2016年廣西南寧中考數(shù)學(xué)試卷及答案

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2016年南寧初中畢業(yè)升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷 （考試時(shí)間：120分鐘，滿分：120分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. -2的相反數(shù)是（ ） （A） -2 （B） 0 （C） 2 （D） 4 2. 把一個(gè)正六棱柱如圖1擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是 （ ） 圖1 （A） （B） （C） （D） 3. 據(jù)《南國早報(bào)》報(bào)道：2016年廣西高考報(bào)名人數(shù)約為332000人，創(chuàng)歷史新高。其中數(shù)據(jù)332000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） （A） 0.332106 （B） 3.32105 （C） 3.32104 （D） 33.2104 4. 已知正比例函數(shù)y=3x的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，m），則m的值為（ ） （A） （B） 3 （C） - （D） -3 5. 某校規(guī)定學(xué)生的學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)滿分為100分，其中研究性學(xué)習(xí)成績(jī)占40%，期末卷面成績(jī)占60%，小明的兩項(xiàng)成績(jī)（百分制）依次是80分，90分，則小明這學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)是（ ） D A C 圖2 B 36O （A） 80分 （B） 82分 （C） 84分 （D） 86分 6. 如圖2，廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架跨度BC=10米，B=36, 則中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）的長(zhǎng)是（ ） （A） 5sin36米 （B） 5cos36米 （C） 5tan36米 （D） 10tan36米 7. 下列運(yùn)算正確的是（ ） （A） a2-a=a （B） ax+ay=axy （C） m2 m4=m6 （D） （y3）2=y5 8. 下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是（ ） 9. 如圖3，點(diǎn)A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E， DCE=40，則P的度數(shù)為（ ） （A） 140 （B） 70 （C） 60 （D） 40 S1 圖4 S2 10. 超市店慶促銷，某種書包原價(jià)每個(gè)x元，第一次降價(jià)打“八折”，第二次降價(jià)每個(gè)又減10元，經(jīng)兩次降價(jià)后售價(jià)為90元。則得到方程（ ） （A） 0.8x-10=90 （B） 0.08x-10=90 （C） 90-0.8x=10 （D） x-0.8x-10=90 11. 有3個(gè)正方形如圖4所示放置，陰影部分的面積依次記為S，S，則S： S等于（ ） （A）1： （B）1：2 （C）2：3 （D）4：9 у 0 y=x χ y=ax2+bx+c 圖5 12. 二次函數(shù)y=ax+bx+c (a≠0) 和正比例函數(shù)y=x的圖象。如圖5所示，則 方程 ax+（b-）x+c=0 （a≠0）的兩根和（ ） （A）大于0 （B）等于0 （C）小于0 （D）不能確定 E A B D C 1211 圖6 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 13. 若二次根式有意義，則x的取值范圍_______________ 14. 如圖6，平行線AB、CD被直線AE所截?！?=50。則∠A=_______________ 圖7 15. 分解因式：a-9=_______________ D y x B C O A 圖8 16. 如圖7，在44正方形網(wǎng)格中，有3個(gè)小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意一個(gè)白色的小正方形（每一個(gè)白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新構(gòu)成的黑色部分的圖形是軸對(duì)稱圖形的概率是_______________ 17. 如圖8所示，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)D，若矩形OABC的面積為8，則k的值為_______________ 18. 觀察下列等式： 第一層 1+2=3 第二層 4+5+6=7+8 第三層 9+10+11+12=13+14+15 第四層 16+17+18+19+20=21+22+23+24 …… 在上述的數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第______________層。 