（安徽專版）2020年中考數學復習 第三單元 函數及其圖象 課時訓練14 二次函數的實際應用

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1、 課時訓練(十四)　二次函數的實際應用 (限時:60分鐘) |夯實基礎| 1.為切實提高農民的收入,某地把大片經濟作物田地改種反季節(jié)蔬菜,若反季節(jié)蔬菜的價格y(元/千克)與出售的月份x(月)滿足關系式y(tǒng)=15x2-125x+395,則10月份的蔬菜價格為 (　　) A.7元/千克 B.35元/千克 C.195元/千克 D.395元/千克 2.[2019·山西] 北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋,它由五個高度不同,跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊桿,拉索與主梁相連.最高的鋼拱如圖K14-1所示,此鋼拱(近似看成二次函數的圖象——拋物線)在同一豎直平面內,

2、與拱腳所在的水平面相交于A,B兩點,拱高為78米(即最高點O到AB的距離為78米),跨徑為90米(即AB=90米),以最高點O為坐標原點,以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標系,則此拋物線型鋼拱的函數表達式為 (　　) 圖K14-1 A.y=26675x2 B.y=-26675x2 C.y=131350x2 D.y=-131350x2 3.[2019·臨沂]從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:m)與小球運動時間t(單位:s)之間的函數關系如圖K14-2所示.下列結論:①小球在空中經過的路程是40 m;②小球拋出3秒后,速度越來越快;③小球拋

3、出3秒時速度為0;④小球的高度h=30 m時,t=1.5 s.其中正確的是 (　　) 圖K14-2 A.①④ B.①② C.②③④ D.②③ 4.[2018·蕪湖繁昌一模] 某大學生利用課余時間在網上銷售一種成本為50元/件的商品,每月的銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)之間的函數關系式為y=-4x+440,要獲得最大利潤,該商品的售價應定為 (　　) A.60元 B.70元 C.80元 D.90元 5.[2019·溫州一模]圖K14-3①是一款優(yōu)雅且穩(wěn)定的拋物線形落地燈,防滑螺母C為拋物線支架的最高點,燈罩D距離地面1.86米,最高點C距燈

4、柱的水平距離為1.6米,燈柱AB及支架的相關數據如圖②所示.若茶幾擺放在燈罩的正下方,則茶幾中心到燈柱的距離AE為　　　　米.? 圖K14-3 6.[2018·沈陽] 如圖K14-4,一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著,并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開.已知籬笆的總長為900 m(籬笆的厚度忽略不計),當AB=　　　　m時,矩形土地ABCD的面積最大.? 圖K14-4 7.[2019·青島] 某商店購進一批成本為每件30元的商品,經調查發(fā)現,該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系,其圖象如圖K14-5所示. (1)求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之

5、間的函數關系式. (2)若商店按單價不低于成本價,且不高于50元銷售,則銷售單價定為多少,才能使銷售該商品每天獲得的利潤w(元)最大?最大利潤是多少? (3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元,則每天的銷售量最少應為多少件? 圖K14-5 8.[2019·合肥廬陽區(qū)校級一模]廬陽春風體育運動品商店從廠家購進甲,乙兩種T恤共400件,其每件的售價與進貨量m(件)之間的關系及成本如下表所示: T恤 每件的售價/元 每件的成本/元 甲 -0.1m+100 50 乙 -0.2m+120(0

6、 (1)當甲種T恤進貨250件時,求兩種T恤全部售完的利潤是多少元; (2)若所有的T恤都能售完,求該店獲得的總利潤y(元)與乙種T恤的進貨量x(件)之間的函數關系式; (3)在(2)的條件下,已知兩種T恤進貨量都不低于100件,且所進的T恤全部售完,該商店如何安排進貨才能獲得利潤最大? 9.如圖K14-6,安徽農村新建樓房較多采用這種式樣的進戶大門,大門上方矩形ABCD內安裝五塊固定的玻璃,玻璃之間用和門框相同的材料隔開,某扇大門采用12米彩鋁(圖中實線)制成,AD=4AB,設AB為x米,整個大門矩形ADFE的面積為S米2. (1)求S與x之間的函數關系式(不必

7、寫出自變量的取值范圍); (2)當AB=0.6米時,求大門的面積; (3)該大門的最大面積是多少? 圖K14-6 10.[2018·黔西南州] 某種蔬菜的銷售單價y1與銷售月份x之間的關系如圖K14-7①所示,成本y2與銷售月份x之間關系如圖②所示(圖①的圖象是線段,圖②的圖象是拋物線). (1)已知6月份這種蔬菜的成本最低,此時出售每千克的收益是多少元?(收益=售價-成本) (2)哪個月出售這種蔬菜,每千克的收益最大?簡單說明理由. (3)已知市場部銷售該種蔬菜4,5兩個月的總收益為22萬元,且5月份的銷售量比4月份的銷售量多2萬千克,求4,5兩個月的銷售量

