（課標通用）安徽省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 知識 方法 固基 第五單元 四邊形 考點強化練21 矩形、菱形、正方形試題

考點強化練21矩形、菱形、正方形夯實基礎(chǔ)1.(2017·山東臨沂)在ABC中,點D是邊BC上的點(與B,C兩點不重合),過點D作DEAC,DFAB,分別交AB,AC于E,F兩點,下列說法正確的是()A.若ADBC,則四邊形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,則四邊形AEDF是菱形答案D解析若ADBC,無法判定四邊形AEDF是矩形,所以A錯誤;若AD垂直平分BC,可以判定四邊形AEDF是菱形,所以B錯誤;若BD=CD,無法判定四邊形AEDF是菱形,所以C錯誤;若AD平分BAC,則EAD=FAD=ADF,所以AF=DF,又因為四邊形AEDF是平行四邊形,所以四邊形AEDF是菱形,故D正確.2.(2018·合肥四十五中模擬)在ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分別為邊BC、AD上的點.若四邊形AECF為正方形,則AE的長為()A.7B.4或10C.5或9D.6或8答案D解析據(jù)題意畫圖,設(shè)AE的長為x,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BE=14-x,在ABE中,根據(jù)勾股定理可得x2+(14-x)2=102,解得x1=6,x2=8.故AE的長為6或8.故選D.3.(2017·浙江衢州)如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6,將ABC沿AC折疊,使點B落在點E處,CE交AD于點F,則DF的長等于()A.35B.53C.73D.54答案B解析設(shè)DF=x,則CF=AF=6-x,由勾股定理有x2+42=(6-x)2,解得x=53.4.(2018·陜西)如圖,在菱形ABCD中,點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點,連接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是()A.AB=2EFB.AB=2EFC.AB=3EFD.AB=5EF答案D解析連接AC,BD,交于點O.E,F分別為AB,BC的中點,EF=12AC.四邊形ABCD為菱形,AO=12AC,ACBD.EF=AO.同理:EH=BO.EH=2EF.BO=2AO.在RtABO中,設(shè)AO=x,則BO=2x.AB=x2+(2x)2=5x=5AO.AB=5EF,故選D.5.(2018·合肥廬陽區(qū)一模)如圖,已知菱形ABCD的周長為16,面積為83,E為AB的中點,若P為對角線BD上一動點,則EP+AP的最小值為()A.2B.23C.4D.43導(dǎo)學(xué)號16734128答案B解析如圖作CE'AB于E',交BD于P',連接AC、AP'.菱形ABCD的周長為16,面積為83,AB=BC=4,AB·CE'=83,CE'=23.在RtBCE'中,BE'=42-(23)2=2,BE=EA=2,E與E'重合,四邊形ABCD是菱形,BD垂直平分AC,A、C關(guān)于BD對稱,當(dāng)P與P'重合時,P'A+P'E的值最小,最小值為CE的長,即為23,故選B.6.(2018·合肥瑤海區(qū)模擬)如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD是菱形,ABC=60°,且點A的坐標為(4,0),若E是AD的中點,則點E的坐標為. 答案(2,-23)解析過E作EFAC,交BD于F,EGBD,交AC于G,E是AD的中點,G是AO的中點,F是OD的中點.點A的坐標為(4,0),點G(2,0).由菱形的性質(zhì),知ACBD,ADB=CDB.ABC=60°,ADB=30°.OD=3OA=43.OF=12OD=23.E(2,-23).7.(2018·貴州銅仁)如圖,RtABC中,C=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一點,DEAC于點E,DFBC于點F,邊接EF,則EF的最小值為. 答案2.4解析如圖,連接CD.C=90°,AC=3,BC=4,AB=32+42=5,DEAC,DFBC,C=90°,四邊形CFDE是矩形,EF=CD.由垂線段最短可得CDAB時,線段EF的值最小,此時,SABC=12BC·AC=12AB·CD,即12×4×3=12×5×CD,解得CD=2.4,EF=2.4.8.(2017·山東青島)已知:如圖,在菱形ABCD中,點E,O,F分別是邊AB,AC,AD的中點,連接CE,CF,OF,OE.(1)求證:BCEDCF;(2)當(dāng)AB與BC滿足什么條件時,四邊形AEOF是正方形?請說明理由.(1)證明四邊形ABCD為菱形,AB=BC=CD=DA,B=D.又E,F分別是AB,AD中點,BE=DF.BCEDCF(SAS).(2)解若ABBC,則AEOF為正方形,理由如下:E,O分別是AB,AC中點,EOBC,又BCAD,OEAD,即OEAF.