江蘇省高三歷次模擬數(shù)學試題分類匯編：第章圓錐曲線.doc

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目錄 基礎復習部分 第九章 圓錐曲線 2 第 51 課 橢圓 2 第 52 課 雙曲線 7 第 53 課 拋物線 8 第 54 課 直線與圓錐曲線 位置關系 弦長 9 第 55 課 直線與圓錐曲線 定值 存在性問題 16 第 56 課 綜合應用 最值 范圍 27 第九章 圓錐曲線 第 51 課 橢圓 蘇北四市期末 已知橢圓 0 12 bayx 點 A 1B 2 F依次為其左頂點 下頂點 上 頂點和右焦點 若直線 2AB與直線 1F的交點恰在橢圓的右準線上 則橢圓的離心率為 12 揚州期末 如圖 A B C 是橢圓 M 上的三點 其中點 A 是橢圓的右頂點 21 0 xyab BC 過橢圓 M 的中心 且滿足 AC BC BC 2AC 1 求橢圓的離心率 2 若 y 軸被 ABC 的外接圓所截得弦長為 9 求橢圓方程 1 因為 過橢圓 的中心 所以 BCM2BCO 又 所以 是以角 為直角的等腰直角三角形 3 分A 2A 則 0 a a 102a 所以 則 所以 7 分 221b 23b2cb 63e 2 的外接圓圓心為 中點 半徑為 ABC AB 4aP104a 則 的外接圓為 10 分225 8xy 令 或 所以 得 0 x ya 9a 6 所以所求的橢圓方程為 15 分 2136xy 南京鹽城模擬一 在平面直角坐標系 中 橢圓xOy 的右準線方程為 右頂點為 2 1 0 xyCab 4 A x y O l A B F P 第 17 題圖 A x y C O B 上頂點為 右焦點為 斜率為 2 的直線 經(jīng)過點 且點 到直線 的距離為 BFlAFl25 1 求橢圓 的標準方程 C 2 將直線 繞點 旋轉 它與橢圓 相交于另一點 lACP 當 三點共線時 試確定直線 的斜率 Pl 解 1 直線 的方程為 即 l2 yxa 20 xya 右焦點 到直線 的距離為 Fl 5c1c 又橢圓 右準線為 即 所以 C4x 2ac24a 將此代入上式解得 橢圓 的方程為 6 分123bC2143xy 2 由 1 知 直線 的方程為 8 分 0 3 B 0 F BF 聯(lián)立方程組 解得 或 舍 即 12 分21 4 yx 8 53xy 0 3xy 8 5P 直線 的斜率 14 分 l30 582k 方法二 由 1 知 直線 的方程為 由題 顯然直線 B 1 0 F BF3 1 yx 2 0 A 的斜率存在 設直線 的方程為 聯(lián)立方程組 解得 代入橢ll 2 ykx 2 k 3 ky 圓方程解得 或 又由題意知 得 或 所以 32k 330yk 3 32k 方法三 由題 顯然直線 的斜率存在 設直線 的方程為 聯(lián)立方程組 0 All 2 ykx 得 21 43 ykx 222431610kxk 21643APx 所以 當 三點共線時 有 2268Pxkk243Pyk BFBPFk 即 解得 或 又由題意知 得 或 2134861k 32k 3 30ky 所以 3k k 蘇錫常鎮(zhèn)一 在平面直角坐標系 xOy 中 已知橢圓 C 的離心率為 且過點 21xyab 0 2 過橢圓的左頂點 A 作直線 軸 點 M 為直線 上的動點 點 B 為橢圓右頂點 直線 BM6 1 2lx l 交橢圓 C 于 P 1 求橢圓 C 的方程 2 求證 AOM 3 試問 是否為定值 若是定值 請求出該定值 若不是定值 請說明理由 解 1 橢圓 C 的離心率為 21xyab 0 2 則 又橢圓 C 過點 2 分2c 2 6 1 231ab 4 則橢圓 C 的方程 4 分 21xy 2 設直線 BM 的斜率為 k 則直線 BM 的方程為 設 2 ykx 1 Pxy 將 代入橢圓 C 的方程 中并化簡得 2 ykx 214x 6 分221480k 解之得 21x 2x 從而 分 1kyk 224 1kP 令 得 9 分2x 4y M 4Ok 又 11 分22 1kkAP 28 1k 60O 13 分 3 224 4 1kPMk 228416841k 為定值 4 16 分OPM 已知橢圓 的上頂點為 直線 交橢圓于 兩點 設直線 2 1xyC A lykxm PQAP 的斜率分別為 AQ1k2 1 若 時 求 的值 0m 2 若 證明直線 過定點 12k lykxm xy P Q lA O 南通調研二 如圖 在平面直角坐標系 中 橢圓 的左頂點為 右焦xOy21 0 yxaba A 點為 為橢圓上一點 且 0 Fc 