8、分別是多少萬千克? 圖K14-7 |拓展提升| 11.[2019·青島嶗山區(qū)二模] 某公園要修建一個截面為拋物線形的拱門,其最大高度為4.5 m,寬度OP為6 m,現以地面(OP所在的直線)為x軸建立如圖K14-8①所示的平面直角坐標系. (1)求這條拋物線的函數表達式. (2)如圖所示,公園想在拋物線拱門距地面3 m處釘兩個釘子以便拉一條橫幅,請計算該橫幅的長度為多少米? (3)為修建該拱門,施工隊需搭建一個矩形“支架”ABCD(由四根木桿AB-BC-CD-DA組成),使B,C兩點在拋物線上,A,D兩點在地面OP上(如圖②所示).請你幫施工隊計算一下最多需要準

9、備多少米該種木桿? 圖K14-8 12.[2019·嘉興] 某農作物的生長率p與溫度t(℃)有如下關系:如圖K14-9①,當10≤t≤25時可近似用函數p=150t-15刻畫;當25≤t≤37時可近似用函數p=-1160(t-h)2+0.4刻畫. (1)求h的值. (2)按照經驗,該作物提前上市的天數m(天)與生長率p滿足函數關系: 生長率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天數m(天) 0 5 10 15 ①請運用已學的知識,求m關于p的函數表達式; ②請用含t的代數式表示m. (3)天氣寒冷,大棚加溫可改變農作物生長速度.

10、在(2)的條件下,原計劃大棚恒溫20℃時,每天的成本為200元,該作物30天后上市時,根據市場調查:每提前一天上市售出(一次售完),銷售額可增加600元.因此給大棚繼續(xù)加溫,加溫后每天成本w(元)與大棚溫度t(℃)之間的關系如圖②.問提前上市多少天時增加的利潤最大?并求這個最大利潤(農作物上市售出后大棚暫停使用). ① ② 圖K14-9 【參考答案】 1.C　[解析] 當x=10時,y=15x2-125x+395=15×102-125×10+395=195. 2.B　[解析]設二次函數的表達式為y=ax2,由題可知,點A的坐標為(-45,-78),代入表達式可得

11、:-78=a×(-45)2,解得a=-26675,∴二次函數的表達式為y=-26675x2,故選B. 3.D　[解析]由圖象知小球在空中達到的最大高度是40 m.故①錯誤;小球拋出3秒后,速度越來越快.故②正確;小球拋出3秒時達到最高點,即速度為0.故③正確;設函數解析式為:h=a(t-3)2+40,把O(0,0)代入,得0=a(0-3)2+40,解得a=-409,∴函數解析式為h=-409(t-3)2+40,把h=30代入解析式得,30=-409(t-3)2+40,解得:t=4.5或t=1.5, ∴小球的高度h=30 m時,t=1.5 s或t=4.5 s,故④錯誤.故選D. 4.C　[

12、解析]設銷售該商品每月所獲總利潤為w,則w=(x-50)(-4x+440)=-4x2+640x-22000=-4(x-80)2+3600,∴當x=80時,w取得最大值,最大值為3600,即售價為80元/件時,銷售該商品所獲利潤最大. 5.2.88　[解析]在題圖②所示平面內,以點A為坐標原點,水平向右為x軸正方向,豎直向上為y軸正方向建立平面直角坐標系,設拋物線解析式為y=a(x-1.6)2+2.5. 把x=0,y=1.5代入上式, 得1.5=a(0-1.6)2+2.5.解得a=-12.56. ∴y=-12.56(x-1.6)2+2.5. ∵DE的高為1.86米, ∴令y=1.86

13、,得-12.56(x-1.6)2+2.5=1.86. 解得x=2.88或x=0.32(舍去).故答案為2.88. 6.150　[解析]設AB=x m,矩形土地ABCD的面積為y m2, 由題意得y=x·900-3x2=-32(x-150)2+33750,∵-32<0,∴該函數圖象開口向下,當x=150時,該函數有最大值.即AB=150 m時,矩形土地ABCD的面積最大. 7.解:(1)設y與x之間的函數關系式為y=kx+b, 將(30,100),(45,70)代入一次函數表達式得:100=30k+b,70=45k+b,解得:k=-2,b=160, 故函數的表達式為y=-2x+160

