第二章-預(yù)備知識(shí)

第二章 預(yù)備知識(shí)本章給出本書所必需的預(yù)備知識(shí)。第一節(jié)介紹矩陣論的基本概念和基本知識(shí)；第二節(jié)討論廣義逆矩陣；第三節(jié)給出奇異矩陣束的概念；第四節(jié)討論正則矩陣的基本結(jié)果。2.1矩陣論基本概念和知識(shí)用表示復(fù)數(shù)集合，用表示實(shí)數(shù)集合。上的矩陣由表示，上的矩陣由表示。除非特別說明，所有矩陣都屬于。如果，我們用表示的共軛轉(zhuǎn)置；對(duì)向量，通常的內(nèi)積。對(duì)向量，定義它的Euclid范數(shù)，。對(duì)矩陣，我們使用算子范數(shù)，如果是的一個(gè)子空間，表示的維數(shù)。如果，的值域（列空間）用表示，而的零空間由表示。我們知道， 設(shè)都是的子空間，這些空間的和是子空間。如果（），即子空間是無關(guān)的，則它們的和稱為直和，記作。我們知道，而且，如果，則存在唯一的使得 一個(gè)投影是一個(gè)矩陣使得。易證，。反之，如果，存在唯一的投影使得和；我們把這個(gè)投影稱為沿著到上的投影，并記作。如果是的一個(gè)子空間，的一個(gè)正交補(bǔ)是。是一個(gè)子空間，并且。簡(jiǎn)記為。 我們經(jīng)常要用到塊矩陣的概念。特別地，若矩陣是塊對(duì)角的，即沿的主對(duì)角線有矩陣塊，其余元素均為零，記。矩陣的特征值是多項(xiàng)式的根。的譜是的所有特征值的集合，記作；的譜半徑為。設(shè)，我們說相似于，如果存在一個(gè)非奇異矩陣使得。每一個(gè)矩陣都相似于一個(gè)Jordon標(biāo)準(zhǔn)型，即其中稱為Jordon塊。一個(gè)矩陣是半正定的，如果對(duì)所有都成立，其中表示向量的內(nèi)積。如果矩陣是半正定的，則它有唯一的半正定方根，記為，即。一個(gè)矩陣，的指數(shù)，記作，是使得（為了方便起見設(shè)）的最小非負(fù)整數(shù)。由于顯然，存在，且。若是非奇異矩陣，則。若是次數(shù)為的冪零矩陣（），則。指數(shù)也可以定義為使得成立的最小非負(fù)整數(shù)。如下定理我們?cè)谙鹿?jié)中要用到。定理1.1 如果，且，則和都是的不變子空間，且。定理1.1的證明留給讀者。定理1.2 如果， ， 和則存在一個(gè)非奇異矩陣使得其中是一個(gè)非奇異矩陣，是一個(gè)次數(shù)為的冪零矩陣。證明：設(shè)是的一組基，是的一組基，則為的一組基。如果，則存在坐標(biāo)使得。設(shè)則，其中，。注意到，當(dāng)且僅當(dāng)，而當(dāng)且僅當(dāng)。如果，我們有，其中是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣。這樣，。若，則。由于，故。由于對(duì)所有都有，因此。類似可證，從而得到，。 若，。這意味著對(duì)任意成立，從而。另一方面，由于和是一個(gè)矩陣可得，是非奇異矩陣。現(xiàn)在，由得，。2.2 廣義逆矩陣本節(jié)介紹廣義逆陣，即半逆陣、反形半逆陣、Moore-Penrose逆陣和Drazin逆陣。首先，我們來討論半逆矩陣。定義2.1 對(duì)于矩陣，若存在矩陣使得則稱矩陣為矩陣的半逆矩陣。一般地，用表示的一個(gè)半逆矩陣。一般說來，一個(gè)矩陣的不一定是唯一的，但如下結(jié)果成立。定理2.1 若為矩陣的一個(gè)半逆矩陣，則均為矩陣的一個(gè)半逆矩陣，其中，為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣，且矩陣的任何一個(gè)半逆矩陣都可表示成(2.2)的形式。 證明：我們先證明(2.2)滿足(2.1)，即 反過來，我們證明，如果矩陣滿足(2.1)，則其可以表示成(2.2)的形式。事實(shí)上，只要取即可。這時(shí)定理2.1證畢。定理2.2 如果，其中，為非奇異矩陣，而取遍矩陣的所有半逆陣，則取遍矩陣的所有半逆陣。證明：如果為矩陣的半逆陣，設(shè)，則因而為的半逆陣。 反之，如果為的半逆陣，則它有形式，其中是的半逆陣。事實(shí)上，定理2.2證畢。 定理2.3 分塊矩陣的半逆陣為，其中 證明：直接驗(yàn)證得定理2.3證畢。 同理可證如下定理。 定理2.4 分塊矩陣的半逆陣為，其中 定理2.3和定理2.4分別給出求半逆陣的方法。例如，設(shè)，是由的前行構(gòu)成的矩陣，是的第行。由定理2.3，我們可以得到求矩陣的半逆陣的遞推公式：其中下面討論反形半逆陣。定義2.2 設(shè)，若存在階矩陣使得則稱為矩陣的反形半矩陣。一般地，用表示矩陣的一個(gè)反形逆。反形半逆陣是特殊的半逆陣。 