三、解答題（本大題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 19. （6分）計(jì)算： 20. （6分）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來 21.（8分）如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(4，0)，C(4，-4). （1）請(qǐng)畫出△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1； （2）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來的，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)趛軸右側(cè)畫出△A2B2C2，并求出A2C2B2的正弦值. 22. （8分）在“書香八桂，閱讀圓夢(mèng)”讀書活動(dòng)中，某中學(xué)設(shè)置了書法、國學(xué)誦讀、演講、征文四個(gè)比賽項(xiàng)目（每人只參加一個(gè)項(xiàng)目），九（2）班全班同學(xué)都參加了比賽，該班班長(zhǎng)為了了解本班同學(xué)參加各項(xiàng)比賽的情況，收集 整理數(shù)據(jù)后，繪制以下不完整的折線統(tǒng)計(jì)圖（圖10-2）.根據(jù)圖表中的信息解答下列各題： （1）請(qǐng)求出九（2）班全班人數(shù)； （2）請(qǐng)把折線統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； （3）南南和寧寧參加了比賽，請(qǐng)用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出他們參加的比賽項(xiàng)目相同的概率. 23.（8分）如圖11，在Rt△ABC中， C=90，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E。 （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng)。 24.（10分）在南寧市地鐵1號(hào)線某段工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天后增加乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，共完成總工程的。 （1）求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ （2）為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊(duì)各自提高工作效率，提高后乙隊(duì)的工作效率是，甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)的m倍（）。若兩隊(duì)合作40天完成剩余的工程，請(qǐng)寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊(duì)的最大工作效率是原來的幾倍？ 25.（10分）已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF=60 . （1）如圖12-1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖12-2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖12-3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離。 26.（10分）如圖13，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x-2交于B，C兩點(diǎn)。 （1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）求證：△ABC是直角三角形； （3）若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。  2016年南寧中考數(shù)學(xué)答案及解析 （考試時(shí)間：120分鐘，滿分：120分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 2. -2的相反數(shù)是（ ） （A） -2 （B） 0 （C） 2 （D） 4 【答案】C 【考點(diǎn)】相反數(shù)-初一上冊(cè) 2. 把一個(gè)正六棱柱如圖1擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是 （ ） 圖1 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【考點(diǎn)】投影-初三下冊(cè) 11. 據(jù)《南國早報(bào)》報(bào)道：2016年廣西高考報(bào)名人數(shù)約為332000人，創(chuàng)歷史新高。