第七章習題

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第七章 靜電場中的導體和電介質(zhì) 7-1 如圖所示，在一不帶電的金屬球旁有一點電荷，金屬球半徑為，已 知與金屬球心間距離為。試求：（1）金屬球上感應電荷在球心處產(chǎn)生的電場強度及此時球心處的電勢；（2）若將金屬球接地，球上的凈電荷為多少？ 題7-1圖 解：（1）由于導體內(nèi)部的電場強度為零，金屬球上感應的電荷在球心處產(chǎn)生的電場強度與點電荷在球心處產(chǎn)生的電場強度大小相等，方向相反。 的方向由指向 點電荷在球心處的電勢為 金屬球表面感應電荷在球心的電勢為，由于球表面感應電荷量總和為零， 故球心電勢為和的代數(shù)和 （2）若將金屬球接地，金屬球是一個等勢體，球心的電勢。設球上凈電荷為。球面上的電荷在球心處的電勢為 點電荷在球心的電勢為 由電勢疊加原理 7-2 如圖所示，把一塊原來不帶電的金屬板 移近一塊已帶有正電荷的金屬板，平行放置。設兩板面積都是，板間距是，忽略邊緣效應。求： （1）板不接地時，兩板間的電勢差； （2）板接地時，兩板間電勢差。 題7-2圖 解：（1）如圖，設、兩金屬板各表面的面電荷密度分別為、、、。由靜電平衡條件可知 解得 又 故 兩板間為勻強電場，電場強度 兩板間的電勢差 （2）若板接地，則有 兩板間的電場強度 兩板間的電勢差 7-3 為靠得很近的兩塊平行的大金屬平板，板的面積為，板間距離為，使板帶電分別為、，且。求： （1）板內(nèi)側(cè)的帶電量； （2）兩板間的電勢差。 解：（1）如圖，設、兩板各表面的 電荷面密度分別為、、、。 由題意 ① 又由靜電平衡條件（參考題7-2）得 ② 題7-3圖 由①、②解得 故Ａ板內(nèi)側(cè)的帶電量 （2）兩板間為勻強電場，電場強度 兩板間電勢差 7-4 如圖所示，半徑為的導體球帶有電荷，球外有一個內(nèi)半徑為的同心導體球殼，殼上有電荷。（1）求球與殼的電勢差；（2）用導線把球和殼連接在一起后，其電勢為多少？ 解：（1）導體球與球殼之間的電場強度為 球與殼的電勢差 題7-4圖 （2）用導線把球與球殼連接在一起后，導體球和導體球殼的電荷重新分布。靜電平衡時，球與球殼為等勢體，。所有電荷（）均勻分布在球殼外表面。球殼外電場強度為 球與球殼的電勢 7-5 如圖所示，同軸傳輸線由圓柱形長直導體和套在它外面的同軸導體管構(gòu)成。設圓柱體的電勢為，半徑為，圓管的電勢為，內(nèi)半徑為，求它們之間離軸線為處(的電勢。 解：設圓柱體表面沿軸線單位長度所帶電量為，在距軸線為的任意一點的場強為 題7-5圖 點與圓柱體的電勢差 ① 圓管與圓柱體的電勢差 ② 由①、②兩式消去，得點電勢 7-6 實驗表明：在靠近地面處有相當強的電場，垂直于地面向下，大小約為。試求：（1）地面的面電荷密度；（2）地面的每平方米所受的庫侖力。 解：設地球帶電荷。由高斯定理，地球表面電場 電荷均勻分布于地球表面，則地面面電荷密度 地面每平方米受庫侖力 7-7 如圖所示，一平行板電容器兩極板間充 滿了電容率為的均勻介質(zhì)，已知極板上的面電荷 密度分別為和。略去邊緣效應。求電介質(zhì)中的電場強度、極化強度、電位移，介質(zhì)表面的 題7-7圖 極化電荷面密度。 解：對于平行板電容器，兩板間的電場強度為 其中為沿極板法線方向的單位矢量，方向從極板指向極板。兩極板電介質(zhì)中的電位移為 極化強度 由于極化電荷都在介質(zhì)的上下兩表面，故極化電荷體密度。兩極板間介質(zhì)中的電場為板上自由電荷產(chǎn)生的電場和介質(zhì)表面束縛電荷產(chǎn)生的電場的疊加。設介質(zhì)表面極化電荷面密度為。 對于靠近帶正電荷極板的介質(zhì)表面，極化電荷面密度為。靠近帶負電荷極板的介質(zhì)表面，極化電荷面密度為。 7-8 如圖所示，平行板電容器兩極板相 距為，接到電壓為伏的電源上，在其間插入厚為、相對電容率為的玻璃平板。略去邊緣效應，求空隙中和玻璃中的電場強度。 題7-8圖 解：設電容器極板上電荷面密度為，則兩極板間空氣間隙中的場強為 玻璃平板中的場強為 ① 兩極板間的電位差 ② 由①、②兩式可得 7-9 在相對電容率為、半徑為的均勻電介質(zhì)球的中心有一點電荷，介質(zhì)球外的空間充滿相對電容率為的均勻電介質(zhì)。求距為()處的場強及電勢（選無窮遠處為電勢零點）。 解：介質(zhì)球中心的點電荷產(chǎn)生的電場具有球?qū)ΨQ性。由高斯定理，介質(zhì)球內(nèi)外的場強分別為 （ ） （） 選無窮遠處為電勢零點，距為（）處的電勢 7-10 有一面積為、間距為的平行板電容器。 （1）在板間平行于極板面插入厚度為，面積也為的相對電容率為的均勻電介質(zhì)板，計算其電容；（2）若插入的是同樣尺寸的導體板，求其電容；（3）上下平移介質(zhì)板或?qū)w板對電容有無影響？ 