（江蘇專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第四章 圖形的認識 4.5 特殊的平行四邊形（試卷部分）課件.ppt

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4 5特殊的平行四邊形 中考數(shù)學(xué) 江蘇專用 考點1矩形 A組2014 2018年江蘇中考題組 五年中考 1 2014南京 6 2分 如圖 在矩形AOBC中 點A的坐標是 2 1 點C的縱坐標是4 則B C兩點的坐標分別是 A B C D 答案B過點A作AA1 x軸于點A1 過點B作BB1 x軸于點B1 過點C作B1B的垂線 交B1B的延長線于點D 如圖所示 易知 AOA1 BCD 所以BD AA1 1 故點B的縱坐標是4 1 3 從而由 AOA1 OBB1得 即 解得OB1 所以B 故點C的橫坐標為 2 即C 故選B 2 2018連云港 16 3分 如圖 E F G H分別為矩形ABCD的邊AB BC CD DA的中點 連接AC HE EC GA GF 已知AG GF AC 則AB的長為 答案2 解析如圖 連接BD 四邊形ABCD是矩形 ADC DCB 90 AC BD CG DG CF FB GF BD AG FG AGF 90 AGD CGF 90 又 DAG AGD 90 DAG CGF ADG GCF 設(shè)CF BF a CG DG b b2 2a2 a 0 b 0 b a 在Rt GCF中 CF2 CG2 GF2 即3a2 a b 1 AB 2b 2 故答案為2 思路分析連接BD 由 ADG GCF 可得 設(shè)CF BF a CG DG b 即 可得b a 在Rt GCF中 利用勾股定理求出a 即可解決問題 解題關(guān)鍵本題考查中點四邊形 矩形的性質(zhì) 相似三角形的判定和性質(zhì) 勾股定理等知識 解題的關(guān)鍵是綜合運用所學(xué)知識 連接對角線 運用相似 勾股定理列出方程解決問題 3 2015蘇州 18 3分 如圖 四邊形ABCD為矩形 過點D作對角線BD的垂線 交BC的延長線于點E 取BE的中點F 連接DF DF 4 設(shè)AB x AD y 則x2 y 4 2的值為 答案16 解析由題意知DF是Rt BDE的中線 所以DF BF FE 4 矩形ABCD中 AB DC x BC AD y 在Rt CDF中 CF BF BC 4 y CD x DF 4 由勾股定理得CD2 CF2 DF2 即x2 y 4 2 42 16 評析本題考查勾股定理的應(yīng)用 直角三角形的性質(zhì) 綜合性較強 對學(xué)生能力要求較高 屬難題 4 2014蘇州 17 3分 如圖 在矩形ABCD中 以點B為圓心 BC長為半徑畫弧 交邊AD于點E 若AE ED 則矩形ABCD的面積為 答案5 解析連接BE 設(shè)AB 3k k 0 則BC 5k 在Rt ABE中 根據(jù)勾股定理可求出AE 4k 故ED k 由題意可得4k k 可得k2 所以矩形ABCD的面積為AB BC 3k 5k 15k2 15 5 5 2017宿遷 26 10分 如圖 在矩形紙片ABCD中 已知AB 1 BC 點E在邊CD上移動 連接AE 將多邊形ABCE沿直線AE翻折 得到多邊形AB C E 點B C的對應(yīng)點分別為點B C 1 當B C 恰好經(jīng)過點D時 如圖1 求線段CE的長 2 若B C 分別交邊AD CD于點F G 且 DAE 22 5 如圖2 求 DFG的面積 3 在點E從點C移動到點D的過程中 求點C 運動的路徑長 解析 1 如題圖1 設(shè)CE EC x 則DE 1 x ADB EDC 90 B AD ADB 90 B AD EDC 又 B C 90 ADB DEC AB AB 1 AD DB x 2 CE 2 2 如題圖2 BAD B D 90 DAE 22 5 EAB EAB 67 5 B AF B FA 45 DFG AFB DGF 45 DF DG 在Rt AB F中 AB FB 1 AF AB DF DG S DFG 2 3 如圖 點C運動的路徑長為的長 在Rt ADC中 tan DAC DAC 30 AC 2CD 2 C AD DAC 30 CAC 60 的長 解題關(guān)鍵本題考查矩形的性質(zhì) 相似三角形的判定和性質(zhì) 勾股定理 弧長公式等知識 解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形 6 2017無錫 28 8分 如圖 已知矩形ABCD中 AB 4 AD m 動點P從點D出發(fā) 在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動 連接CP 作點D關(guān)于直線PC的對稱點E 設(shè)點P的運動時間為t s 1 若m 6 求當P E B三點在同一直線上時對應(yīng)的t的值 2 已知m滿足 在動點P從點D到點A的整個運動過程中 有且只有一個時刻t 使點E到直線BC的距離等于3 求所有這樣的m的取值范圍 解析 1 如圖 設(shè)PD t 則PA 6 t 由題意知 EPC DPC P E B三點共線 BPC DPC AD BC DPC PCB BPC PCB BP BC 6 在Rt ABP中 AB2 AP2 PB2 42 6 t 2 62 解得t 6 2或6 2 舍去 PD 6 2 當t 6 2時 P E B三點共線 2 如圖 當點P與點A重合 點E在BC的下方 點E到BC的距離為3時 作EQ BC于Q EM DC交DC的延長線于M 則EQ 3 CE DC 4 易證四邊形EMCQ是矩形 CM EQ 3 M 90 EM 易知 DAC EDM 又 ADC M ADC DME 即 AD 4 如圖 當點P與點A重合 點E在BC的上方 點E到BC的距離為3時 作EQ BC交CB的延長線于Q 延長QE交DA的延長線于M 則EQ 3 CE DC 4 圖3在Rt ECQ中 QC DM 易證 DME CDA 即 AD 綜上所述 在動點P從點D到點A的整個運動過程中 有且只有一個時刻t 使點E到直線BC的距離等于3 所有這樣的m的取值范圍為 m 4 思路分析 1 設(shè)PD t 則PA 6 t 首先證明BP BC 6 在Rt ABP中利用勾股定理即可解決問題 2 分兩種情形求出AD的值即可解決問題 當點P與點A重合 點E在BC的下方 點E到BC的距離為3時 當點P與點A重合 