其中數(shù)據(jù)332000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） （A） 0.332106 （B） 3.32105 （C） 3.32104 （D） 33.2104 【答案】B 【考點(diǎn)】科學(xué)計(jì)數(shù)法-初一上冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)注廣西高考時(shí)事，與時(shí)俱進(jìn)，也恭喜我們海壁學(xué)生高考數(shù)學(xué)再創(chuàng)新高，平均分高達(dá)120。 12. 已知正比例函數(shù)y=3x的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，m），則m的值為（ ） （A） （B） 3 （C） - （D） -3 【答案】B 【考點(diǎn)】正比例函數(shù)-初二下冊(cè) 13. 某校規(guī)定學(xué)生的學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)滿分為100分，其中研究性學(xué)習(xí)成績(jī)占40%，期末卷面成績(jī)占60%，小明的兩項(xiàng)成績(jī)（百分制）依次是80分，90分，則小明這學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)是（ ） （A） 80分 （B） 82分 （C） 84分 （D） 86分 【答案】D 【考點(diǎn)】加權(quán)平均數(shù)-初二下冊(cè) D A C 圖2 B 36O 14. 如圖2，廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架跨度BC=10米，B=36, 則中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）的長(zhǎng)是（ ） （A） 5sin36米 （B） 5cos36米 （C） 5tan36米 （D） 10tan36米 【答案】C 【考點(diǎn)】等腰三角形-八年級(jí)上冊(cè)；銳角三角函數(shù)-九年級(jí)下冊(cè) 15. 下列運(yùn)算正確的是（ ） （A） a2-a=a （B） ax+ay=axy （C） m2 m4=m6 （D） （y3）2=y5 【答案】C 【考點(diǎn)】整式加減-初一上冊(cè)；整式的乘除-初二上冊(cè) 16. 下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是（ ） 【答案】D 【考點(diǎn)】函數(shù)的定義-初二下冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】本題回歸根本又聯(lián)系未來，對(duì)函數(shù)的認(rèn)知，對(duì)函數(shù)與解析幾何的區(qū)別有所探討 9. 如圖3，點(diǎn)A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E， DCE=40，則P的度數(shù)為（ ） （A） 140 （B） 70 （C） 60 （D） 40 【答案】B 【考點(diǎn)】四邊形內(nèi)角和-八年級(jí)上冊(cè)；圓心角和圓周角-九年級(jí)上冊(cè) 10. 超市店慶促銷，某種書包原價(jià)每個(gè)x元，第一次降價(jià)打“八折”，第二次降價(jià)每個(gè)又減10元，經(jīng)兩次降價(jià)后售價(jià)為90元。則得到方程（ ） （A） 0.8x-10=90 （B） 0.08x-10=90 （C） 90-0.8x=10 （D） x-0.8x-10=90 S1 圖4 S2 【答案】A 【考點(diǎn)】一元一次方程-七年級(jí)上冊(cè) 13. 有3個(gè)正方形如圖4所示放置，陰影部分的面積依次記為S，S，則S： S等于（ ） （A）1： （B）1：2 （C）2：3 （D）4：9 【答案】D 【考點(diǎn)】正方形-八年級(jí)下冊(cè)；相似-九年級(jí)下冊(cè) у 0 y=x χ y=ax2+bx+c 圖5 【海壁點(diǎn)評(píng)】看起來像幾比幾？相信很多同學(xué)會(huì)猜1：2吧。猜是一種很好的直覺思維，海壁鼓勵(lì)的是先猜后證。這道題通過相似，面積比等于邊長(zhǎng)比的平方證明就ok，也可以代入邊長(zhǎng)的特殊值來計(jì)算。 14. 二次函數(shù)y=ax+bx+c (a≠0) 和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖5所示，則 方程 ax+（b-）x+c=0 （a≠0）的兩根和（ ） （A）大于0 （B）等于0 （C）小于0 （D）不能確定 【答案】A 【考點(diǎn)】一次函數(shù)-八年級(jí)下冊(cè)；二次函數(shù)-九年級(jí)上冊(cè)；韋達(dá)定理-九年級(jí)上冊(cè) 【解答】聯(lián)立得到ax+（b-）x+c=0，通過觀察圖像兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和可得。 或由x1+x2=. 觀察圖象可得a>0 , >0推出b<0 兩根和>0. 【海壁點(diǎn)評(píng)】這道題的題眼是兩根和，初三的學(xué)生應(yīng)該清楚，韋達(dá)定理是唯一的選擇。含有參數(shù)的一元二次方程，這是海壁老師多次強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)，也是我們總結(jié)的數(shù)與式體系的選擇壓軸七大類型題中考頻非常高的一種。