0 Pxy PAF 1 若 求 的值 3a 5b0 x 2 若 求橢圓的離心率 0 x 3 求證 以 為圓心 為半徑的圓與橢圓的FP 右準線 相切 2axc 解 1 因為 所以 即 35b224cab 2c 由 得 即 3 分PAF 01yx 006yx 又 20195x 所以 解得 或 舍去 5 分2049 034x 0 2 當 時 x2yb 由 得 即 故 8 分PAF 01ac 2bac2ac 所以 解得 負值已舍 10 分21e 5e x y O P A F 第 18 題 3 依題意 橢圓右焦點到直線 的距離為 且 2axc 2ac 201xyb 由 得 即 PAF 01yx 200 yxa 由 得 200 abc 解得 或 舍去 13 分 220acx 0 x 所以 200PFy 2000 caxc 0 xa 22ac a 所以以 為圓心 為半徑的圓與右準線 相切 16 分P2axc 注 第 2 小問中 得到橢圓右焦點到直線 的距離為 得 1 分 直接使用焦半22c 徑公式扣 1 分 第 52 課 雙曲線 已知雙曲線 的離心率為 則實數(shù) a 的值為 8241axy 3 已知雙曲線 1 a 0 b 0 的漸近線方程為 y x 則該雙曲線的離心率為 2 x2a2 y2b2 3 雙曲線 的右焦點到漸近線的距離是其到左頂點距離的一半 則雙曲線的離心率1 e 答案 53 提示 雙曲線 唯一 的重要性質 焦點到漸近線的距離等于 則有 b 22 acacb 22 5350 35 03ccacaea 平時強調的重點內(nèi)容啊 雙曲線 的離心率為 21yx 已知焦點在 軸上的雙曲線的漸近線方程為 則該雙曲線的離心率為 13yx 103 南京鹽城模擬一 若雙曲線 的右焦點與拋物線 的焦點重合 則 22 0 xa 24yx a 答案 2 蘇北三市調研三 已知雙曲線 的離心率為 2 它的一個焦點是拋物線 的焦點 則雙曲線 的C28xy C 標準方程為 213xy 揚州期末 已知雙曲線 的一條漸近線與直線 l 0 垂直 且 2 0ab b3xy 的一個焦點到 l 的距離為 2 則 的標準方程為 CC 214xy 淮安宿遷摸底 在平面直角坐標系 中 若雙曲線的漸近線方程是 且經(jīng)過點 則xOy 2 該雙曲線的方程是 214 泰州二模 已知雙曲線 的漸近線方程為 則 24xym2yx m 2 南京三模 在平面直角坐標系 xOy 中 過雙曲線 C x 2 1 的右焦點 F 作 x 軸的垂線 l 則 l 與雙 y23 曲線 C 的兩條漸近線所圍成的三角形的面積是 4 3 蘇錫常鎮(zhèn)二模 已知雙曲線 的離心率等于 2 它的焦點到漸近線的距離等于 1 21 0 xyab 則該雙曲線的方程為 3x2 y2 1 金海南三校聯(lián)考 在平面直角坐標系 xOy 中 若雙曲線 C 的離心率為 21 0 xyab 10 則雙曲線 C 的漸近線方程為 y 3x 鎮(zhèn)江期末 若雙曲線 的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的 則該 21 0 xyab b 4 雙曲線的漸近線方程是 3x 第 53 課 拋物線 南通調研一 在平面直角坐標系 中 以直線 為漸近線 且經(jīng)過拋物線 焦點的雙Oy2yx 24yx 曲線的方程是 x2 1 y24 蘇州期末 以拋物線 的焦點為頂點 頂點為中心 離心率為 2 的雙曲線標準方程為 213yx 南京鹽城二模 在平面直角坐標系 xoy 中 已知拋物線 C 的焦點為 F 定點 若24xy 0 2 A 射線 FA 與拋物線 C 相交于點 M 與拋物線 C 的準線相交于點 N 則 FM MN 13 南通調研三 在平面直角坐標系 xOy 中 點 F 為拋物線 x2 8y 的焦點 則 F 到雙曲線 的漸 29yx 近線的距離為 答案 105 鹽城三模 若拋物線 的焦點 與雙曲線 的一個焦點重合 則 的值為 28yx F213xyn n 1 南師附中四校聯(lián)考 以雙曲線 的中心為頂點 右準線為準線的拋物線方程為 124 yxy42 第 54 課 直線與圓錐曲線 位置關系 弦長 給定橢圓 C 1 a b 0 稱圓 C1 x 2 y 2 a 2 b 2 為橢圓 C 的 伴隨圓 已知橢圓 C 的 x2a2 y2b2 離心率為 且經(jīng)過點 0 1 1 求實數(shù) a b 的值 2 若過點 P 0 m m 0 的直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點 且 l 被橢圓 C 的伴隨圓 C1 所截 得的弦長為 