點E在BC的上方 點E到BC的距離為3時 7 2017徐州 23 8分 如圖 在 ABCD中 點O是邊BC的中點 連接DO并延長 交AB的延長線于點E 連接BD EC 1 求證 四邊形BECD是平行四邊形 2 若 A 50 則當 BOD 時 四邊形BECD是矩形 解析 1 證明 四邊形ABCD為平行四邊形 AB DC AB CD OEB ODC 又 O為BC的中點 BO CO 在 BOE和 COD中 BOE COD AAS OE OD 四邊形BECD是平行四邊形 2 若 A 50 則當 BOD 100 時 四邊形BECD是矩形 理由如下 四邊形ABCD是平行四邊形 BCD A 50 BOD BCD ODC ODC 100 50 50 BCD OC OD BO CO OD OE DE BC 又 四邊形BECD是平行四邊形 四邊形BECD是矩形 思路分析 1 先證 BOE COD 從而得OE OD 進而可證明四邊形BECD是平行四邊形 2 若四邊形BECD是矩形 則OD OC 則 BOD 2 BCD 2 A 100 反推證之 解析 1 證明 四邊形ABCD是矩形 C D 90 APD DAP 90 APO是由 ABO沿AO折疊而得 APO B 90 APD CPO 90 DAP CPO OCP PDA 2分 OCP PDA AD 8 CP 4 設(shè)AB x 則DP x 4 由 D 90 得AP2 AD2 DP2 x2 82 x 4 2 x 10 即AB 10 4分 2 折疊后 AOB與 AOP重合 AP AB OAB OAP AB CD AP CD P是CD的中點 DP AP D 90 PAD 30 又 OAB OAP OAB 30 8分 3 不變 理由 作MH BN交PB于點H MHP ABP MHF NBF AP AB APB ABP MHP APB MP MH MP BN BN MH NFB MFH NBF MHF FB FH MP MH ME PB PE EH EF EH FH EF EP FB PB 由 1 得AB 10 AD 8 DP 6 PC 4 PB 4 EF PB 2 12分 評析本題通過圖形的變換綜合考查了矩形的性質(zhì) 全等三角形的判定與性質(zhì) 相似三角形的判定與性質(zhì) 勾股定理 解直角三角形等知識 屬較難題 1 通過等角的余角相等找到兩組角相等判定兩三角形相似 再利用三角形相似的性質(zhì) 勾股定理等建立方程是突破口 2 通過作輔助線構(gòu)造全等三角形 再對所求線段進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵 考點2菱形 1 2018宿遷 7 3分 如圖 菱形ABCD的對角線AC BD相交于點O 點E為邊CD的中點 若菱形ABCD的周長為16 BAD 60 則 OCE的面積是 A B 2C 2D 4 答案A過點D作DH AB于點H 四邊形ABCD是菱形 AO CO AB BC CD AD 菱形ABCD的周長為16 AB AD 4 BAD 60 DH 4 2 S菱形ABCD 4 2 8 S ACD 8 4 點E為邊CD的中點 OE為 ADC的中位線 OE AD CEO CDA OCE的面積 4 故選A 解題關(guān)鍵本題考查了菱形的性質(zhì) 三角形中位線的判定和性質(zhì) 相似三角形的判定和性質(zhì) 能夠證明OE為 ADC的中位線進而證明 CEO CDA是解題的關(guān)鍵 2 2016南京 16 2分 如圖 菱形ABCD的面積為120cm2 正方形AECF的面積為50cm2 則菱形的邊長為cm 答案13 解析連接BE EF FD AC 菱形 正方形為軸對稱圖形 對角線所在直線是其對稱軸 B E F D在同一條直線上 S正方形AECF AC EF AC2 50cm2 AC 10cm S菱形ABCD AC BD 120cm2 BD 24cm 設(shè)AC BD的交點為O 由菱形的性質(zhì)可得AC BD AO 5cm OB 12cm AB 13cm 解題關(guān)鍵本題考查了四邊形的綜合問題 熟悉正方形和菱形的性質(zhì) 會用勾股定理求線段的長度是解題的關(guān)鍵 屬中檔題 3 2016淮安 21 8分 已知 如圖 在菱形ABCD中 點E F分別為邊CD AD的中點 連接AE CF 求證 ADE CDF 證明 四邊形ABCD是菱形 AD CD E F分別是CD AD的中點 DE DC DF AD DE DF 在 ADE和 CDF中 ADE CDF SAS 4 2017鹽城 22 10分 如圖 矩形ABCD中 ABD CDB的平分線BE DF分別交邊AD BC于點E F 1 求證 四邊形BEDF是平行四邊形 2 當 ABE為多少度時 四邊形BEDF是菱形 請說明理由 解析 1 證明 四邊形ABCD是矩形 AB DC AD BC ABD CDB BE平分 ABD DF平分 BDC EBD ABD FDB CDB EBD FDB BE DF 又 AD BC 四邊形BEDF是平行四邊形 2 當 ABE 30 時 四邊形BEDF是菱形 理由如下 BE平分 ABD ABD 2 ABE 60 EBD ABE 30 四邊形ABCD是矩形 A 90 EDB 90 ABD 30 EDB EBD 30 EB ED 又 四邊形BEDF是平行四邊形 四邊形BEDF是菱形 解題關(guān)鍵本題主要考查矩形的性質(zhì) 平行四邊形 菱形的判定熟練掌握矩形的性質(zhì) 平行四邊形的判定與菱形的判定是解題的關(guān)鍵 5 2014鎮(zhèn)江 20 6分 如圖 在四邊形ABCD中 AB AD BC DC AC BD相交于點O 點E在AO上 且OE OC 1 求證 1 2 2 連接BE DE 判斷四邊形BCDE的形狀 并說明理由 解析 1 證明 在 ABC與 ADC中 AB AD BC DC AC AC ABC ADC 2分 1 2 3分 2 菱形 理由 BC DC 1 2 OD OB OC BD 4分 OE OC 四邊形BCDE是平行四邊形 5分 OC BD BCDE是菱形 6分 1 2018南通 10 3分 正方形ABCD的邊長AB 2 E為AB的中點 F為BC的中點 AF分別與DE BD相交于點M N 則MN的長為 A B C D 考點3正方形 答案C過F作FH AD于H 交ED于O 則FH AB 2 BF FC BC AD 2 BF AH 1 FC HD 1 AF OH AE OH AE OF FH OH 2 AE FO AME FMO AM AF AD BF AND