今年是將函數(shù)圖像的交點(diǎn)和韋達(dá)定理結(jié)合起來考察，學(xué)生要清楚兩根和代表兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和。這道題難度有限。學(xué)生如果還對(duì)答案存疑，完全可以代入具體的數(shù)字進(jìn)行驗(yàn)證。韋達(dá)定理是南寧中考的重點(diǎn)，在2013年的26題、2015年的26題中都有涉及。它是高中解析幾何重點(diǎn)應(yīng)用的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。 E A B D C 1211 圖6 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 19. 若二次根式有意義，則x的取值范圍_______________ 【答案】x≥1 【考點(diǎn)】二次根式-八年級(jí)下冊(cè) 20. 如圖6，平行線AB、CD被直線AE所截?！?=50。則∠A=_______________ 【答案】50 圖7 【考點(diǎn)】相交線與平行線-七年級(jí)下冊(cè) 21. 分解因式：a-9=_______________ 【答案】(a+3)(a-3) 【考點(diǎn)】因式分解-八年級(jí)上冊(cè) 22. 如圖7，在44正方形網(wǎng)格中，有3個(gè)小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意一個(gè)白色的小正方形（每一個(gè)白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新構(gòu)成的黑色部分的圖形是軸對(duì)稱圖形的概率是_______________ D y x B C O A 圖8 【答案】 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形-八年級(jí)上冊(cè)；概率-九年級(jí)上冊(cè) 23. 如圖8所示，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)D，若矩形OABC的面積為8，則k的值為_______________ 【答案】2 【考點(diǎn)】矩形-八年級(jí)下冊(cè)；反比例函數(shù)-九年級(jí)下冊(cè)，相似-九年級(jí)下冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】反比例函數(shù)結(jié)合相似是函數(shù)選擇填空壓軸題中比較?？嫉念愋?。這道題目在這個(gè)類型中屬于比較簡(jiǎn)單的，充分體現(xiàn)了出題老師的和藹。 24. 觀察下列等式： 第一層 1+2=3 第二層 4+5+6=7+8 第三層 9+10+11+12=13+14+15 第四層 16+17+18+19+20=21+22+23+24 …… 在上述的數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第______________層。 【答案】44 【考點(diǎn)】找規(guī)律—數(shù)列—高二 【解答】由題易知，首項(xiàng)為1、4、9、16……第n層首項(xiàng)為n2 （也可討論：末尾項(xiàng)3、8、15、24……第n層末尾項(xiàng)為：n2+2n，方法一樣，但規(guī)律難找）442=1936，45=2025，。所以，2016在第44層 【海壁點(diǎn)評(píng)】找規(guī)律題型是南寧市中考的重點(diǎn)題型，近幾年只有2014沒有出現(xiàn)（2010年的18題，2011年的18題，2012年的18題，2013年的17題，2015年的18題）海壁對(duì)規(guī)律題相較于學(xué)校和其他機(jī)構(gòu)有更為深刻的理解。這種理解是基于對(duì)初高中知識(shí)體系和聯(lián)系的把握。找規(guī)律本質(zhì)是數(shù)列。今年的找規(guī)律是海壁所總結(jié)的四大規(guī)律中的平方數(shù)列，我們有兩種以上的方法求出n項(xiàng)的代數(shù)式（也就是高中的通項(xiàng)公式）。我們對(duì)找規(guī)律可拓展的方向也有非常明確地分析。在海壁學(xué)習(xí)的學(xué)生不但對(duì)于初中的難題能夠高人一籌，對(duì)于高中的掌握也能快人一步。 三、解答題（本大題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 21. （6分）計(jì)算： 【答案】 【考點(diǎn)】絕對(duì)值-七年級(jí)上冊(cè)；負(fù)次冪、根數(shù)-七年級(jí)下冊(cè)；銳角三角函數(shù)-九年級(jí)下冊(cè) 22. （6分）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來 【答案】 【考點(diǎn)】不等式組-七年級(jí)下冊(cè) 21.（8分）如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(4，0)，C(4，-4). （1）請(qǐng)畫出△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1； （2）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來的，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)趛軸右側(cè)畫出△A2B2C2，并求出A2C2B2的正弦值. 