高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)：第十三章統(tǒng)計(jì)案例.doc

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第十三章　統(tǒng)計(jì)案例 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法. 2.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn)，理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差，能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 3.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，了解回歸的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用. 4.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用. 本章重點(diǎn)： 1.三種抽樣方法的區(qū)別、聯(lián)系及操作步驟.2.樣本頻率分布直方圖和莖葉圖.3.用樣本估計(jì)總體的思想. 本章難點(diǎn)： 回歸直線方程與獨(dú)立性檢驗(yàn). 統(tǒng)計(jì)多數(shù)以選擇題和填空題形式考查，大題只在個(gè)別省的考題中出現(xiàn)過(guò).難度屬于基礎(chǔ)題和中檔題.考點(diǎn)往往集中體現(xiàn)在抽樣方法、頻率分布圖表這兩個(gè)方面.另外，應(yīng)注意統(tǒng)計(jì)題反映出來(lái)的綜合性與應(yīng)用性，如與數(shù)列、概率等的綜合，用統(tǒng)計(jì)方法提供決策、制定方案等，以此考查學(xué)生搜集處理信息及分析解決問(wèn)題的能力. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 13.1　抽樣方法與用樣本估計(jì)總體 典例精析 題型一　抽樣方法 【例1】某校有教師200人，男學(xué)生1 200人，女學(xué)生1 000人，用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知女學(xué)生抽取的人數(shù)為80人，則n的值為　　　. 【解析】根據(jù)分層抽樣的意義， ＝，解得n＝192. 【點(diǎn)撥】現(xiàn)實(shí)中正確的分層抽樣一般有三個(gè)步驟：首先，辨明突出的統(tǒng)計(jì)特征和分類.其次，確定每個(gè)分層在總體上的比例.利用這個(gè)比例，可計(jì)算出樣本中每組(層)應(yīng)抽取的人數(shù).最后，必須從每層中抽取獨(dú)立簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. 【變式訓(xùn)練1】從某廠生產(chǎn)的802輛轎車(chē)中隨機(jī)抽取80輛測(cè)試某項(xiàng)性能.請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫(xiě)出抽樣過(guò)程. 【解析】第一步，將802輛轎車(chē)用隨機(jī)方式編號(hào). 第二步，從總體中剔除2輛(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)表法)，將剩余的800輛轎車(chē)重新編號(hào)(分別為001,002,003，…，800)，并分成80段. 第三步，在第一段001,002，…，010這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)(如005)作為起始號(hào)碼. 第四步，將編號(hào)為005,015,025，…，795的個(gè)體抽出，組成樣本. 題型二　頻率分布直方圖 【例2】(2010湖南)如圖是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖. (1)求直方圖中x的值； (2)若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】(1)依題意及頻率分布直方圖知0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12. (2)由題意知X～B(3,0.1)，因此 P(X＝0)＝C0.93＝0.729， P(X＝1)＝C0.10.92＝0.243， P(X＝2)＝C0.120.9＝0.027， P(X＝3)＝C0.13＝0.001， 故隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝30.1＝0.3. (或E(X)＝10.243＋20.027＋30.001＝0.3) 【點(diǎn)撥】從頻率分布直方圖讀取數(shù)據(jù)時(shí)，要特別重視組距，縱坐標(biāo)是頻率除以組距，故長(zhǎng)方形的面積之和為1. 【變式訓(xùn)練2】如圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)數(shù)據(jù)填空： (1)樣本數(shù)據(jù)落在[10,14)內(nèi)的頻數(shù)為　 ??； (2)樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻率為　 ?。? (3)總體落在[2,6)內(nèi)的頻率為　 　. 【解析】(1)樣本落在[10,14)內(nèi)的頻數(shù)為0.094100＝36. (2)樣本落在[6,10)內(nèi)的頻率為0.084＝0.32. (3)樣本落在[2,6)內(nèi)的頻率為0.024＝0.08，所以總體落在[2,6)內(nèi)的頻率約為0.08. 題型三　平均數(shù)、方差的計(jì)算 【例3】甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下： 甲　4　7　10　9　5　6　8　6　8　8 乙　7　8　6　8　6　7　8　7　5　9 試問(wèn)誰(shuí)10次射靶的情況較穩(wěn)定？ 【解析】本題要計(jì)算兩樣本的方差，當(dāng)樣本平均數(shù)不是整數(shù)，且樣本數(shù)據(jù)不大時(shí)，可用簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差. ＝(4＋7＋…＋8)＝7.1， ＝(7＋8＋…＋9)＝7.1， s＝(42＋72＋…＋82－107.12)＝3.09， s＝(72＋82＋…＋92－107.12)＝1.29， 因?yàn)閟＞s，所以乙10次射靶比甲10次射靶情況穩(wěn)定. 【點(diǎn)撥】平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定. 