FNB 2 AN AF MN AN AM 故選C 解題關(guān)鍵本題考查了正方形的性質(zhì) 相似三角形的判定與性質(zhì) 矩形的性質(zhì) 勾股定理 準確作出輔助線 求出AN與AM的長是解題的關(guān)鍵 2 2016宿遷 7 3分 如圖 把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開 折痕為MN 再過點B折疊紙片 使點A落在MN上的點F處 折痕為BE 若AB的長為2 則FM的長為 A 2B C D 1 答案B由條件 得BM 1 BF 2 所以在Rt BMF中 FM 故選B B組2014 2018年全國中考題組 考點1矩形 1 2017甘肅蘭州 8 4分 如圖 矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O ADB 30 AB 4 則OC A 5B 4C 3 5D 3 答案B因為四邊形ABCD為矩形 所以AC BD OC AC 已知 ADB 30 故在直角三角形ABD中 BD 2AB 8 所以AC 8 所以O(shè)C AC 4 故選B 2 2018四川成都 14 4分 如圖 在矩形ABCD中 按以下步驟作圖 分別以點A和C為圓心 以大于AC的長為半徑作弧 兩弧相交于點M和N 作直線MN交CD于點E 若DE 2 CE 3 則矩形的對角線AC的長為 答案 解析如圖 連接AE 由作圖方法得MN垂直平分AC EA EC 3 在Rt ADE中 AD 在Rt ADC中 AC 思路分析連接AE 根據(jù)題中的作圖方法 可得MN垂直平分AC 則EA EC 3 用勾股定理先計算出AD 再計算出AC 得解 解題關(guān)鍵本題考查了矩形的性質(zhì) 基本作圖 作已知線段的垂直平分線 勾股定理 識別基本作圖并熟練應(yīng)用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵 3 2015內(nèi)蒙古包頭 20 3分 如圖 在矩形ABCD中 BAD的平分線交BC于點E 交DC的延長線于點F 取EF的中點G 連接CG BG BD DG 下列結(jié)論 BE CD DGF 135 ABG ADG 180 若 則3S BDG 13S DGF 其中正確的結(jié)論是 填寫所有正確結(jié)論的序號 答案 解析因為 BAD ADF 90 AE平分 BAD 所以 BAE DAF F 45 所以AD DF BC AB BE CD 在 DGF中 F 45 所以 DGF 135 在等腰Rt EFC中 因為G為EF的中點 所以GF GC F BCG 45 又因為DF BC 所以 BGC DGF SAS 所以 GBC GDF 又因為 DBC BDC 90 所以 GBD GDB GBC CBD GDB CBD GDB CDG 90 所以 BGD 90 在四邊形ABGD中 BAD BGD 90 所以 ABG ADG 180 因為 所以可設(shè)AB 2k 則AD 3k 所以BD k 所以S BDG BD2 k2 作GM CF于M 則GM CF k 所以S DGF DF GM k2 所以3S BDG 13S DGF 故 正確 評析本題考查了矩形的性質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì)與判定 三角形全等的性質(zhì)與判定 三角形的面積等知識 考查內(nèi)容較多 較復(fù)雜 屬難題 4 2016吉林 18 5分 如圖 菱形ABCD的對角線AC BD相交于點O 且DE AC AE BD 求證 四邊形AODE是矩形 證明 DE AC AE BD 四邊形AODE是平行四邊形 2分 四邊形ABCD是菱形 AC BD 4分 AOD 90 四邊形AODE是矩形 5分 考點2菱形 1 2016湖南益陽 4 5分 下列判斷的是 A 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B 四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形C 四條邊都相等的四邊形是菱形D 兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形 答案D由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形及對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 易得 兩條對角線垂直且平分的四邊形是菱形 D項錯誤 故選D 2 2016寧夏 5 3分 菱形ABCD的對角線AC BD相交于點O E F分別是AD CD邊上的中點 連接EF 若EF BD 2 則菱形ABCD的面積為 A 2B 4C 6D 8 答案A因為E F分別是AD CD邊上的中點 所以EF AC 且EF AC 所以AC 2EF 2 所以S菱形ABCD AC BD 2 2 2 故選A 3 2015安徽 9 4分 如圖 矩形ABCD中 AB 8 BC 4 點E在AB上 點F在CD上 點G H在對角線AC上 若四邊形EGFH是菱形 則AE的長是 A 2B 3C 5D 6 答案C連接EF交GH于點O 由四邊形EGFH為菱形 可得EF GH OH OG 因為四邊形ABCD為矩形 所以 B 90 因為AB 8 BC 4 所以AC 4 易證 AGE CHF 所以AG CH 所以AO AC 2 因為EO GH B 90 所以 AOE B 又因為 OAE BAC 所以 AOE ABC 所以 所以AE 5 故選C 4 2018吉林 24 8分 如圖 在 ABC中 AB AC 過AB上一點D作DE AC交BC于點E 以E為頂點 ED為一邊 作 DEF A 另一邊EF交AC于點F 1 求證 四邊形ADEF為平行四邊形 2 當點D為AB中點時 ADEF的形狀為 3 延長圖 中的DE到點G 使EG DE 連接AE AG FG 得到圖 若AD AG 判斷四邊形AEGF的形狀 并說明理由 解析 1 證明 DE AC DEF EFC DEF A A EFC EF AB 四邊形ADEF為平行四邊形 2分 2 菱形 4分 3 結(jié)論 四邊形AEGF為矩形 5分 理由 由 1 知 四邊形ADEF為平行四邊形 AF DE AD EF EG ED AF EG 四邊形AEGF是平行四邊形 6分 AD AG AG EF 7分 四邊形AEGF為矩形 8分 評分說明 第 3 題 證明過程正確 