【答案】（1）△A1B1C1如右圖所示： （2分） （2）△A2B2C2如右圖所示： （2分） 解：如圖，A2（-1，-1），B2（-2，0），C2（-2，2） 設(shè)直線A2C2解析式為：y=kx+b 將A2（-1，-1），C2（-2，2）代入， 求得：y=-3x-4； 則直線A2C2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)D為 （，0） （1分） 在RT△B2DC2中，B2D=， C2D= （1分） sinA2C2B2== （2分） 【考點(diǎn)】平面直角坐標(biāo)系，平移—七年級(jí)下冊(cè)；位似—九年級(jí)下冊(cè)；一次函數(shù)-八年級(jí)下冊(cè)；勾股定理-八年級(jí)下冊(cè)；三角函數(shù)—九年級(jí)下冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】本題相比南寧往年中考題的創(chuàng)新之處在將三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合起來，形成了“二選一”題型（解直角三角形+作圖）的合二為一。難度中等，有點(diǎn)意思。 22. （8分）在“書香八桂，閱讀圓夢(mèng)”讀書活動(dòng)中，某中學(xué)設(shè)置了書法、國學(xué)誦讀、演講、征文四個(gè)比賽項(xiàng)目（每人只參加一個(gè)項(xiàng)目），九（2）班全班同學(xué)都參加了比賽，該班班長(zhǎng)為了了解本班同學(xué)參加各項(xiàng)比賽的情況，收集 整理數(shù)據(jù)后，繪制以下不完整的折線統(tǒng)計(jì)圖（圖10-2）.根據(jù)圖表中的信息解答下列各題： （1）請(qǐng)求出九（2）班全班人數(shù)； （2）請(qǐng)把折線統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； （3）南南和寧寧參加了比賽，請(qǐng)用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出他們參加的比賽項(xiàng)目相同的概率. 【答案】（1）解：根據(jù)演講人數(shù)推斷總?cè)藬?shù)：1225%= 48（人）； （2分） （2）如右圖所示。 （2分） （3）答：兩人參加比賽項(xiàng)目相同的概率為：416= （2分） 樹形圖：如圖 （2分） or列表法： （2分） 【考點(diǎn)】折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖—七年級(jí)下冊(cè)；統(tǒng)計(jì)：利用部分推測(cè)總體—七年級(jí)下冊(cè)；概率（樹形圖與列表法）—九年級(jí)上冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】本題毫無懸念。閱讀作為背景傳遞了數(shù)學(xué)出題老師的心聲。讀書也是專注數(shù)學(xué)的海壁的每一位老師都大力提倡的。只有讀書才能圓夢(mèng)，也只有讀好書，好讀書，才能學(xué)好數(shù)學(xué)哦。當(dāng)然，除了國學(xué)以外，還有傳記、心理學(xué)、歷史、藝術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和哲學(xué)等，都可以成為中學(xué)生不錯(cuò)的選擇。 23.（8分）如圖11，在Rt△ABC中， C=90，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E。 （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng)。 【答案】（1）證明：連接OD（如圖藍(lán)線所示） OD=OB ∠OBD=∠ODB BD是∠ABC的角平分線 ∠OBD=∠CBD ∠CBD=∠ODB OD∥BC （1分） ∠C=90 ∠ODC=90 OD⊥AC 點(diǎn)D在⊙O上， AC是⊙O的切線 （2分） 【海壁備注：方法很多，如等角代換】 （2）解：過圓心O作OMBC交BC于M（如右圖藍(lán)線所示） BE為⊙O 的弦，且OMBE BM=EM （1分） ∠ODC=∠C=∠OMC= 90 四邊形ODCH為矩形，則OM=DC=8 OB=10 BM==6=EM （2分） BE=BM+EM=12 （2分） 【海壁備注：方法很多，如作DH⊥AB】 【考點(diǎn)】角平分線、平行—七年級(jí)下冊(cè)；矩形—八年級(jí)下冊(cè)；圓、切線、垂徑定理—九年級(jí)上冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】南寧中考的傳統(tǒng)是23題-三角形和四邊形，25題-圓與直角三角形；今年互換了位置。這在南寧尚屬首次。但在廣西省外卻不新鮮。對(duì)于用《天利38套》作為主要練習(xí)冊(cè)的海壁學(xué)生們，想必也不會(huì)奇怪。單論這道題目，第一問非常常規(guī)，考圓的切線的證明，海壁的同學(xué)們練習(xí)過多次，輕車熟路；第二問主要考察輔助線，想比以前的三角形和四邊形，難度有所提升。方法很多，如果做DH⊥AB也能做出來，但明顯做OM⊥BC更加簡(jiǎn)單。為什么能想到OM⊥BC，請(qǐng)注意ODCB是一個(gè)直角梯形啊，直角梯形的輔助線還有哪條？！