2 求實數(shù) m 的值 2 解 1 記橢圓 C 的半焦距為 c 由題意 得 b 1 c 2 a 2 b 2 ca 解得 a 2 b 1 4 分 2 由 1 知 橢圓 C 的方程為 y 2 1 圓 C1 的方程為 x2 y 2 5 x24 顯然直線 l 的斜率存在 設直線 l 的方程為 y kx m 即 kx y m 0 6 分 因為直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點 故方程組 有且只有一組解 由 得 1 4k 2 x2 8kmx 4m 2 4 0 從而 8km 2 4 1 4k 2 4m2 4 0 化簡 得 m2 1 4k 2 10 分 因為直線 l 被圓 x2 y 2 5 所截得的弦長為 2 2 所以圓心到直線 l 的距離 d 5 2 3 即 14 分3 由 解得 k2 2 m 2 9 因為 m 0 所以 m 3 16 分 南通調研一 如圖 在平面直角坐標系 中 分別是橢圓 的左 右xOy1F221 0 xyab 焦點 頂點 的坐標為 且 是邊長為 2 的B 0 b12B 等邊三角形 1 求橢圓的方程 2 過右焦點 的直線 與橢圓相交于 兩點 記2FlAC 2ABF 的面積分別為 若 求直線 的C 1S212S l 斜率 O xyB A C F1 F2 南師附中四校聯(lián)考 在平面直角坐標系 xoy 中 橢圓 C 的離心率為 右 0 12 bayx21 焦點 F 1 0 點 P 在橢圓 C 上 且在第一象限內(nèi) 直線 PQ 與圓 O 相切于點 M 2 1 求橢圓 C 的方程 2 求 PM PF 的取值范圍 3 若 OP OQ 求點 Q 的縱坐標 t 的值 1 2 分 ca c 1 a 2 橢圓方程為 4 分3b1342 yx 2 設 則 0yxP 0 1420 yx O P M QF xy PM 6 分0202020 1343xxyx PF 8 分01 PM PF 1 2 4 400 xx PM PF 的取值范圍是 0 1 10 分20 3 法一 當 PM x 軸時 P Q 或 23 t 3 t 由 解得 12 分0 OQP t 當 PM 不垂直于 x 軸時 設 PQ 方程為 即 0yx 00 xky 00 ykx PQ 與圓 O 相切 31 20 k 3 20 kx 13 分02ykx02 y 又 所以由 得 14 分 ttQ 0 OQP00 kyxt 2020 kyxt 02020 ykx 3 3 202202 kyx 12 16 分3 43 1 20220 t 法二 設 則直線 OQ 0yxPxy0 0tyQ OP OQ OP OQ OM PQ 12 分20202020 3ttxtxyx 3 202020202202020 txytytyt 14 分 3 20txtyx 3202 yxt 16 分13420 yx432020 xy 1230 xt 3 t 前黃姜堰四校聯(lián)考 已知曲線 曲線 曲線 的左頂1C 2y 2C21 0 4xy 2C 點恰為曲線 的左焦點 1C 1 求 的值 2 若曲線 上一點 的坐標為 過點 作直線交曲線 于 兩點 直線 交曲線 2P2 1 P1C AOP1C 于 兩點 若 為 中點 BDAC 求直線 的方程 求四邊形 的面積 解 1 由 可得 3 分4 12 2 方法一 由 1 可得曲線 21 4xyC 由條件可知 的斜率必存在 可設 直線方程為 ACA2 1 kx 12 AxyC 聯(lián)立方程 2 2 1 4ykx 可得 6 分2 2 1 4 30kxkxk 122 是 的中點 PAC12x 解得 24 1k k D xyBOCPA 第 17 題 直線方程為 8 分 AC20 xy 方法二 設 由 的中點為 可得 12 CA2 1 P1212 xy 由 兩式相減可得 6 分 2124xy 1212yyxx 1ACk 2ACk 直線方程為 8 分0 xy 的斜率為 直線 的方程為 OP2 OB2yx 聯(lián)立方程 可得 或 214 yx 2xy 1 11 分 BD 分別到直線 的距離為 AC12 33dd 由 可得 或0 x x 2 13 分 20 AC 6A 四邊形 的面積 15 分BD124 6 23SCd 金海南三校聯(lián)考 在平面直角坐標系 xOy 中 設橢圓 C 的左焦點為 F 左準 21 0 xyab 線為 l P 為橢圓上任意一點 直線 OQ FP 垂足為 Q 直線 OQ 與 l 交于點 A 1 若 b 1 且 b c 直線 l 的方程為 x 求橢52 圓 C 的方程 是否存在點 P 使得 若10F 存在 求出點 