但前面不先寫出結(jié)論的不扣分 思路分析 1 根據(jù)平行四邊形的定義進行判定 2 由D為AB的中點 結(jié)合 1 知DE AC 又AD AB DE AD ADEF為菱形 3 利用 1 的結(jié)論先證明四邊形AEGF為平行四邊形 再證AG EF即可 5 2017北京 22 5分 如圖 在四邊形ABCD中 BD為一條對角線 AD BC AD 2BC ABD 90 E為AD的中點 連接BE 1 求證 四邊形BCDE為菱形 2 連接AC 若AC平分 BAD BC 1 求AC的長 解析 1 證明 E為AD的中點 AD 2ED AD 2BC ED BC AD BC 四邊形BCDE為平行四邊形 又 在 ABD中 E為AD的中點 ABD 90 BE ED BCDE為菱形 2 設(shè)AC與BE交于點H 如圖 6 2016青島 21 8分 已知 如圖 在 ABCD中 E F分別是邊AD BC上的點 且AE CF 直線EF分別交BA的延長線 DC的延長線于點G H 交BD于點O 1 求證 ABE CDF 2 連接DG 若DG BG 則四邊形BEDF是什么特殊四邊形 請說明理由 考點3正方形 1 2018天津 11 3分 如圖 在正方形ABCD中 E F分別為AD BC的中點 P為對角線BD上的一個動點 則下列線段的長等于AP EP最小值的是 A ABB DEC BDD AF 思路分析點A關(guān)于直線BD的對稱點為點C 連接CE AP EP的最小值就是線段CE的長度 通過證明 CDE ABF 得CE AF 即可得到PA PE的最小值等于線段AF的長 解后反思本題考查軸對稱 正方形的性質(zhì) 主要依據(jù) 兩點之間線段最短 只要作出點A 或點E 關(guān)于直線BD的對稱點C 或G 再連接EC 或AG 所得的線段長為兩條線段和的最小值 2 2017甘肅蘭州 14 4分 如圖 在正方形ABCD和正方形DEFG中 點G在CD上 DE 2 將正方形DEFG繞D點順時針旋轉(zhuǎn)60 得到正方形DE F G 此時點G 在AC上 連接CE 則CE CG A B 1C D 答案A過點G 作G M DC于點M 過點E 作E P DC于點P 由旋轉(zhuǎn)的知識可得 EDE 60 DE DE 2 四邊形DEFG DE F G 是正方形 G DE EDG 90 DG DE 2 E DG 30 MDG 60 在Rt DG M中 由DG 2 MDG 60 可得G M DM 1 AC是正方形ABCD的對角線 DCG 45 又 G M DC CMG 是等腰直角三角形 MG MC CG CD DM CM 1 在Rt DE P中 由DE 2 E DG 30 可得E P 1 DP CP CD DP 1 在Rt CE P中 E P PC 1 由勾股定理可得CE CE CG 故選A 3 2014山西 10 3分 如圖 點E在正方形ABCD的對角線AC上 且EC 2AE 直角三角形FEG的兩直角邊EF EG分別交BC DC于點M N 若正方形ABCD的邊長為a 則重疊部分四邊形EMCN的面積為 A a2B a2C a2D a2 4 2018江西 12 3分 在正方形ABCD中 AB 6 連接AC BD P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點 若PD 2AP 則AP的長為 答案2 或2 解析 四邊形ABCD是正方形 AB 6 AC BD AC BD 6 OA OD 3 有三種情況 點P在AD上時 AD 6 PD 2AP AP AD 2 點P在AC上時 不妨設(shè)AP x x 0 則DP 2x 在Rt DPO中 由勾股定理得DP2 DO2 OP2 即 2x 2 3 2 3 x 2 解得x 負值舍去 即AP 點P在AB上時 PAD 90 PD 2AP ADP 30 AP ADtan30 6 2 綜上所述 AP的長為2 或2 思路分析根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AC BD AC BD OB OA OC OD 畫出符合題意的三種情況 根據(jù)正方形的性質(zhì) 勾股定理及銳角三角函數(shù)求解即可 解題關(guān)鍵熟記正方形的性質(zhì) 分析符合題意的情況 并準確畫出圖形是解題的關(guān)鍵 易錯警示此題沒有給出圖形 需將點P的位置分類討論 做題時 往往會因只畫出點P在正方形邊上而致錯 5 2017甘肅蘭州 19 4分 在平行四邊形ABCD中 對角線AC與BD相交于點O 要使四邊形ABCD是正方形 還需添加一組條件 下面給出了四組條件 AB AD 且AB AD AB BD 且AB BD OB OC 且OB OC AB AD 且AC BD 其中正確的序號是 寫出所有正確的序號 答案 解析 有一個角是直角的平行四邊形是矩形 有一組鄰邊相等的矩形是正方形 即 正確 BD為平行四邊形的對角線 AB為平行四邊形的一條邊 所以當AB BD時 平行四邊形不可能是正方形 即 錯誤 對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形 由OB OC 得對角線相等 即AC BD 由OB OC 得AC BD 即平行四邊形ABCD為正方形 即 正確 鄰邊相等的平行四邊形是菱形 對角線相等的菱形是正方形 即 正確 6 2016廣東廣州 16 3分 如圖 正方形ABCD的邊長為1 AC BD是對角線 將 DCB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45 得到 DGH HG交AB于點E 連接DE交AC于點F 連接FG 則下列結(jié)論 四邊形AEGF是菱形 AED GED DFG 112 5 BC FG 1 5 其中正確的結(jié)論是 填寫所有正確結(jié)論的序號 答案 解析由題可知 DGH DCB DH DB DHG DBC 45 DGH DCB 90 DG DC AD 又 DAC 45 DAC DHG AF EG 在Rt AED和Rt GED中 AD GD ED ED Rt AED Rt GED ADE GDE 故 正確 在 ADF與 GDF中 AD GD ADF GDF FD FD ADF GDF AF GF DGF DAF 45 又 DBA 45 FG AE 四邊形AEGF是平行四邊形 又 AF GF 平行四邊形AEGF是菱形 故 正確 GDF ADB 22 5 DGF 45 DFG 112 5 故 正確 FG AE HA HD AD BD AD 1 