哪條？！條？！…… 24.（10分）在南寧市地鐵1號(hào)線某段工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天后增加乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，共完成總工程的。 （1）求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ （2）為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊(duì)各自提高工作效率，提高后乙隊(duì)的工作效率是，甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)的m倍（）。若兩隊(duì)合作40天完成剩余的工程，請(qǐng)寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊(duì)的最大工作效率是原來的幾倍？ 【答案】（1）解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天，則乙隊(duì)每天的工作效率為 ，依題意，得： （2分） 解得：=450 （1分） 經(jīng)檢驗(yàn)：=450是原分式方程的解. （1分） 答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要450天。 （2）解：乙隊(duì)的工作效率為，依題意可得甲隊(duì)的工作效率為，可列出等式為： 40（+）= （1分） 轉(zhuǎn)化得：=60+60 （2分） 要求乙隊(duì)最大工作效率，即求的最大值。當(dāng)正數(shù)a最小時(shí)，最大 =1時(shí)，a小=120 此時(shí)，= （1分） 即： （2分） 答：乙隊(duì)最大工作效率是原來的3.75倍。 【考點(diǎn)】分式方程—八年級(jí)上冊(cè)；一次函數(shù)—八年級(jí)下冊(cè)；反比例函數(shù)—九年級(jí)下冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】今天是6月28日，南寧地鐵正式運(yùn)營(yíng)！可喜可賀??！能提升市民驕傲城市熱點(diǎn)話題入應(yīng)用題都是老套路，好嗎？！工程問題是不錯(cuò)的選擇（海壁歸納的三大類之一），工程總量看成單位1也天然契合。第二小問初看讓人迷糊，好家伙，a和m兩個(gè)參數(shù)，會(huì)嚇到一批只注重顏值、只看到表面的小伙伴。其實(shí)呢，會(huì)審題的朋友們發(fā)現(xiàn)，都是紙老虎。用萬能表格法把式子列出來，so easy！當(dāng)我們很高興的時(shí)候，又來一個(gè)坑——和a的大小關(guān)系是反過來的。*&……%￥#。不要凌亂，只要檢查。把兩個(gè)邊界值代入檢驗(yàn)下，看看哪個(gè)效率更高不就好了嗎？這次應(yīng)用題說實(shí)話不算難（特別是相對(duì)去年的應(yīng)用題第三小問，計(jì)算量慘無人道），簡(jiǎn)單的不檢查，才難！ 25.（10分）已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF=60 . （1）如圖12-1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖12-2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖12-3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離。 【答案】（1） AE=EF=AF （2分） （2）證明：連接AC（如右圖藍(lán)色部分所示） 四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60 AB=AD=AC，∠ABC=∠ACB=∠ACD=60 ∠EAF=60，即∠EAC+∠FAC=60 ∠ABC =60，即∠EAC+∠BAE=60 ∠FAC=∠BAE （1分） 又 ∠ABE=∠ACD=60 且AC=AB △ABE△ACF（ASA） （2分） BE=CF （1分）【海壁備注：方法很多，如△AEC≌△AFD】 （3）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H（如下圖藍(lán)線部分所示） ∠EAB=15，∠ABC=60 ∠AEB=45 Rt△AGB中，∠ABC=60，AB=4 BG=2，AG= Rt△AGE中，∠AEB=45，AG=EG= ∴ EB=EG-BG=-2 （1分） 由（2）易同理可證，△AEB△AFC ∴AE=AF， EB=CF=-2 ，∠AEB=∠AFC=45 （1分） ∠EAF=60 ，AE=AF △AEF為等邊三角形，∴ ∠AEF=∠AFE=60 ∠AEB=45，∠AEF=60 ∠CEF=∠AEF -∠AEB=15 Rt△EFH中，∠CEF=15，∴ ∠EFH=75 又∠AFE=60， ∠AFH=∠EFH -∠AFE=15 又∠AFC=45，∠CFH=∠AFC -∠AFH =30 （1分） Rt△CHF中，∠CFH=30，CF=-2 ∴ FH=CFcos30=（-2）= （2分）【海壁備注：方法很多，如用三角函數(shù)】 FH的長(zhǎng)度即為點(diǎn)F到BC的距離 . 