P 的坐標 若不存在 說明理由 2 設直線 FP 圓 O x 2 y 2 a2 交于 M N 兩點 求證 直線 AM AN 均與圓 O 相切 xOF PANMly 解 1 i 由題意 b 1 又 a2 b 2 c 2 a2c 52 所以 2c2 5c 2 0 解得 c 2 或 c 舍去 12 故 a2 5 所求橢圓的方程為 y 2 1 3 分 x25 ii 設 P m n 則 n 2 1 即 n2 1 m25 m25 當 m 2 或 n 0 時 均不符合題意 當 m 2 n 0 時 直線 FP 的斜率為 nm 2 直線 FP 的方程為 y x 2 nm 2 故直線 AO 的方程為 y x m 2n Q 點的縱坐標 yQ 5 分 2n m 2 m 2 2 n2 所以 FPFQ nyP m 2 2 n22 m 2 4m2 20m 2510 m 2 令 得 4m2 21m 27 0 或 4m2 19m 23 0 7 分 FPFQ 110 由 4m2 21m 27 0 解得 m 3 m 又 m 所以方程 無解 94 5 5 由于 19 2 4 4 23 0 所以方程 無解 故不存在點 P 使 10 分 FPFQ 110 3 設 M x0 y 0 A t 則 x 0 c y 0 t a2c FM OA a2c 因為 OA FM 所以 0 即 x0 c ty 0 0 FM OA a2c 由題意 y0 0 所以 t x0 cy0 a2c 所以 A 12 分 a2c x0 cy0 a2c x y OF l P Q M N 因為 x0 y 0 x0 y 0 AM a2c x0 cy0 a2c OM 所以 x 0 x0 y0 y0AM OM a2c x0 cy0 a2c x 02 y 02 x0 y0 a2c x0 cy0 a2c x 02 y 02 x0 x0 a 2 a2c a2c x 02 y 02 a 2 因為 M x0 y 0 在圓 O 上 所以 0 15 分AM OM 即 AM OM 所以直線 AM 與圓 O 相切 同理可證直線 AN 與圓 O 相切 16 分 第 55 課 直線與圓錐曲線 定值 存在性問題 前黃姜堰四校聯(lián)考 已知橢圓 點 為其長軸 的 等分點 分別過這 2 1xCy 125 M AB6 五點作斜率為 的一組平行線 交橢圓 于 則 10 條直線 的斜率k 0 1210 P 1210 P 乘積為 132 如圖 在平面直角坐標系 中 離心率為 的橢圓 的左頂點為 過原xOy2 C21 0 xyab A 點 的直線 與坐標軸不重合 與橢圓 交于 兩點 直線 分別與 軸交于 兩OPQPAQyMN 點 若直線 斜率為 時 PQ23 1 求橢圓 的標準方程 C 2 試問以 為直徑的圓是否經(jīng)過定點 與直線 的斜率無關 請證明你的結論 MNPQ N M Q A O P x y 18 解 1 設 直線 斜率為 時 02 PxPQ23PQ 3 分2200 3x 2021ab 2cabe 242 橢圓 的標準方程為 6 分C 21xy 2 以 為直徑的圓過定點 MN 0 F 設 則 且 即 0 Pxy0 Qxy 214xy 204xy 直線 方程為 2 A A0 2x0 M 直線 方程為 9 分0 2yx 0 yN 以 為直徑的圓為 MN002 2x 即 12 分 2200244xy 200 x 20 xy 令 解得 y2y 2 以 為直徑的圓過定點 16 分MN 0 F 蘇州期末 如圖 已知橢圓 點 B 是其下頂點 過點 B 的直線交橢圓 C 于另一點 2 14xyC A A 點在 軸下方 且線段 AB 的中點 E 在直線 上 x x 1 求直線 AB 的方程 2 若點 P 為橢圓 C 上異于 A B 的動點 且直線 AP BP 分別交直線 于點 M N 證明 yx OM ON 為定值 解 1 設點 E m m 由 B 0 2 得 A 2m 2m 2 P N M B O A x y E 代入橢圓方程得 224 11m 即 22 1 3m 解得 32 或 0 舍 3 分 所以 A 1 故直線 AB 的方程為 360 xy 6 分 2 設 0 Pxy 則 2014xy 即 2204 設 M 由 A P M 三點共線 即 APM ur 00 3 1 3x 又點 M 在直線 上 解得 M 點的橫坐標 032yxx 9 分y 設 Nx 由 B P N 三點共線 即 BPN ur 00 2 NNyx 點 N 在直線 上 解得 N 點的橫坐標 02 xy 12 分y 所以 OM ON 2 0 Mxx 2 MNx 2 03 x 02 xy 16 分 220000002266 6 43yyyxxx 