BC FG 1 1 故 不正確 評析本題考查了平行四邊形 三角形的知識 借助旋轉(zhuǎn)把這些知識融合在一起 考查了學(xué)生把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形來解決問題的能力 7 2016天津 17 3分 如圖 在正方形ABCD中 點E N P G分別在邊AB BC CD DA上 點M F Q都在對角線BD上 且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形 則的值等于 答案 解析由題意易得DQ PQ QM MN MB AB DG GF GA AE BE AB S正方形MNPQ MN2 AB2 S正方形AEFG AE2 AB2 8 2015廣西南寧 16 3分 如圖 在正方形ABCD的外側(cè) 作等邊 ADE 則 BED的度數(shù)為 答案45 解析由題意可知 BAE 150 BA AE AEB 15 BED 45 9 2015吉林長春 13 3分 如圖 點E在正方形ABCD的邊CD上 若 ABE的面積為8 CE 3 則線段BE的長為 答案5 解析 四邊形ABCD是正方形 AB BC C 90 ABE的面積為8 AB BC 8 AB2 8 AB 4 BC AB 4 CE 3 BE 5 10 2015河南 15 3分 如圖 正方形ABCD的邊長是16 點E在邊AB上 AE 3 點F是邊BC上不與點B C重合的一個動點 把 EBF沿EF折疊 點B落在B 處 若 CDB 恰為等腰三角形 則DB 的長為 答案16或4 解析分三種情況討論 1 若DB DC 則DB 16 易知此時點F在BC上且不與點C B重合 2 當CB CD時 連接BB EB EB CB CB 點E C在BB 的垂直平分線上 EC垂直平分BB 由折疊可知點F與點C重合 不符合題意 舍去 3 如圖 當CB DB 時 作B G AB于點G 延長GB 交CD于點H AB CD B H CD 則四邊形AGHD為矩形 AG DH CB DB DH CD 8 AG DH 8 GE AG AE 5 又易知EB 13 在Rt B EG中 由勾股定理得B G 12 B H GH B G 4 在Rt B DH中 由勾股定理得DB 4 易知此時點F在BC上且不與點C B重合 綜上所述 DB 16或4 11 2018北京 27 7分 如圖 在正方形ABCD中 E是邊AB上的一動點 不與點A B重合 連接DE 點A關(guān)于直線DE的對稱點為F 連接EF并延長交BC于點G 連接DG 過點E作EH DE交DG的延長線于點H 連接BH 1 求證 GF GC 2 用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系 并證明 解析 1 證明 如圖 連接DF 四邊形ABCD為正方形 DA DC AB A C ADC 90 又 點A關(guān)于直線DE的對稱點為F ADE FDE DA DF DC DFE A 90 DFG 90 在Rt DFG和Rt DCG中 Rt DFG Rt DCG HL GF GC 2 線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系 BH AE 證明 在線段AD上截取AM 使AM AE 連接ME AD AB DM BE 由 1 得 1 2 3 4 ADC 90 思路分析本題第 1 問需要通過正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)解決 本題第 2 問需要通過構(gòu)造全等三角形 利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決 解題關(guān)鍵解決本題第 2 問的關(guān)鍵是要通過截取得到等腰直角三角形 并借助SAS證明三角形全等 從而將BH和AE轉(zhuǎn)化到 AME中證明數(shù)量關(guān)系 C組教師專用題組 考點1矩形 1 2015山東臨沂 12 3分 如圖 四邊形ABCD為平行四邊形 延長AD到E 使DE AD 連接EB EC DB 添加一個條件 不能使四邊形DBCE成為矩形的是 A AB BEB BE DCC ADB 90 D CE DE 答案B 四邊形ABCD是平行四邊形 AD BC AD BC AB CD DE BC 又DE AD DE BC 四邊形DBCE是平行四邊形 若AB BE 則CD BE 則平行四邊形DBCE是矩形 若CE DE 即 DEC 90 則平行四邊形DBCE是矩形 若 ADB 90 則 BDE 90 則平行四邊形DBCE是矩形 當BE DC時 平行四邊形DBCE是菱形 故選B 2 2015江西南昌 5 3分 如圖 小賢為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性 將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD B與D兩點之間用一根拉直固定 然后向右扭動框架 觀察所得四邊形的變化 下列判斷的是 A 四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝 BD的長度增大C 四邊形ABCD的面積不變D 四邊形ABCD的周長不變 答案C向右扭動框架ABCD的過程中 AD與BC的距離逐漸減小 即 ABCD的高發(fā)生變化 所以面積改變 選項C錯誤 故選C 3 2015黑龍江哈爾濱 19 3分 在矩形ABCD中 AD 5 AB 4 點E F在直線AD上 且四邊形BCFE為菱形 若線段EF的中點為點M 則線段AM的長為 答案5 5或0 5 解析如圖 依題意知BE BC 5 則AE 3 又EF 5 M是EF的中點 則EM 2 5 AM 3 2 5 5 5 圖 如圖 同理 FD 3 MF 2 5 則DM DF FM 3 2 5 5 5 AM DM DA 5 5 5 0 5 圖 綜上 線段AM的長為5 5或0 5 4 2015重慶 18 4分 如圖 在矩形ABCD中 AB 4 AD 10 連接BD DBC的角平分線BE交DC于點E 現(xiàn)把 BCE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn) 記旋轉(zhuǎn)后的 BCE為 BC E 當射線BE 和射線BC 都與線段AD相交時 設(shè)交點分別F G 若 BFD為等腰三角形 則線段DG長為 答案 解析過點F作FH