同理可證OFAE,四邊形AEOF為平行四邊形,由(1)可得AE=AF,平行四邊形AEOF為菱形.BCAB,BAD=90°,菱形AEOF為正方形.提升能力9.(2018·山東濱州)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E,F分別在BC,CD上,若AE=5,EAF=45°,則AF的長為. 答案4103解析取AD、BC中點M、N,由AD=4,AB=2,易得ABNM是正方形,連接MN,EH,由HAE=45°,四邊形ABNM是正方形,可知此處有典型的正方形內(nèi)“半角模型”,故有EH=MH+BE.由AB=2,AE=5,易知BE=1,所以EN=BN-BE=2-1=1.設(shè)MH=x,由M是AD中點,AMHADF可知,DF=2MH=2x,HN=2-x,EH=MH+BE=x+1,在RtEHN中有EN2+HN2=EH2,故12+(2-x)2=(x+1)2,解得x=23,故DF=43,故AF=AD2+DF2=4103.10.(2018·江蘇揚州)如圖,在平行四邊形ABCD中,DB=DA,點F是AB的中點,連接DF并延長,交CB的延長線于點E,連接AE.(1)求證:四邊形AEBD是菱形;(2)若DC=10,tanDCB=3,求菱形AEBD的面積.(1)證明四邊形ABCD是平行四邊形,ADCE,DAF=EBF.AFD=BFE,AF=FB,AFDBFE,AD=EB.ADEB,四邊形AEBD是平行四邊形.BD=AD,四邊形AEBD是菱形.(2)解四邊形ABCD是平行四邊形,CD=AB=10,ABCD,ABE=DCB.tanABE=tanDCB=3.四邊形AEBD是菱形,ABDE,AF=FB,EF=DF,tanABE=EFBF=3.BF=102,EF=3102,DE=310.S菱形AEBD=12·AB·DE=12×10×310=15.導(dǎo)學(xué)號1673412911.(2011·安徽)如圖,正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上,這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).(1)求證:h1=h3;(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S,求證:S=(h2+h1)2+h12;(3)若32h1+h2=1,當(dāng)h1變化時,說明正方形ABCD的面積為S隨h1的變化情況.(1)證明過A點作AFl3分別交l2、l3于點E、F,過C點作CHl2分別交l2、l3于點H、G,四邊形ABCD是正方形,l1l2l3l4,AB=CD,ABE+HBC=90°,CHl2,BCH+HBC=90°,BCH=ABE,BCH=CDG,ABE=CDG,AEB=CGD=90°,在ABE和CDG中,ABE=CDG,AEB=CGD,AB=CD,ABECDG(AAS),AE=CG,即h1=h3.(2)證明四邊形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,AEB=DFA=BHC=CGD=90°,ABE=FAD=BCH=CDG,AEBDAFBHCCGD,且兩直角邊長分別為h1、h1+h2,四邊形EFGH是邊長為h2的正方形,S=4×12h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h2)2+h12.(3)解由題意,得h2=1-32h1,所以S=h1+1-32h12+h12=54h12-h1+1=54h1-252+45,又h1>0,1-32h1>0,解得0<h1<23,當(dāng)0<h1<25時,S隨h1的增大而減小;當(dāng)h1=25時,S取得最小值45;當(dāng)25<h1<23時,S隨h1的增大而增大.導(dǎo)學(xué)號16734130創(chuàng)新拓展12.已知正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.(1)如圖1,E,G分別是OB,OC上的點,CE與DG的延長線相交于點F.若DFEC,求證:OE=OG;(2)如圖2,H是BC上的點,過點H作EHBC,交線段OB于點E,連接DH交CE于點F,交OC于點G.若OE=OG,求證:ODG=OCE;當(dāng)AB=1時,求HC的長.(1)證明四邊形ABCD是正方形,ACBD,OD=OC.DOG=COE=90°,OEC+OCE=90°.DFCE,OEC+ODG=90°.OCE=ODG,DOGCOE(ASA).OE=OG.(2)證明OD=OC,DOG=COE=90°,又OE=OG,DOGCOE(SAS).OCE=ODG.解設(shè)CH=x,四邊形ABCD是正方形,AB=1,BH=1-x.DBC=BDC=ACB=45°,EH=BH=1-x.OCE=ODG,BDC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH.EHBC,EHC=HCD=90°.CHEDCH,EHHC=HCCD.HC2=EH·CD,得x2+x-1=0,解得x1=5-12,x2=-5-12(舍去),HC=5-12.8