題7-10圖 解：設電容器極板所帶電荷面密度為 （1）兩極間電勢差 由， 得 電容 （2）若插入導體板，則 電容 （3）上下移動介質(zhì)板或?qū)w板對電容無影響。 7-11 如圖所示，一無限大平行板電容器，設兩板相距，板上各帶電荷，板帶正電，板帶負電并接地（地的電勢為零），求： （1）在兩板之間距板處點的電勢； （2）板的電勢。 解：（1）平板電容器兩板間場強 點電勢 （2）板的電勢 題7-11圖 7-12 面積是的兩平行導體板放在空氣中相距，兩板電勢差為，略去邊緣效應。試求： （1）電容； （2）各板上的電量、電荷的面密度和板間電場強度的值。 解：（1）平板電容器電容 （2）各板上的電量 板上電荷的面密度 板間電場強度的值 7-13 如圖所示，電容器由三片面積都是的錫箔構(gòu)成，相鄰兩箔間距離都是，外邊箔片聯(lián)在一起成為一極，中間箔片作為另一極， 題7-13圖 （1）求電容； （2）若在這電容器上加電壓，問三箔上電荷的面密度各是多少？ 解：（1）三片錫箔組成的電容器，其電容相當兩個電容器的并聯(lián)。 （2）總電量 對于中間一片錫箔，總電量均勻分布在箔的兩面，故錫箔面電荷密度 7-14 如圖所示，同心球電容器內(nèi)外半徑分別為和，兩球間充滿相對電容率為的均勻介質(zhì)，內(nèi)球帶電量，試求： （1）電容器內(nèi)外各處電場強度和兩球的電勢差； （2）電介質(zhì)中電極化強度和極化電荷面密度； （3）電容。 解：（1）內(nèi)球所帶電荷，在外球殼內(nèi)外兩表面感應出電荷和，兩球間及球外電場具有球?qū)ΨQ性，由高斯定理 （） （） 兩球的電勢差 題7-14圖 （2）電介質(zhì)中的極化強度 極化電荷分布在靠近內(nèi)外球表面的球面上，極化電荷面密度分別為 （靠近內(nèi)球表面 ） （靠近內(nèi)球表面） （3）由兩球的電勢差，電容器電容為 7-15 一電容率為的無限大均勻介質(zhì)中，有一個半徑為的導體球，帶電荷。求電場的能量。 解：導體球的電荷均勻分布在外表面，球內(nèi)不存在電場，電場只存在于球體外，其空間分布為 （） （） 此時，電場的能量為 7-16 一空氣球形電容器內(nèi)外球殼的半徑分別為和，分別帶有等量異號電荷，電勢差為。試求：（1）電勢能；（2）電場的能量。 解：（1）介質(zhì)為空氣的球形電容器的電容為 電勢能為 （2）球形電容器介質(zhì)層中的電場強度為 其中 故 由于內(nèi)球殼中場強為零，外球殼外場強也為零，故電場能量儲存在內(nèi)外球殼之間。在兩球殼間取體積元，其電場能量 全部電場中的能量 7-17 半徑為的導體球，外套有同心的導體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為、，球與殼之間是空氣，殼外也是空氣，當內(nèi)球帶電荷，球殼帶電荷時，問：（1）這個系統(tǒng)儲藏了多少電能？ （2）如果用導線將球與殼連在一起，結(jié)果如何？ 解：（1）這個由導體球和同心導體球殼的系統(tǒng)將空間分為4個部分，分別為導體球內(nèi)（；球與殼之間（；球殼之間（）及球殼之外（）。由于球體與球殼均為導體，所以導體球內(nèi)與球殼之間的電場強度為零。由高斯定理易得此時全空間場強的表達式為 系統(tǒng)儲藏電能為 （2）如果用導線將球與殼連在一起，此時電荷只分布在球殼外表面上。由高斯定理知：球殼外表面以內(nèi)電場強度為0，球殼外表面以外電場強度表達式為 系統(tǒng)儲藏電能為 7-18 如圖所示，兩平行導體板面積為、間距為，在它們中間平行地插入一層厚為、電容率的電介質(zhì)，求下列兩種情況下，插入介質(zhì)后能量改變的值。 （1）維持兩極板電荷不變時插入介質(zhì)； （2）維持兩極板電壓不變時插入介質(zhì)。 解：未插入介質(zhì)極前，平板電容器的電容為 插入介質(zhì)后，平板電容器的電容變?yōu)? 題7-18圖 （1）維持兩極板電荷不變時插入介質(zhì)板，插入前后電場的能量分別為 ， 能量改變的值 （2）維持兩極板電壓不變時插入介質(zhì)板，插入前后電場的能量分別為 能量改變的值 7-19 一平行板電容器，板的面積為、極板間距離為,把它充電到兩極板電勢差為時去掉電源，然后把兩極板拉開到距離為。略去邊緣效應，試求： （1）分開兩極板所需的功；（2）兩極板的電勢差；（3）電容器所儲存的能量。 解：當極板間距為時，電容器電容為 當極板間距為時，電容器電容為 （1）由于在拉開極板前電池已撤去，所以板上電荷量不變， 分開兩極板所需的功為電容器儲存能量的增加量 （2）兩極板的電勢差 （3）兩極板拉開后電容器所儲存的能量