1〕證明略。 〔2〕方法一： ， ∴。 方法二： 〔由〔1〕的結(jié)論〕 = ， ∴。 方法三： ， 故，因此。 優(yōu)選