BD交BG的延長線于點H 在矩形ABCD中 BD 14 AD BC ADB DBC BE平分 DBC FBG EBC DBC FBG FDB 由題可得BF FD FBD FDB FBG FBD FBG GBD FH BD H GBD H FBG FB FH FD 設(shè)FD x x 0 在Rt ABF中 由勾股定理得BF2 AF2 AB2 即x2 10 x 2 4 2 解得x FB FH FD FH BD FHG DBG 設(shè)GD y y 0 解得y GD 評析本題重點考查勾股定理 矩形的性質(zhì) 相似三角形的性質(zhì)與判定 方程思想等 綜合性較強 屬于難題 5 2014遼寧沈陽 16 4分 如圖 ABCD中 AB AD AE BE CM DM分別為 DAB ABC BCD CDA的平分線 AE與DM相交于點F BE與CM相交于點H 連接EM 若 ABCD的周長為42cm FM 3cm EF 4cm 則EM cm AB cm 答案5 13 解析由題意可得四邊形EFMH是矩形 所以EM 5cm 如圖 延長CM交AB于點I 延長AE交CD于點J 連接FH 易證 BHI BHC 所以BC BI CH HI 則H為IC的中點 同理 AD DJ F為AJ的中點 所以AI FH EM 5cm 因為 ABCD的周長為42cm 所以AB BC 21cm 所以2BC AI 21cm 所以BC 8cm AB 13cm 評析本題考查平行四邊形的性質(zhì) 直角三角形的性質(zhì) 屬較難題 6 2014河南 15 3分 如圖 矩形ABCD中 AD 5 AB 7 點E為DC上一個動點 把 ADE沿AE折疊 當點D的對應(yīng)點D 落在 ABC的角平分線上時 DE的長為 答案或 解析作BF平分 ABC交CD于點F 作AG BF于點G 由題意知AG AB sin45 5 D 是以A為圓心 AD長為半徑的圓弧與BF的交點 易知有兩種情況 第一種情況 如圖 圖 在Rt AGD 中 D G BD 4 D F BF D B 5 4 作D H CD 垂足為H 在Rt D FH中 易求得FH HD 1 DH DF FH 3 設(shè)DE x 則D E x EH 3 x 在Rt EHD 中 EH2 D H2 D E2 即 3 x 2 12 x2 解得x 即D E 第二種情況 如圖 圖 作D H CD 垂足為H 同理求得D E 綜上所述 DE的長為或 評析本題是以矩形為載體 以折疊為背景的求線段長問題 主要考查矩形的性質(zhì) 軸對稱的性質(zhì) 角平分線 勾股定理的運用 依據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵 本題屬難題 7 2018云南昆明 23 12分 如圖1 在矩形ABCD中 P為CD邊上一點 DP CP APB 90 將 ADP沿AP翻折得到 AD P PD 的延長線交邊AB于點M 過點B作BN MP交DC于點N 1 求證 AD2 DP PC 2 請判斷四邊形PMBN的形狀 并說明理由 3 如圖2 連接AC 分別交PM PB于點E F 若 求的值 解析 1 證明 在矩形ABCD中 AD BC C D 90 DAP APD 90 APB 90 CPB APD 90 DAP CPB 1分 ADP PCB 2分 AD CB DP PC AD BC AD2 DP PC 3分 2 四邊形PMBN為菱形 理由如下 4分 在矩形ABCD中 CD AB BN PM 四邊形PMBN為平行四邊形 ADP沿AP翻折得到 AD P APD APM CD AB APD PAM APM PAM 6分 APB 90 PAM PBA 90 APM BPM 90 又 APM PAM PBA BPM PM MB 又 四邊形PMBN為平行四邊形 四邊形PMBN為菱形 7分 3 解法一 APM PAM PM AM PM MB AM MB 四邊形ABCD為矩形 CD AB且CD AB 設(shè)DP a 則AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB ABF CPF BAF PCF BFA PFC 9分 同理可得 MEA PEC 10分 11分 12分 解法二 過點F作FG PM 交MB于點G APM PAM PM AM PM MB AM MB 四邊形ABCD為矩形 CD AB且CD AB 設(shè)DP a 則AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB CPF ABF PCF BAF PFC BFA 9分 FG PM 10分 AM MB FG PM 12分 思路分析 1 根據(jù)矩形的性質(zhì)以及所給條件 證明 ADP PCB 從而得AD2 DP PC 2 由翻折得 APD APM 由等角的余角相等得 PBA BPM 從而得PM MB 進而易得四邊形PMBN為菱形 3 解法一 設(shè)DP a 則可求得AD 2a PC 4a AB 5a 由CD AB 可得 BFA PFC MEA PEC 所以 進而可得的值 解法二 過點F作FG PM 交MB于點G 設(shè)DP a 可求得AD 2a PC 4a AB 5a MA MB 根據(jù)CD AB FG PM AM MB這些條件可求得的值 解題關(guān)鍵本題主要考查了矩形的性質(zhì) 軸對稱 菱形的判定 相似三角形的判定與性質(zhì)等知識 題目綜合性強 計算量大 屬難題 解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的條件中確定解決問題所需的條件 進而推理 論證 計算 使題目得以解答 8 2015山東聊城 21 8分 如圖 在 ABC中 AB BC BD平分 ABC 四邊形ABED是平行四邊形 DE交BC于點F 連接CE 求證 四邊形BECD是矩形 證明 AB BC BD平分 ABC BD AC AD CD 2分 四邊形ABED是平行四邊形 BE AD BE AD 4分 BE CD 四邊形BECD是平行四邊形 6分 BD AC BDC 90 BECD是矩形 8分 9 2016寧夏 26 10分 在矩形ABCD中 AB 3 AD 4 動點Q從點A出發(fā) 以每秒1個單位的速度 沿AB向點B移動 同時點P從點B出發(fā) 仍以每秒1個單位的速度 沿BC向點C移動 連接QP QD PD 若兩個點同時運動的時間為x秒 0 x 3 解答下列問題 1 設(shè) QPD的面積為S 