定理2.5 如下關(guān)系式成立，其中為適當(dāng)階數(shù)的單位矩陣，為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣。定理2.6 當(dāng)取遍的所有半逆陣時(shí)，矩陣取遍矩陣的所有反形逆陣。定理2.5和定理2.6的證明由定義直接驗(yàn)證即得。定義2.3 設(shè)，若存在階矩陣使得則稱為矩陣的準(zhǔn)逆陣（Moore-Penrose逆陣，簡(jiǎn)稱逆陣）。 顯然，逆矩陣是一種特殊的反形半逆陣。特別地，當(dāng)時(shí)，這表明的逆陣確是逆陣的一種推廣。下面證明定義2.3的矩陣存在而且唯一。定理2.7 設(shè)，存在唯一滿足定義2.3的（Moore-Penrose）條件10-40的階矩陣。 證明：設(shè)，則由矩陣分解理論知道，可以分解為，其中和分別為和階酉矩陣，這里為階非奇異上三角陣。記則滿足Moore-Penrose條件10-40。 下面證明唯一性。設(shè)和是矩陣的任意兩個(gè)Moore-Penrose逆，都滿足Moore-Penrose條件10-40，則Moore-Penrose逆有許多與通常逆（正則逆）相仿的性質(zhì)。定理2.8 設(shè)，則(1) ；(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ，這里和為酉矩陣。利用的定義可以方便地驗(yàn)證上述性質(zhì)，留給讀者作為習(xí)題?，F(xiàn)在，我們討論Drazin逆陣。定義2.4 設(shè)，若矩陣使得則稱為矩陣的Drazin逆陣（簡(jiǎn)稱逆陣）。定理2.9 設(shè)，Drazin逆陣存在，且唯一。進(jìn)一步， 若其中是一個(gè)非奇異矩陣，是一個(gè)次數(shù)為的冪零矩陣，則。證明：設(shè)，由定理1.2，存在一個(gè)非奇異矩陣使得(2.4)成立。定義如(2.5)， 則滿足定義2.4中的條件10-30，故為矩陣的Drazin逆陣。這就是說，任意矩陣都存在Drazin逆陣。 現(xiàn)在，我們證明Drazin逆陣的唯一性。設(shè)和是矩陣的任意兩個(gè)Drazin逆陣，并設(shè)，則由定義2.4中的條件10和30得，且由定義2.4中的條件20有類似可證這樣，我們有定理2.9證畢。 注2.1 和，其中。另外 由定理2.9，可得下面結(jié)論。定理2.10 如果，且是的一個(gè)重特征值，則是的一個(gè)重特征值。若是的一個(gè)重特征值，則是的一個(gè)重特征值。定理2.11 設(shè)，則是的次數(shù)小于或等于多項(xiàng)式。證明：在(2.4)中，是一個(gè)非奇異矩陣，是一個(gè)次數(shù)為的冪零矩陣，且。由Cayley-Hamilton定理，其中是次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式。直接計(jì)算得，由于。定理2.11證畢。2.3矩陣束 本節(jié)給出矩陣束的基本概念和相應(yīng)的基本知識(shí)。定義3.1 對(duì)階數(shù)同為的兩個(gè)矩陣和純量，稱為以為參數(shù)的矩陣束，簡(jiǎn)稱矩陣束。一般地，我們將矩陣分為正則矩陣束和奇異矩陣束兩類。定義3.2 如果矩陣同為兩個(gè)階方陣，且行列式不恒為零，則稱矩陣束為正則矩陣束，稱矩陣對(duì)為正則矩陣對(duì)。定義3.3 對(duì)階數(shù)同為的兩個(gè)矩陣如果，或者且行列式恒為零，則稱矩陣束為奇異矩陣束。定義3.4 對(duì)階數(shù)同為的兩個(gè)矩陣束和，如果存在兩個(gè)階數(shù)分別為和的非奇異矩陣和，使得則稱矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵的。對(duì)階數(shù)為的奇異矩陣束，設(shè)其秩為，則或者，或者。不妨設(shè)，則列線性相關(guān)，且線性方程組有非零解。 由于(3.1)的系數(shù)是的一次式，其基本的線性無關(guān)解?？梢赃@樣選取，使得它的分量都是的多項(xiàng)式。我們只考慮這樣一些解，它是的多項(xiàng)式，且在這些解中，取最小次數(shù)的解其中 。將其代入(3.1)，并比較的系數(shù)得則(3.3)關(guān)于的系數(shù)矩陣的秩。 由于是最小的，故矩陣的秩。這樣，是在式中使成立的最小指標(biāo)。定理3.1 如果(3.1)有最小次數(shù)的解，且有，則矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵，其中而是這樣的矩陣束，類似(3.1)的方程對(duì)于它沒有次數(shù)小于的解。