淮安宿遷摸底 如圖 在平面直角坐標系 中 已知橢圓 設 是橢圓 上的OyC214y 0 RxyC 任一點 從原點 向圓 作兩條切線 分別交橢圓于點 OR 22008x PQ 1 若直線 互相垂直 求圓 的方程 PQ 2 若直線 的斜率存在 并記為 求證 1k2120k 3 試問 是否為定值 若是 求出該值 若不是 說明理由 2 xOyPQAR 1 由圓 的方程知 圓 的半徑的半徑 R2r 因為直線 互相垂直 且和圓 相切 OPQR 所以 即 1 分24r 206xy 又點 在橢圓 上 所以 2 分RC 聯(lián)立 解得 3 分02 xy 所以所求圓 的方程為 4 分R 228y 2 因為直線 與圓 相切 OP1ykx Q2kx R 所以 化簡得 6 分102 kx 201010 8 yk 同理 7 分20200 8 yk 所以 是方程 的兩個不相等的實數(shù)根 1 k20 8xxyk 8 分 22 01244ybacbacx 因為點 在橢圓 C 上 所以 即 0 Rxy2014x 22001x 所以 即 10 分 2012418kx 12k 3 是定值 定值為 36 11 分2OPQ 理由如下 法一 是定值 定值為 36 11 分當直線2 不落在坐標軸上時 設 12 PxyQ 聯(lián)立 解得 12 分 12 4ykx 21214 ky 第 19 題 所以 22114 kxy 同理 得 由 2212k 所以 13 分21OPQxy 224 kk 2211 k 21367k 15 分 ii 當直線 落在坐標軸上時 顯然有 OPQ236OPQ 綜上 16 分236 法二 i 當直線 不落在坐標軸上時 設 12 xy 因為 所以 即 120k120yx 22114y 因為 在橢圓 C 上 所以 即 12 PxyQ2124xy 221122yx 所以 22211 4x 整理得 所以 21x 222111yxx 所以 14 分236OPQ ii 當直線 落在坐標軸上時 顯然有 236OPQ 綜上 16 分2 南京鹽城二模 如圖 在平面直角坐標系 xOy 中 橢圓 E 1 a b 0 的離心率為 x2a2 y2b2 直線 l y x 與橢圓 E 相交于 A B 兩點 AB 2 C D 是橢圓 E 上異于 A B 的任意兩點 且直線 12 5 AC BD 相交于點 M 直線 AD BC 相交于點 N x y A O B C D M N 第 18 題圖 1 求 a b 的值 2 求證 直線 MN 的斜率為定值 解 1 因為 e 所以 c2 a2 即 a2 b 2 a2 所以 a2 2b 2 2 分 ca 22 12 12 故橢圓方程為 1 x2 2b2 y2 b2 由題意 不妨設點 A 在第一象限 點 B 在第三象限 由 解得 A b b y 12x x2 2b2 y2 b2 1 23 3 3 3 又 AB 2 所以 OA 即 b2 b2 5 解得 b2 3 5 5 43 13 故 a b 5 分 6 3 2 方法一 由 1 知 橢圓 E 的方程為 1 從而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 當 CA CB DA DB 斜率都存在時 設直線 CA DA 的斜率分別為 k1 k 2 C x 0 y 0 顯然 k1 k2 從而 k1 kCB y0 1 x0 2 y0 1 x0 2 y02 1 x02 4 3 1 s do1 f x02 6 1 x02 4 2 x02 2x02 4 12 所以 kCB 8 分 1 2k1 同理 kDB 1 2k2 于是直線 AD 的方程為 y 1 k 2 x 2 直線 BC 的方程為 y 1 x 2 1 2k1 由 解得 y 1 12k1 x 2 y 1 k2 x 2 從而點 N 的坐標為 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2 代 k1 k 1 代 k2 得點 M 的坐標為 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 所以 kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直線 MN 的斜率為定值 1 14 分 當 CA CB DA DB 中 有直線的斜率不存在時 根據(jù)題設要求 至多有一條直線斜率不存在 故不妨設直線 CA 的斜率不存在 從而 C 2 1 仍然設 DA 的斜率為 k2 由 知 kDB 1 2k2 此時 CA x 2 DB y 1 x 2 它們交點 M 2 1 1 2k2 2k2 