用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S 當x為何值時 S有最小值 并求出最小值 2 是否存在x的值 使得QP DP 試說明理由 解析 1 當兩個點同時運動的時間為x秒時 則AQ x BP x BQ 3 x PC 4 x 1分 S QPD S矩形ABCD S DAQ S QBP S DCP AB BC AD AQ BP BQ PC CD 3 4 x 4 x 3 x 4 x 3 x2 2x 6 x 2 2 4 5分 當x 2時 S QPD的最小值為4 6分 2 解法一 若存在x 使得QP DP 則在Rt QPD中 DQ2 QP2 PD2 在Rt DAQ中 DQ2 AQ2 AD2 x2 42 在Rt QBP中 QP2 BQ2 BP2 3 x 2 x2 在Rt DCP中 PD2 CD2 PC2 32 4 x 2 即x2 42 3 x 2 x2 32 4 x 2 整理 得x2 7x 9 0 8分 解得x 或x 3 不合題意 舍去 存在x 使得QP DP 10分 解法二 若存在x 使得QP DP 則Rt QBP Rt PCD 即 整理 得x2 7x 9 0 8分 解得x 或x 3 不合題意 舍去 存在x 使得QP DP 10分 評析本題是以矩形為載體的動點問題 主要考查矩形的性質(zhì) 三角形的面積等 解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示各線段的長 屬難題 10 2015吉林長春 22 9分 在矩形ABCD中 已知AD AB 在邊AD上取點E 使AE AB 連接CE 過點E作EF CE 與邊AB或其延長線交于點F 猜想 如圖 當點F在邊AB上時 線段AF與DE的大小關(guān)系為 探究 如圖 當點F在邊AB的延長線上時 EF與邊BC交于點G 判斷線段AF與DE的大小關(guān)系 并加以證明 應(yīng)用 如圖 若AB 2 AD 5 利用探究得到的結(jié)論 求線段BG的長 解析猜想 AF DE 2分 探究 AF DE 證明 EF CE CEF 90 1 2 90 四邊形ABCD為矩形 A D 90 AB CD 2 3 90 1 3 AE AB AE DC AEF DCE AF DE 6分 應(yīng)用 AF DE AD AE 5 2 3 BF AF AB 3 2 1 在矩形ABCD中 AD BC FBG FAE 即 BG 9分 11 2015北京 22 5分 在 ABCD中 過點D作DE AB于點E 點F在邊CD上 DF BE 連接AF BF 1 求證 四邊形BFDE是矩形 2 若CF 3 BF 4 DF 5 求證 AF平分 DAB 證明 1 在 ABCD中 AB CD DF BE 四邊形BFDE為平行四邊形 DE AB DEB 90 四邊形BFDE是矩形 2 由 1 可得 BFC 90 在Rt BFC中 由勾股定理可得BC 5 AD BC 5 AD DF DAF DFA AB CD DFA FAB DAF FAB AF平分 DAB 12 2014內(nèi)蒙古呼和浩特 21 7分 如圖 四邊形ABCD是矩形 把矩形沿AC折疊 點B落在點E處 AE與DC的交點為O 連接DE 1 求證 ADE CED 2 求證 DE AC 證明 1 四邊形ABCD是矩形 AD BC AB CD 又 AC是折痕 BC CE AD 1分 AB AE CD 2分 又DE ED ADE CED 3分 評析本題考查軸對稱變換 折疊問題 矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì) 屬容易題 13 2014重慶 26 12分 已知 如圖 在矩形ABCD中 AB 5 AD AE BD 垂足是E 點F是點E關(guān)于AB的對稱點 連接AF BF 1 求AE和BE的長 2 若將 ABF沿著射線BD方向平移 設(shè)平移的距離為m 平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度 當點F分別平移到線段AB AD上時 直接寫出相應(yīng)的m的值 3 如圖 將 ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角 0 180 記旋轉(zhuǎn)中的 ABF為 A BF 在旋轉(zhuǎn)過程中 設(shè)A F 所在的直線與直線AD交于點P 與直線BD交于點Q 是否存在這樣的P Q兩點 使 DPQ為等腰三角形 若存在 求出此時DQ的長 若不存在 請說明理由 解析 1 AB 5 AD 由勾股定理得BD 1分 AB AD S ABD BD AE 5 AE 解得AE 4 3分 BE 3 4分 2 當點F在線段AB上時 m 3 6分 當點F在線段AD上時 m 8分 3 存在 理由如下 當DP DQ時 若點Q在線段BD的延長線上 如圖1 有 Q 1 圖1則 2 1 Q 2 Q 3 4 Q 3 2 4 Q 2 Q 4 Q A Q A B 5 F Q 4 5 9 在Rt BF Q中 92 32 DQ 3 DQ 3 或DQ 3 舍 9分 若點Q在線段BD上 如圖2 圖2 有 1 2 4 1 3 3 4 3 5 A A CBD 3 5 CBD A BQ 4 A BQ A Q A B 5 F Q 5 4 1 BQ DQ 10分 當QP QD時 如圖3 有 P 1 圖3 A 1 2 3 4 P 4 A QB QA 設(shè)QB QA x 在Rt BF Q中 32 4 x 2 x2 解得x DQ 11分 當PD PQ時 如圖4 有 1 2 3 1 A 圖4 3 A BQ A B 5 DQ 5 綜上 當 DPQ是等腰三角形時 DQ的值為3 12分 考點2菱形 1 2018陜西 8 3分 如圖 在菱形ABCD中 點E F G H分別是邊AB BC CD和DA的中點 連接EF FG GH和HE 若EH 2EF 則下列結(jié)論正確的是 A AB EFB AB EFC AB 2EFD AB EF 答案D如圖 連接AC BD交于O 四邊形ABCD是菱形 AC BD OA OC OB OD 點E F G H分別是邊AB BC CD和DA的中點 EF AC EH BD EH 2EF BD 2AC OB 2OA AB OA 易知OA EF AB EF 故選D 思路分析首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC BD OA OC OB OD 然后根據(jù)三角形中位線定理得出EF AC EH BD 