該定理的證明可分三步進(jìn)行：第一步，證明矩陣束與嚴(yán)格相抵，其中為適當(dāng)階的矩陣。 第二步，證明方程不能有次數(shù)小于的解。第三步，上面的矩陣可以化為(3.4)。詳細(xì)證明可參見5，從略。下面討論奇異矩陣束的標(biāo)準(zhǔn)形式。定理3.2 對(duì)于階數(shù)為的奇異矩陣束，若在其行之間和其列之間都沒有常系數(shù)的線性相關(guān)性，則矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵，其中而矩陣束是正則的。 證明：如果奇異矩陣束列線性相關(guān)，且方程有次數(shù)小于的非零解，由假定知，再由定理3.1可得，該矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵，其中方程沒有次數(shù)小于的解。 如果方程有次數(shù)小于的非零解（必有），由定理3.1得，奇異矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵，其中方程沒有次數(shù)小于的非零解。 如此繼續(xù)下去，我們可將奇異矩陣化為其中，且方程有次數(shù)非零的解，即矩陣束列線性無關(guān)。 如果矩陣束行線性相關(guān)，則矩陣束的轉(zhuǎn)置矩陣束列線性相關(guān)，由上可將其化為(1.6)的形式，即存在 將化為其中矩陣束的行和列都是線性無關(guān)的，即矩陣束是正則的。定理3.3 一般地，對(duì)于階數(shù)為的奇異矩陣束，存在非奇異矩陣和非奇異矩陣，使得其中為零矩陣，而，為一正則矩陣束，這里 證明：一般說來，矩陣束的行與列可能有常系數(shù)線性相關(guān)。設(shè)方程與方程的常系數(shù)無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)分別為和。 對(duì)于方程(3.8)，以其線性無關(guān)常數(shù)解為中基的前個(gè)向量，則對(duì)應(yīng)的矩陣中前列都是零，即 對(duì)于，用完全類似的方法可使前行變?yōu)榱恪＿@樣，矩陣束可化為其中的行與列沒有常系數(shù)線性相關(guān)性。由定理3.2可得定理3.3成立。2.4 正則矩陣束上一節(jié)中，我們給出了正則矩陣束的概念，本節(jié)將作進(jìn)一步的討論。定理4.1 矩陣對(duì)為正則的充要條件為，存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵。證明：定理的充分性是顯然，我們只需證明其必要性。如果矩陣束正則，則存在常數(shù)使得。設(shè)，則從而用相似變換，將其化為其中為矩陣的準(zhǔn)對(duì)角形范式。為冪零矩陣，而。 式(2.1)右端的對(duì)角線上第一子塊乘以，第二子塊乘以，并設(shè)，可得矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵，而且，仍為冪零矩陣。定理2.1證畢。由定理4.1不難證明如下定理。定理4.2 矩陣對(duì)為正則的充要條件為，存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵。定理4.3 設(shè)矩陣對(duì)正則，即存在某些純量使得存在，令則有 證明：因?yàn)槲覀冇幸虼?，。用分別左乘和右乘該式，得故。定理2.3證畢。 定理4.4 下列敘述是等價(jià)的，a) 矩陣對(duì)正則；b) 如果，而且則對(duì)所有，都有；c) 如果，而且則對(duì)所有，都有；d) 對(duì)所有的，矩陣列滿秩。e) 對(duì)所有的，矩陣行滿秩。證明：我們首先證明a)與b)的等價(jià)性。如果a)不成立，則存在非零的使得對(duì)所有的數(shù)都有我們可以將表示為關(guān)于的階數(shù)最小的多項(xiàng)式其中。將式(2.2)代入方程組并比較充要條件為，存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束關(guān)于的同次項(xiàng)系數(shù)得我們注意到，而且，故b)不成立，即由b)可以得到a)。反之，如果b)不成立，設(shè)為第一個(gè)使得（）非零的集合，并設(shè)為集中的非零元素。由的定義，存在唯一確定的使得類似地，存在唯一確定的使得(2.3)成立，故a)不成立。也就是說，由a)可推出b).綜上所述，a)與b)等價(jià)。由于等價(jià)于，因而可由a)與b)的等價(jià)性得到a)與c)的等價(jià)性。a)與d)和a)與e)的等價(jià)性同理可證。