【考點(diǎn)】等邊三角形，三角形全等—八年級(jí)上冊(cè)；菱形—八年級(jí)下冊(cè)；30和45直角三角形—九年級(jí)下冊(cè) 【海壁點(diǎn)評(píng)】如果學(xué)生問我，一般來說，四邊形和圓誰更難？我會(huì)說，都不難。相似才難，輔助線更難。如果學(xué)生問我，今年的這道壓軸難不難？我會(huì)說，按這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，今年的題目難度一般。因?yàn)闆]有眼花繚亂的相似三角形（當(dāng)然，有也不要怕，海壁有五大模型），因?yàn)闆]有出其不意的輔助線（做垂線，很套路）。出題老師的善良讓人敬仰。第一題，送分題，善良不解釋。第二題，中等以上的同學(xué)都應(yīng)該做出來，難度在于要做一條輔助線。對(duì)于海壁的學(xué)生來說，“動(dòng)中不變量”還說的少？！！第三小問，繼續(xù)遵循不變（字母都不變）的全等三角形，通過放大局部，再做兩條輔助線解決問題。15，我們還不聯(lián)系聯(lián)想到30、45和60，我們還不聯(lián)想到特殊直角三角形，我們還有什么臉面號(hào)稱數(shù)學(xué)學(xué)霸！同學(xué)們，不要局限于是圓還是四邊形，這不重要，海壁要告訴大家，一二問都是套路，圓和四邊形套路不同而已，第三問歸根究底就是三個(gè)字（這個(gè)在海壁的同學(xué)都知道）我們還是保留一些懸念吧。 26.（10分）如圖13，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x-2交于B，C兩點(diǎn)。 （1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）求證：△ABC是直角三角形； （3）若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。 【答案】（1）解：拋物線頂點(diǎn)為（1，1），設(shè)解析式為 代入（0，0），解得a=-1 拋物線為： （2分） 拋物線與直線交于B、C兩， 得 解得， C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3） （1分） （2）由題目和（1）得，B（2，0），C（-1，-3），A（1，1），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式 （1分） 根據(jù)勾股逆定理，得出是直角三角形. （2分）【海壁備注：方法很多，如直線斜率乘積-1】 （3） 要使得存在O、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似 又∵ ∠ABC=∠ONM=90 或 設(shè)N（，0） MN軸. M（，） ∴ MN=|| ON=|| ? 當(dāng)時(shí)， 解得， 或或（舍去） （2分） ? 當(dāng)時(shí)， 解得，或或（舍去） （2分） N坐標(biāo)為（5，0）,（-1，0）,（ ，0）,（ ，0） 【考點(diǎn)】拋物線的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)—九年級(jí)上冊(cè)；勾股定理—八年級(jí)下冊(cè)；相似—九年級(jí)下冊(cè)；兩點(diǎn)間的距離公式—哪年級(jí)？ 【海壁點(diǎn)評(píng)】歡笑吧，2016的數(shù)學(xué)中考少年！相比前幾年的中考?jí)狠S題，今年第三小問的難度下降一個(gè)檔次，新穎度下降一個(gè)檔次。第一小問，常規(guī)的求二次函數(shù)的解析式，用頂點(diǎn)式較快，海壁推薦先求解析式后轉(zhuǎn)化三種形式讓錯(cuò)誤不再來；第二小問，兩點(diǎn)間的距離公式，得出三邊長(zhǎng)度后，用勾股逆定理判斷直角三角形。（也可以求出AB的斜率，然后用KABKCB=-1這個(gè)高中的知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)然會(huì)損失一點(diǎn)超綱分）；第三小問，海壁總結(jié)的四大類型中的“存在問題”，稍有難度的是需要分類討論，第一是邊比會(huì)換，第二是有正有負(fù)，稍不注意就會(huì)漏點(diǎn)。日常在學(xué)校?？贾心艿肁+的同學(xué)，甚至A的同學(xué)，都應(yīng)該能寫出2點(diǎn)以上。據(jù)我們統(tǒng)計(jì)，海壁的學(xué)生情況非常樂觀，這題的難度在80%的海壁學(xué)生的能力范圍內(nèi)。2017年，來吧，海壁帶你飛！ 【海壁教育的幾個(gè)觀點(diǎn)】 1、 今年難度創(chuàng)下2011年以來的新低，各檔次分?jǐn)?shù)線自然水漲船高。我們預(yù)計(jì)今年的A+分?jǐn)?shù)線在112分以上，相比去年的107提升不少。 2、 2017年的初三少年請(qǐng)做好難度上的準(zhǔn)備，畢竟中考是選拔性考試，數(shù)學(xué)是最具選拔性的學(xué)科，不可能年年容易。 3、 海壁的老師覺得中考簡(jiǎn)單、高考也不難。但是廣西這樣的老師太少了。我們希望優(yōu)秀的老師們一起努力，讓高考的平均分上到100！理科60，文科47（滿分150），孩子們得這個(gè)分?jǐn)?shù)，誰還喜歡數(shù)學(xué)！ 4、 數(shù)學(xué)是有用的，不僅僅只是考試；數(shù)學(xué)是有趣的，不僅僅只是做題；數(shù)學(xué)是美麗的，不僅僅只有邏輯！大師陳省身說過，數(shù)學(xué)好玩。與同學(xué)和老師們共勉。