數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想 文

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1、方法一一般與特殊的轉(zhuǎn)化問題方法二數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問題方法三形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化問題四、 轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.方法一方法一一般與特殊的轉(zhuǎn)化問題模型解法一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化法是在解題的過程中將某些一般問題進(jìn)行特殊化處理或是將某些特殊問題進(jìn)行一般化處理的方法.此方法多用于選擇題和填空題的解答.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：確立轉(zhuǎn)化對象，一般將要解決的問題作為轉(zhuǎn)化對象.尋找轉(zhuǎn)化元素，由一般問

2、題轉(zhuǎn)化為特殊問題時，尋找“特殊元素”；由特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題時，尋找“一般元素”.轉(zhuǎn)化為新問題，根據(jù)轉(zhuǎn)化對象與“特殊元素”或“一般元素”的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問題.得出結(jié)論，求解新問題，根據(jù)所得結(jié)論求解原問題，得出結(jié)論.典例典例1已知函數(shù)f(x)(a3)xax3在1,1上的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是思維升華思維升華常用的“特殊元素”有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.對于選擇題，在題設(shè)條件都成立的情況下，用特殊值探求正確選項，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律；對于填空題，當(dāng)結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以用特殊值代替變化的

3、不定量.答案解析思維升華解析解析當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)3x，x1,1，顯然滿足條件，故排除選項A，B；當(dāng)1x1時，f(x)0，所以f(x)在1,1上單調(diào)遞減，綜上，故選D.答案解析因為點(diǎn)(2，1)在可行域內(nèi)，又點(diǎn)A(0，2)在可行域內(nèi)，方法方法二二數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問題模型解法數(shù)與形的轉(zhuǎn)化包含由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個方面.由數(shù)到形就是把問題的數(shù)量信息轉(zhuǎn)換為圖形信息，由形到數(shù)就是把圖形信息進(jìn)行代數(shù)化處理，用數(shù)量關(guān)系刻畫事物的本質(zhì)特征，從而得解.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：數(shù)形轉(zhuǎn)化，確定需要等價轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系(解析式)與圖形關(guān)系.轉(zhuǎn)化求解，通過降維等方式合理轉(zhuǎn)化，使問題簡單化并進(jìn)行分析與求解.回歸結(jié)論，回歸原命題

4、，得出正確結(jié)論.典例典例2某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件的材料利用率為(材料利用率新工件的體積/原工件的體積)答案解析思維升華解析解析由三視圖知該幾何體是一個底面半徑為r1，母線長為l3的圓錐，由題意知加工成的體積最大的正方體ABCDA1B1C1D1的一個底面A1B1C1D1在圓錐的底面上，過平面AA1C1C的軸截面如圖所示，設(shè)正方體的棱長為x，思維升華思維升華數(shù)與形轉(zhuǎn)化問題，特別是空間轉(zhuǎn)化問題，往往在解決空間幾何體問題的過程中將某些空間幾何體問題進(jìn)行特殊化處理，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來處理，降低維

5、度，簡化求解過程，降低難度.跟蹤演練跟蹤演練2已知直線l：ykx1(k0)與橢圓3x2y2a相交于A，B兩個不同的點(diǎn)，記直線l與y軸的交點(diǎn)為C.解答解解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).解答得(3k2)x22kx1a0，得(x1，1y1)2(x2，y21)，解得x12x2，此時橢圓的方程為3x2y25.方法三方法三形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化問題模型解法形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化法是針對幾何問題采用的一種特殊轉(zhuǎn)化方法.主要適用于涉及平行、垂直的證明，如常見線面平行、垂直的推理與證明實(shí)際就是充分利用線面位置關(guān)系中的判定定理、性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：分析特征，一般要分析形體特征，根據(jù)形體

6、特征確立需要轉(zhuǎn)化的對象.位置轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則幾何體通過切割、挖補(bǔ)、延展等方式轉(zhuǎn)化為便于觀察、計算的常見幾何體.由于新的幾何體是轉(zhuǎn)化而來，一般需要對新的幾何體的位置關(guān)系、數(shù)據(jù)情況進(jìn)行必要分析，準(zhǔn)確理解新的幾何體的特征.得出結(jié)論，在新的幾何結(jié)構(gòu)中解決目標(biāo)問題.解析思維升華典例典例3如圖，已知三棱錐PABC，PABC ，PBAC10，PCAB ，則三棱錐PABC的體積為_.答案160解析解析因為三棱錐三組對邊兩兩相等，則可將三棱錐放在一個特定的長方體中(如圖所示).把三棱錐PABC補(bǔ)成一個長方體AEBGFPDC，易知三棱錐PABC的各棱分別是長方體的面對角線.不妨令PEx，EBy，EAz，解得x6，y

7、8，z10，從而知三棱錐PABC的體積為V三棱錐PABCV長方體AEBGFPDCV三棱錐PAEBV三棱錐CABGV三棱錐BPDCV三棱錐AFPCV長方體AEBGFPDC4V三棱錐PAEB160.思維升華思維升華形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化常將空間問題平面化、不規(guī)則幾何體特殊化，使問題易于解決.同時也要注意方法的選取，否則會跳入自己設(shè)的“陷阱”中.跟蹤演練跟蹤演練3如圖，在棱長為5的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF2，點(diǎn)Q是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C1D1上的動點(diǎn)，則四面體PQEF的體積A.是變量且有最大值B.是變量且有最小值C.是變量且有最大值和最小值D.是常數(shù)答案解析解析解析點(diǎn)Q到棱AB的距離為常數(shù)，所以EFQ的面積為定值.由C1D1EF，可得棱C1D1平面EFQ，所以點(diǎn)P到平面EFQ的距離是常數(shù)，于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù).