數(shù)學總第四章 三角形 第五節(jié) 解直角三角形的實際應用

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1、第五節(jié)解直角三角形的實際應用考點考點 解直角三角形的實際應用解直角三角形的實際應用命題角度命題角度仰角、俯角問題仰角、俯角問題例例1 1 (2018 (2018安徽安徽) )為了測量豎直旗桿為了測量豎直旗桿ABAB的高度，某綜合實踐的高度，某綜合實踐小組在地面小組在地面D D處豎直放置標桿處豎直放置標桿CDCD，并在地面上水平放置一個，并在地面上水平放置一個平面鏡平面鏡E E，使得，使得B B，E E，D D在同一水平線上，如圖所示該小組在同一水平線上，如圖所示該小組在標桿的在標桿的F F處通過平面鏡處通過平面鏡E E恰好觀測到旗桿頂端恰好觀測到旗桿頂端A(A(此時此時AEBAEBFED)FE

2、D)，在，在F F處測得旗桿頂端處測得旗桿頂端A A的仰角為的仰角為39.339.3，平面鏡，平面鏡E E的俯角為的俯角為4545，F(xiàn)DFD1.81.8米，問旗桿米，問旗桿ABAB的高度約有多少米？的高度約有多少米？( (結果保留整數(shù)結果保留整數(shù))()(參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：tantan 39.3 39.30.820.82，tantan 84.3 84.310.02)10.02)【分析分析】 設設ABABx x，根據(jù)題意可得，根據(jù)題意可得DFDFDEDE1.81.8米，米，BEBEABABx x，過點，過點F F作作FGABFGAB于點于點G G，在，在RtRtAFGAFG中根據(jù)銳角三角函數(shù)中根

3、據(jù)銳角三角函數(shù)關系建立方程求解關系建立方程求解【自主解答自主解答】解：解： 根據(jù)題意得根據(jù)題意得DEFDEFDFEDFE4545. .AEBAEBFEDFED，AEBAEBEABEAB4545，設設ABABx x，ABABBEBEx x，如解圖，過點如解圖，過點F F作作FGABFGAB于點于點G G， 在在RtRtAFGAFG中，中，AGAGx x1.81.8，F(xiàn)GFGx x1.8.1.8.tantan 39.3 39.3 ，0.82 0.82 ，解得，解得x18.x18.答：旗桿答：旗桿ABAB的高度約為的高度約為1818米米AGFG1.81.8xx1 1(2018(2018重慶重慶A A

4、卷卷) )如圖，旗桿及升旗臺的剖面和教學樓的如圖，旗桿及升旗臺的剖面和教學樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂直，在教學樓底部剖面在同一平面上，旗桿與地面垂直，在教學樓底部E E點處點處測得旗桿頂端的仰角測得旗桿頂端的仰角AEDAED5858，升旗臺底部到教學樓底，升旗臺底部到教學樓底部的距離部的距離DEDE7 7米，升旗臺坡面米，升旗臺坡面CDCD的坡度的坡度i i10.7510.75，坡長，坡長CDCD2 2米，若旗桿底部到坡面米，若旗桿底部到坡面CDCD的水平距離的水平距離BCBC1 1米，則旗桿米，則旗桿ABAB的高度約為的高度約為( )( )( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sinsin 58

5、 580.850.85，coscos 58 580.530.53，tantan 58 581.6)1.6)A A12.612.6米米 B B13.113.1米米 C C14.714.7米米 D D16.316.3米米命題角度命題角度夾角問題夾角問題例例2 2(2017(2017安徽安徽) )如圖，游客在點如圖，游客在點A A處坐纜處坐纜車出發(fā)，沿車出發(fā)，沿A AB BD D的路線可至山頂?shù)穆肪€可至山頂D D處處假設假設ABAB和和BDBD都是直線段，且都是直線段，且ABABBDBD600600m m，7575，4545，求，求DEDE的長的長( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sinsin 75 750

6、.970.97，coscos 75 750.260.26， 1.41)1.41)2【自主解答自主解答】解：在解：在RtRtBDFBDF中，中，sinsin ，DFDFBDBDsinsin 600600sinsin 45 45600600 300300423(423(m m) )在在RtRtABCABC中，中，coscos ，BCBCABABcoscos 600600coscos 75 756006000.260.26156(156(m m) )DEDEDFDFEFEFDFDFBC423BC423156156579(579(m m) )答：答：DEDE的長約為的長約為579 579 m m. .

7、DFBD222BCAB1 1(2018(2018金華金華) ) 如圖，兩根竹竿如圖，兩根竹竿ABAB和和ADAD斜靠在墻斜靠在墻CECE上，上，量得量得ABCABC，ADCADC，則竹竿，則竹竿ABAB與與ADAD的長度之比的長度之比為為( )( )B B命題角度命題角度實物型問題實物型問題例例3 3 (2014(2014安徽安徽) )如圖，在同一平面內，如圖，在同一平面內，兩條平行高速公路兩條平行高速公路l l1 1和和l l2 2間有一條間有一條“Z Z”型道路連通，其中型道路連通，其中ABAB段與高速公路段與高速公路l l1 1成成3030角，長為角，長為20 20 kmkm；BCBC段

8、與段與ABAB，CDCD段都垂直，長為段都垂直，長為10 10 kmkm；CDCD段段長為長為30 30 kmkm，求兩高速公路間的距離，求兩高速公路間的距離( (結果保留根號結果保留根號) )【自主解答自主解答】解：如解圖，過點解：如解圖，過點A A作作ABAB的垂線交的垂線交DCDC的延長線的延長線于點于點E E，過點，過點E E作作l l1 1的垂線與的垂線與l l1 1，l l2 2分別交于點分別交于點H H，F(xiàn) F，則，則HFlHFl2 2. .由題意知由題意知ABBCABBC，BCCDBCCD，AEABAEAB，四邊形四邊形ABCEABCE為矩形，為矩形，AEAEBCBC，ABAB

9、EC.EC.DEDEDCDCCECEDCDCABAB303020205050， AEAEBCBC10.10.又又ABAB與與l l1 1成成3030角，角，EDFEDF3030，EAHEAH6060. .在在RtRtDEFDEF中，中，EFEFDEDEsinsin 30 305050 2525，在在RtRtAEHAEH中，中，EHEHAEAEsinsin 60 601010 5 5 ，HFHFEFEFHEHE25255 .5 .答：兩高速公路間的距離為答：兩高速公路間的距離為(25(255 )5 )kmkm. .12323331 1(2018(2018棗莊棗莊) )如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯

10、如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯ABAB的傾的傾斜角為斜角為3131，ABAB的長為的長為1212米，則大廳兩層之間的高度為米，則大廳兩層之間的高度為_米米( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sinsin 31 310.5150.515，coscos 31 310.8570.857，tantan 31 310.601)0.601) 6.18 6.18 命題角度命題角度坡度、坡角問題坡度、坡角問題例例4 4 (2013(2013安徽安徽) )如圖，防洪大堤的橫如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形斷面是梯形ABCDABCD，其中，其中ADBCADBC，坡角，坡角6060，汛期來臨前對其進行了加固，汛期來臨前對其進行了加

11、固，改造后的背水面坡角改造后的背水面坡角4545，若原坡長，若原坡長ABAB20 20 m m，求改造，求改造后的坡長后的坡長AE.(AE.(結果保留根號結果保留根號) )【自主解答自主解答】解：如解圖，過點解：如解圖，過點A A作作AFCEAFCE于點于點F F，在在RtRtABFABF中，中，ABAB2020，sinsin ，AFAF2020 10 .10 .在在RtRtAEFAEF中，中，sinsin ，AEAE 10 .10 .答：改造后的坡長答：改造后的坡長AEAE為為10 10 m m. . AFAB323AFAE10 322661 1(2017(2017濟南濟南) )如圖，為了測

12、量山坡護坡石壩如圖，為了測量山坡護坡石壩的坡度的坡度( (坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度度) )，把一根長，把一根長5 5 m m的竹竿的竹竿ACAC斜靠在石壩旁，量出斜靠在石壩旁，量出竿長竿長1 1 m m處的處的D D點離地面的高度點離地面的高度DEDE0.6 0.6 m m，又量得竿底與，又量得竿底與壩腳的距離壩腳的距離ABAB3 3 m m，則石壩的坡度為，則石壩的坡度為( )( )A. BA. B3 C. D3 C. D4 43435B B命題角度命題角度方向角問題方向角問題例例5 5(2018(2018眉山眉山) )知識改變世界，科技改變生活

13、知識改變世界，科技改變生活導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行如圖，某校組織學生乘車到黑龍灘如圖，某校組織學生乘車到黑龍灘( (用用C C表示表示) )開開展社會實踐活動，車到達展社會實踐活動，車到達A A地后，發(fā)現(xiàn)地后，發(fā)現(xiàn)C C地恰好地恰好在在A A地的正北方向，且距離地的正北方向，且距離A A地地1313千米，導航顯示車輛應沿北千米，導航顯示車輛應沿北偏東偏東6060方向行駛至方向行駛至B B地，再沿北偏西地，再沿北偏西3737方向行駛一段方向行駛一段距離才能到達距離才能到達C C地，求地，求B B、C C兩地的距離兩地的距離( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)

14、據(jù)：sinsin 53 53 ，coscos 53 53 ，tantan 53 53 ) )【分析分析】 通過作高線將原三角形分割成兩個直角三角形，通過作高線將原三角形分割成兩個直角三角形，如解圖，設如解圖，設ADADx x，運用三角函數(shù)表示出，運用三角函數(shù)表示出BDBD，CDCD的長，最后的長，最后列方程解決問題列方程解決問題453543【自主解答自主解答】 解：如解圖，過點解：如解圖，過點B B作作BDACBDAC，垂足為，垂足為D D，設設ADADx x，在在RtRtABDABD中，中，tantan A A ， ，BDBD x x，在在RtRtBCDBCD中，中，tantan CBD C

15、BD ， ，CDCD ， x x1313， BDAD3BDx3CDBD433CDx4 33x4 33x解方程得解方程得x x4 4 3.3.BDBD12123 3 ，在在RtRtBCDBCD中，中，coscos CBD CBD ， ，BCBC20205 5 ，答：答：B B，C C兩地的距離為兩地的距離為(20(205 )5 )千米千米33BDBC35123 3BC331 1(2018(2018綿陽綿陽) )一艘在南北航線上的測量船，于一艘在南北航線上的測量船，于A A點處測點處測得海島得海島B B在點在點A A的南偏東的南偏東3030的方向，繼續(xù)向南航行的方向，繼續(xù)向南航行3030海里海里到

16、達到達C C點時，測得海島點時，測得海島B B在在C C點的北偏東點的北偏東1515方向，那么海方向，那么海島島B B離此航線的最近距離是離此航線的最近距離是( (結果保留小數(shù)點后兩位結果保留小數(shù)點后兩位)()(參考參考數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)： 1.7321.732， 1.414)( )1.414)( )A A4.644.64海里海里 B B5.495.49海里海里C C6.126.12海里海里 D D6.216.21海里海里32B B2 2(2018(2018濟寧濟寧) )如圖，在一筆直的海岸線如圖，在一筆直的海岸線l l上有相距上有相距2 2 kmkm的的A A，B B兩個觀測站，兩個觀測站，B B站在站在A A站的正東方向上，從站的正東方向上，從A A站測得船站測得船C C在在北偏東北偏東6060的方向上，從的方向上，從B B站測得船站測得船C C在北偏東在北偏東3030的方向上，的方向上，則船則船C C到海岸線到海岸線l l的距離是的距離是_kmkm. .3