BC y 1 AD y 1 k 2 x 2 它們交點 N 2 1 2k2 從而 kMN 1 也成立 由 可知 直線 MN 的斜率為定值 1 16 分 方法二 由 1 知 橢圓 E 的方程為 1 從而 A 2 1 B 2 1 x2 6 y2 3 當 CA CB DA DB 斜率都存在時 設直線 CA DA 的斜率分別為 k1 k 2 顯然 k1 k2 直線 AC 的方程 y 1 k 1 x 2 即 y k 1x 1 2k 1 由 得 1 2k12 x2 4k 1 1 2k 1 x 2 4 k12 4k 1 2 0 y k1x 1 2k1 x2 6 y2 3 1 設點 C 的坐標為 x 1 y 1 則 2 x1 從而 x1 2 4k12 4k1 2 1 2k12 4k12 4k1 22k12 1 所以 C 4k12 4k1 2 2k12 1 2k12 4k1 1 2k12 1 又 B 2 1 所以 kBC 8 分 2k12 4k1 12k12 1 1 4k12 4k1 2 2k12 1 2 1 2k1 所以直線 BC 的方程為 y 1 x 2 1 2k1 又直線 AD 的方程為 y 1 k 2 x 2 由 解得 y 1 12k1 x 2 y 1 k2 x 2 從而點 N 的坐標為 4k1k2 4k1 2 2k1k2 1 2k1k2 4k2 1 2k1k2 1 用 k2 代 k1 k 1 代 k2 得點 M 的坐標為 4k1k2 4k2 2 2k1k2 1 2k1k2 4k1 1 2k1k2 1 11 分 所以 kMN 1 4 k1 k2 4 k2 k1 即直線 MN 的斜率為定值 1 14 分 當 CA CB DA DB 中 有直線的斜率不存在時 根據(jù)題設要求 至多有一條直線斜率不存在 故不妨設直線 CA 的斜率不存在 從而 C 2 1 仍然設 DA 的斜率為 k2 則由 知 kDB 1 2k2 此時 CA x 2 DB y 1 x 2 它們交點 M 2 1 1 2k2 2k2 BC y 1 AD y 1 k 2 x 2 它們交點 N 2 1 2k2 從而 kMN 1 也成立 由 可知 直線 MN 的斜率為定值 1 16 分 南京三模 在平面直角坐標系 xOy 中 設中心在坐標原點的橢圓 C 的左 右焦點分別為 F1 F 2 右準線 l x m 1 與 x 軸的交點為 B BF 2 m 1 已知點 1 在橢圓 C 上 求實數(shù) m 的值 2 已知定點 A 2 0 若橢圓 C 上存在點 T 使得 求橢圓 C 的離心率的取值范圍 TATF1 2 當 m 1 時 記 M 為橢圓 C 上的動點 直線 AM BM 分別與橢圓 C 交于另一點 P Q 若 求證 為定值 AM AP BM BQ 解 1 設橢圓 C 的方程為 1 a b 0 x2a2 y2b2 由題意 得 解得 a2 m 1 b2 m c 1 所以橢圓方程為 1 x2m 1 y2m 因為橢圓 C 過點 1 所以 1 32 m 1 1m 解得 m 2 或 m 舍去 12 所以 m 2 4 分 2 設點 T x y 由 得 x 2 2 y 2 2 x 1 2 y 2 即 x2 y 2 2 6 分 TATF1 2 由 得 y2 m 2 m 因此 0 m 2 m m 解得 1 m 2 所以橢圓 C 的離心率 e 10 分 方法一 設 M x0 y 0 P x 1 y 1 Q x2 y 2 則 x0 2 y 0 x 1 2 y 1 AM AP 由 得 AM AP x0 2 x1 2 y0 y1 從而 12 分 x0 x1 2 1 y0 y1 因為 y 02 1 所以 y1 2 1 x022 x1 2 1 22 即 2 y 12 2 1 x 1 2 1 2 1 0 x122 因為 y 12 1 代入得 2 1 x1 3 2 4 1 0 x122 由題意知 1 x y A O B M P Q 第 18 題圖 F2F1 l 故 x1 所以 x0 3 12 32 同理可得 x0 14 分 32 因此 32 32 所以 6 16 分 方法二 設 M x0 y 0 P x 1 y 1 Q x2 y 2 直線 AM 的方程為 y x 2 y0 x0 2 將 y x 2 代入 y 2 1 得 x0 2 2 y x2 4 y x 4y x 0 2 2 0 y0 x0 2 x22 12 2 0 2 0 2 0 因為 y 02 1 所以 可化為 2x 0 3 x 2 4y x 3x 4x 0 0 x022 2 0 2 0 因為 x0 x1 所以 x1 3x0 42x0 3 同理 x2 14 分 3x0 42x0 3 因為 AM AP BM BQ 所以 x0 2x1 