14、. (2)由題意得:w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250, ∵-2<0,故當x<55時,w隨x的增大而增大,而30≤x≤50, ∴當x=50時,w有最大值,此時,w=1200, 故銷售單價定為50元時,才能使銷售該商品每天的利潤最大,最大利潤是1200元. (3)由題意得:(x-30)(-2x+160)≥800, 解得:40≤x≤70, ∴每天的銷售量y=-2x+160≥20, ∴每天的銷售量最少應為20件. 8.解:(1)當甲種T恤進貨250件時,乙種T恤進貨150件, 根據題意知,兩種T恤全部售完的利潤是 (-0.1×250+100-50)

15、×250+(-0.2×150+120-60)×150=10750(元). (2)當0

16、0=-0.1(x-100)2+11000, ∵x>100時,y隨x的增大而減小, ∴當x=200時,y取得最大值,最大值為10000元. 綜上,當購進甲種T恤250件,乙種T恤150件時,才能使獲得的利潤最大. 9.解:(1)由題意知:大門寬AD=4x米,高度為:12-12x2=(6-6x)米, ∴S與x之間的函數關系式為S=4x(6-6x)=-24x2+24x. (2)當x=0.6時,S=-24×0.62+24×0.6=5.76. 答:當AB=0.6米時,大門的面積為5.76米2. (3)S=-24(x2-x)=-24(x-0.5)2+6, ∵a=-24<0,∴當x=0.5

17、時,S最大值=6. 答:大門的最大面積為6米2. 10.解:(1)當x=6時,y1=3,y2=1, ∵y1-y2=3-1=2,∴6月份出售這種蔬菜每千克的收益是2元. (2)設y1=mx+n,y2=a(x-6)2+1. 將(3,5),(6,3)代入y1=mx+n,得3m+n=5,6m+n=3, 解得m=-23,n=7,∴y1=-23x+7; 將(3,4)代入y2=a(x-6)2+1,得4=a(3-6)2+1, 解得:a=13,∴y2=13(x-6)2+1=13x2-4x+13. ∴y1-y2=-23x+7-13x2-4x+13=-13x2+103x-6=-13(x-5)2+7

18、3.∵-13<0,∴當x=5時,y1-y2取最大值,最大值為73, 即5月份出售這種蔬菜,每千克的收益最大. (3)4月份每千克的收益為y1-y2=-13x2+103x-6=2. 5月份每千克的收益為y1-y2=-13x2+103x-6=73. 設4月份的銷售量為t萬千克,則5月份的銷售量為(t+2)萬千克, 根據題意得:2t+73(t+2)=22,解得:t=4,∴t+2=6. 答:4月份的銷售量為4萬千克,5月份的銷售量為6萬千克. 11.解:(1)由題意知拋物線的頂點坐標為(3,4.5), 設拋物線的表達式為y=a(x-3)2+4.5, ∵拋物線上有一點(6,0),∴0=

19、9a+4.5,∴a=-12, ∴拋物線的表達式為y=-12(x-3)2+4.5,即y=-12x2+3x(0≤x≤6). (2)當y=3時,-12x2+3x=3,解得x1=3-3,x2=3+3, ∴該橫幅的長度為(3+3)-(3-3)=23(m), 答:該橫幅的長度為23m. (3)設Bx,-12x2+3x, ∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC=-12x2+3x, 根據拋物線的對稱性,可得:OA=DP=x, ∴AD=6-2x,即BC=6-2x, ∴令L=AB+BC+CD+AD=2-12x2+3x+2(6-2x)=-(x-1)2+13. ∴當x=1時,L取得最大值,最大值為1

20、3, ∴AB,BC,CD,AD長度之和的最大值為13 m, 答:最多需要準備13 m該種木桿. 12.解:(1)把(25,0.3)代入p=-1160(t-h)2+0.4,得h=29或h=21. ∵h>25,∴h=29. (2)①由表格可知m是p的一次函數, ∴m=100p-20. ②當10≤t≤25時,p=150t-15, ∴m=100150t-15-20=2t-40. 當25≤t≤37時,p=-1160(t-29)2+0.4. ∴m=100-1160(t-29)2+0.4-20=-58(t-29)2+20. (3)①當20≤t≤25時,由(20,200),(25,300),得w=20t-200,∴增加利潤為600m+[200×30-w(30-m)]=40t2-600t-4000. ∴當t=25時,增加利潤的最大值為6000元. ②當25≤t≤37時,w=300. 增加利潤為600m+[200×30-w(30-m)]=900×-58·(t-29)2+15000=-11252(t-29)2+15000, ∴當t=29時,增加利潤的最大值為15000元. 綜上所述,當t=29時,提前上市20天,增加利潤的最大值為15000元. 9