【變式訓(xùn)練3】(2010北京市東城區(qū))在一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考后，某班隨機(jī)抽取10名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行樣本分析，獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如右圖. (1)計(jì)算此樣本的平均成績(jī)及方差； (2)現(xiàn)從此樣本中隨機(jī)抽出2名學(xué)生的成績(jī)，設(shè)抽出分?jǐn)?shù)為90分以上的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值. 【解析】(1)樣本的平均成績(jī)＝80； 方差為s2＝[(92－80)2＋(98－80)2＋(98－80)2＋(85－80)2＋(85－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝175. (2)由題意，隨機(jī)變量X＝0,1,2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝. 隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0＋1＋2＝. 總結(jié)提高 1.統(tǒng)計(jì)的基本思想是用樣本估計(jì)總體.這就要求樣本具有很好的代表性，而樣本良好客觀的代表性，則完全依賴抽樣方法. 2.三種抽樣方法中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法，是其他兩種方法的基礎(chǔ)，它們的共同點(diǎn)都是等概率抽樣.適用范圍不同，要根據(jù)總體的具體情況選用不同的方法. 3.對(duì)于總體分布，總是用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì). 4.用樣本估計(jì)總體，一般分成以下幾個(gè)步驟： 先求樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值(稱為極值)，再確定合適的組數(shù)和組距，確定分點(diǎn)(每個(gè)分點(diǎn)只屬于一組，故一般采用半開(kāi)半閉區(qū)間)，然后列出頻率分布表(準(zhǔn)確，查數(shù)據(jù)容易)，畫(huà)頻率分布直方圖. 13.2　兩變量間的相關(guān)性、回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn) 典例精析 題型一　求回歸直線方程 【例1】下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限(年)和所需要的維修費(fèi)用(萬(wàn)元)的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)若y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝x＋； (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？ 【解析】(1)因?yàn)閤iyi＝112.3，x＝4＋9＋16＋25＋36＝90， 且＝4，＝5，n＝5， 所以＝＝＝1.23，＝5－1.234＝0.08， 所以回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08. (2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝1.2310＋0.08＝12.38， 所以估計(jì)當(dāng)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用約為12.38萬(wàn)元. 【點(diǎn)撥】當(dāng)x與y呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，可直接求出回歸直線方程，再利用回歸直線方程進(jìn)行計(jì)算和預(yù)測(cè). 【變式訓(xùn)練1】某工廠經(jīng)過(guò)技術(shù)改造后，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)有如下幾組樣本數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，通過(guò)線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7，那么y關(guān)于x的回歸直線方程是　　　　　　　　. 【解析】先求得＝4.5，＝3.5，由＝0.7x＋a過(guò)點(diǎn)(，)，則a＝0.35，所以回歸直線方程是＝0.7x＋0.35. 題型二　獨(dú)立性檢驗(yàn) 【例2】研究小麥種子經(jīng)滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗(yàn)觀察，得到數(shù)據(jù)如下表所示： 種子滅菌 種子未滅菌 合計(jì) 黑穗病 26 184 210 無(wú)黑穗病 50 200 250 合計(jì) 76 384 460 試按照原試驗(yàn)?zāi)康淖鹘y(tǒng)計(jì)分析推斷. 【解析】由列聯(lián)表得： a＝26，b＝184，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460. 所以K2＝＝≈4.804， 由于K2≈4.804＞3.841， 所以有95%的把握認(rèn)為種子滅菌與否與小麥發(fā)生黑穗病是有關(guān)系的. 【變式訓(xùn)練2】(2010東北三省三校模擬)某研究小組為了研究中學(xué)生的身體發(fā)育情況，在某學(xué)校隨機(jī)抽出20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成22的列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有　　　%的把握認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系. 超重 不超重 合計(jì) 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 合計(jì) 7 13 20 附：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表 P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 (獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2值的計(jì)算公式：K2＝) 【解析】由表可得a＋b＝5，c＋d＝15，a＋c＝7，b＋d＝13，ad＝48，bc＝3，n＝20，運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2值的計(jì)算公式得K2＝＝≈5.934， 由于K2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系. 總結(jié)提高 1.在研究?jī)蓚€(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手. 2.樣本的隨機(jī)性導(dǎo)致由線性回歸方程所作出的預(yù)報(bào)也具有隨機(jī)性.