2 x0 2x1 2 6 x0 2 2x0 3 x0 2 x0 2 2x0 3 x0 2 即 為定值 6 16 分 鹽城三模 如圖 在平面直角坐標系 中 橢圓 的離心率為 直xoy2 1 0 yCab 63 線 與 軸交于點 與橢圓 交于 兩點 當直線 垂直于 軸且點 為橢圓 的右焦點時 lxECABlxEC 弦 的長為 AB263 1 求橢圓 的方程 2 若點 的坐標為 點 在第一象限且橫坐標為 連結點 與原點 的直線交橢圓E 0 2A3AO 于另一點 求 的面積 CPB 3 是否存在點 使得 為定值 若存在 請指出點 的坐標 并求出該定值 若不21E E 存在 請說明理由 yxBPAOEF1F2 第 18 題 解 1 由 設 則 63ca 0 k 6ck 23b 所以橢圓 的方程為 因直線 垂直于 軸且點 為橢圓 的右焦點 即C 219xy lxEC 代入橢圓方程 解得 于是 即 6ABxk yk 263 k 所以橢圓 的方程為 5 分C 21xy 2 將 代入 解得 因點 在第一象限 從而 3x 26 y A 3 1 A 由點 的坐標為 所以 直線 的方程為 E 0 223ABkP2 yx 聯(lián)立直線 與橢圓 的方程 解得 PAC7 5 又 過原點 于是 所以直線 的方程為 O 3 1 4PA PA30 xy 所以點 到直線 的距離 10BPA73525h 16425PABS 分 3 假設存在點 使得 為定值 設 E21B0 Ex 當直線 與 軸重合時 有 ABx 202220011 6 6 xA 當直線 與 軸垂直時 22 2001 1 xEB 由 解得 202016 6 x 03x 206x 所以若存在點 此時 為定值 2 12E 21EAB 分 根據(jù)對稱性 只需考慮直線 過點 設 AB 3 0 E1 Axy2 B 又設直線 的方程為 與橢圓 聯(lián)立方程組 ABxmy C 化簡得 所以 2 3 30y 123my 123y 又 2 22221111 EAx 所以 2122221 yyBmym 將上述關系代入 化簡可得 2EAB 綜上所述 存在點 使得 為定值 2 16 分 3 0 21 第 56 課 綜合應用 最值 范圍 1 已知雙曲線 的右焦點與拋物線 的焦點相同 則 215xym 21yx 此雙曲線的漸近線方程為 蘇錫常鎮(zhèn)二模 已知 為橢圓 上的動點 為圓 的一條直徑 則A295x MN2 1 xy 的最大值為 15AMN 在平面直角坐標系 中 已知橢圓 的離心率 直線xOyC21 0 xyaba 12e 過橢圓 的右焦點 且交橢圓 于 兩點 10 lxmy RFCAB 1 求橢圓 的標準方程 C 2 已知點 連結 過點 作垂直于 軸的直線 設直線 與直線 交于點 試探索5 2DBAy1l1lBDP 當 變化時 是否存在一條定直線 使得點 恒在直線 上 若存在 請求出直線 的方程 若m2lP2l 2l 不存在 請說明理由 18 解 1 由題設 得 解得 從而 1 2ca ca 223bac 所以橢圓 的標準方程為 4 分C43xy 2 令 則 或者 0m 3 1 2A B 3 1 2A B 當 時 當 時 342P 1 3 4 2P 所以 滿足題意的定直線 只能是 6 分lx 下面證明點 恒在直線 上 P4x 設 由于 垂直于 軸 所以點 的縱坐標為 從而只要證明 在1 Axy 2 By PAyP1y1 4 Py 直線 上 8 分D 由 得 2 0143xmy 2 43 690my 2 0D 10 分122643ym 122943y 13 分 212212133 055DBP ymykx 1212 3ymy 式代入上式 得 所以 15 分0DBPk DBPk 點 恒在直線 上 從而直線 直線 與直線 三線恒過同一點 1 4 Py 1l2 4lx P 所以存在一條定直線 使得點 恒在直線 上 16 分2l4x 2l 鎮(zhèn)江期末 已知橢圓 的右焦點 離心率為 過 作兩條互相垂直 0 bay 0 1 F2F 的弦 設 的中點分別為 ABCDMN 1 求橢圓的方程 2 證明 直線 必過定點 并求出此定點坐標 MN 3 若弦 的斜率均存在 求 面積的最大值 F 解 1 由題意 則 3 分1c 2aa 1b 橢圓的方程為 4 分 2xy 2 斜率均存在 設直線 方程為 ABCDAB 1 ykx 1 xy2 y1212 xMk Ay xBOD CMN F 得 5 分2 1 0ykx 22 40kxk 故 6 分 21224 kx 22 1Mk 將上式中的 換成 則同理可得 8 分2 kN 如 得 則直線 斜率不存在 221k 1k 此時直線 過點 