進而得到OB 2OA 最后根據(jù)勾股定理求得AB OA 即得AB EF 2 2015福建龍巖 10 4分 如圖 菱形ABCD的周長為16 ABC 120 則AC的長為 A 4B 4C 2D 2 答案A設(shè)AC與BD相交于點O 四邊形ABCD是菱形 且其周長為16 ABC 120 AB 4 AC BD AC 2AO ABO 60 則在Rt ABO中 AO AB sin60 2 AC 4 故選A 3 2015甘肅蘭州 10 4分 如圖 菱形ABCD中 AB 4 B 60 AE BC AF CD 垂足分別為E F 連接EF 則 AEF的面積是 A 4B 3C 2D 答案B連接AC 在菱形ABCD中 AB BC B 60 ABC是等邊三角形 AE BC AE 2 EAC 30 同理可得AF 2 CAF 30 則 EAF為等邊三角形 S AEF 2 2 3 故選B 4 2015遼寧沈陽 7 3分 順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點 所形成的四邊形是 A 平行四邊形B 菱形C 矩形D 正方形 答案B如圖 在 ABD中 E F分別是AB AD的中點 EF是 ABD的中位線 EF BD 同理 GH BD EH AC FG AC AC BD EF FG HG HE 四邊形EFGH是菱形 評析順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是中點四邊形 中點四邊形一定是平行四邊形 它的其他特征取決于原四邊形對角線的特點 若原四邊形的對角線互相垂直 則中點四邊形的各角為直角 若原四邊形的對角線相等 則中點四邊形的各邊相等 5 2014上海 6 4分 如圖 已知AC BD是菱形ABCD的對角線 那么下列結(jié)論一定正確的是 A ABD與 ABC的周長相等B ABD與 ABC的面積相等C 菱形ABCD的周長等于兩條對角線長之和的兩倍D 菱形ABCD的面積等于兩條對角線長之積的兩倍 答案B解法一 由題圖可知S ABD S菱形ABCD S ABC S菱形ABCD 所以S ABD S ABC 解法二 ABC和 ABD是同底等高的兩個三角形 所以S ABC S ABD 6 2014陜西 9 3分 如圖 在菱形ABCD中 AB 5 對角線AC 6 若過點A作AE BC 垂足為E 則AE的長為 A 4B C D 5 答案C連接BD 交AC于點O 四邊形ABCD是菱形 AC BD AB 5 AC 2AO 6 OB 4 BD 2OB 8 S菱形ABCD 6 8 24 S菱形ABCD BC AE BC AB 5 AE 故選C 7 2014山東煙臺 6 3分 如圖 在菱形ABCD中 M N分別在AB CD上 且AM CN MN與AC交于點O 連接BO 若 DAC 28 則 OBC的度數(shù)為 A 28 B 52 C 62 D 72 答案C AOM CON MAO NCO AM CN AOM CON AO CO 點O是菱形ABCD對角線的交點 BO AC OBC 90 BCO 90 DAC 90 28 62 8 2014浙江寧波 6 4分 菱形的兩條對角線長分別是6和8 則此菱形的邊長是 A 10B 8C 6D 5 答案D 四邊形ABCD是菱形 如圖 AC 8 BD 6 OB OD 3 OA OC 4 AC BD 在Rt AOB中 由勾股定理得AB 5 即此菱形的邊長是5 故選D 9 2018內(nèi)蒙古呼和浩特 16 3分 如圖 已知正方形ABCD 點M是邊BA延長線上的動點 不與點A重合 且AM AB CBE由 DAM平移得到 若過點E作EH AC H為垂足 則有以下結(jié)論 點M位置變化 使得 DHC 60 時 2BE DM 無論點M運動到何處 都有DM HM 無論點M運動到何處 CHM一定大于135 其中正確結(jié)論的序號為 答案 解析如圖所示 取CE的中點O 以點O為圓心 OH為半徑畫圓 連接DH 延長EH交AD于F 連接FM BH HM 易知EH HA HF 當 DHC 60 時 易得 CEB CHB 60 則 BCE 30 所以2BE CE DM 故 正確 因為 CHE 90 所以 AHF 90 易知 DHF AHM 所以 DHM 90 易知DH HM 所以無論點M運動到何處 都有DM HM 故 正確 由 可知 DHM 90 而 CHD 45 所以無論點M運動到何處 CHM一定大于135 故 正確 所以 都正確 思路分析點E在運動的過程中 CBA CHE 90 故B E H C四點共圓 作出圖形 再進行判斷 解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要借助中點發(fā)現(xiàn)輔助圓 10 2017南京 15 2分 如圖 四邊形ABCD是菱形 O經(jīng)過點A C D 與BC相交于點E 連接AC AE 若 D 78 則 EAC 答案27 解析 四邊形ABCD是菱形 AD BC CA平分 DCB D 78 DCB 180 D 102 ACE DCB 51 A E C D四點共圓 D AEC 180 AEC 102 在 AEC中 EAC 180 AEC ACE 180 102 51 27 解后反思本題綜合考查菱形的性質(zhì) 圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì) 掌握這兩個性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵 11 2014四川成都 24 4分 如圖 在邊長為2的菱形ABCD中 A 60 M是AD邊的中點 N是AB邊上一動點 將 AMN沿MN所在直線翻折得到 A MN 連接A C 則A C長度的最小值是 答案 1 解析過點M作MF CD交CD的延長線于F 由題意可知MA MA 是定值 A C的長度最小時 A 在MC上 如圖 菱形ABCD的邊長為2 A 60 M是AD的中點 MD MA 1 MDF 60 MF MDsin60 DF MDcos60 CF CD DF 在Rt MFC中 由勾股定理得MC AMN沿MN所在直線翻折得到 A MN MA MA 1 A C MC MA 1 故答案為 1 評析本題是一道以菱形為依托的動點探究問題 主要考查菱形 軸對稱 翻折 銳角三角函數(shù) 勾股定理等知識的綜合應(yīng)用 根據(jù)已知分析確定點A 的位置是本題的解題關(guān)鍵 解析 1 相等 或BP CE 垂直 或CE AD 2 成立 證明 如圖 連接AC 交BD