下證動直線 過定點 9 分MN 0 3M 0 3P 法一 若直線 斜率存在 則 22242 31 1Nkkk 直線 為 11 分MN2223 1kkyx 令 得 0 31kx 又當 斜率有一個不存在時 也過點 ABCD 0 所以 直線 過定點 12 分MN2 0 3 法二 動直線 最多過一個定點 由對稱性可知 定點必在 軸上 x 設 與 軸交點為 下證動直線 過定點 23x PMN2 0 3P 當 1k 時 PMk 10 分22311 kk 同理將上式中的 換成 可得 11 分k 22 31PNkk 則 PMNk 直線 過定點 2 0 3 又當 斜率有一個不存在時 也過點 ABCD 0 3 所以 直線 過定點 12 分2 0 3 3 由第 2 問可知直線 過定點 N P 故 S FMN S FPM S FPN 2211 33kk 13 分 2241 3 1 1 65kk 22 5k 令 S FMN 14 分1 t 21 5tft 21t 則 在 單調遞減 15 分 2 0 tft 當 時 取得最大值 此時 S FMN 取得最大值 此時 16 分t ft 191k 說明 本題原創(chuàng) 考查橢圓的標準方程 橢圓的幾何性質 考查函數(shù)最值 定點定值問題題型 考查 變量代換法 函數(shù)思想 分類討論思想 一般與特殊思想 考查運算能力 演繹論證 分析法證明 能 力 直覺思維能力 猜想探究能力 泰州二模 如圖 在平面直角坐標系 中 橢圓 的左頂點為 與 軸xOy E21 0 xyab Ax 平行的直線與橢圓 交于 兩點 過 兩點且分別與直線 AC垂直的直線相交于EBCB 點 已知橢圓 的離心率為 右焦點到右準線的距離為 D5345 1 求橢圓 的標準方程 2 證明點 在一條定直線上運動 并求出該直線的方程 3 求 面積的最大值 BC xy D COBA 解 1 由題意得 53ca 245c 解得 所以 所以橢圓 的標準方程為 3 a2bE2194xy 4 分 2 設 顯然直線 的斜率都存在 設為00 BxyC ABCD 則 1234 k 0120 3ykx 00343 xkky 所以直線 的方程為 BD0000 xyy 消去 得 化簡得 y000033 xx 3 故點 在定直線 上運動 10 分 3 由 2 得點 的縱坐標為 D200009 3 Dxxyyy 又 所以 則 20194xy 220094x 2000 054 4Dxyyy 所以點 到直線 的距離 為 DBCh00059 將 代入 得 0y 2194xy 2034yx 所以 面積BCD 209612ABCSh 當且僅當 即 時等號成立 故 20201777414yy 2014y 02y 時 面積的最大值為 16 分0 B 蘇北三市調研三 如圖 已知橢圓 其離心率為 兩條準線之間的距 2 1 0 xyMab 32 離為 分別為橢圓 的上 下頂點 過點 的直線 分別與橢圓 交83C 2Tt TBCM 于 兩點 EF 1 求橢圓 的標準方程 M 2 若 TBC 的面積是 TEF 的面積的 倍 求 的最大值 k 1 由題意 解得 238 ca 2 3ac 橢圓方程為 4 分b 214xy 2 解法一 6 分1TBCSt 直線 方程為 聯(lián)立 得 yxt 214xyt 284Etx 所以 到 的距離 284 tE TC30y 8 分 22 22 1994ttt tdt 直線 方程為 聯(lián)立 得 TC31yxt 231xyt 2436Ftx 2246 3ttF TF2246tt 10 分 222221319193663tt ttt t 2222226494TEFt ttSd 12 分 2341BCTEFttk 令 則21tm 14 分22 8 69 3km 當且僅當 即 等號成立 4t 所以 的最大值為 63 y B x F E O C T 第 18 題 分 解法二 直線 方程為 TB1yxt 聯(lián)立 得 6 分 241xyt 284Et 直線 方程為 聯(lián)立 得 8 分TC31yxt 213xyt 2436Ftx 10 分 1sin2TBCEFBTCSk EF TCTBEFxCx 12 分 222243681436tttt 令 則1tm 14 分22 94 3km 當且僅當 即 等號成立4t 所以 的最大值為 16 分 蘇錫常鎮(zhèn)二模 如圖 在平面直角坐標系 中 四邊形 的頂點都在橢圓xOyABCD 上 對角線 與 分別過橢圓的左焦點 和右焦點 且 21 0 xyab AC1 0 F 2 1 0 F 橢圓的一條準線方程為ACBD 4x 1 求橢圓方程 2 求四邊形 面積的取值范圍