浙江省2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一部分 考點研究 第四單元 三角形 第18課時 等腰三角形試題

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1、 第四單元　三角形 第18課時　等腰三角形 (建議答題時間：50分鐘) 基礎(chǔ)過關(guān) 1．(2017包頭)若等腰三角形的周長為10 cm，其中一邊長為2 cm，則該等腰三角形的底邊長為(　　) A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm 2．(2017濱州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，且DA＝DC，BD＝BA，則∠B的大小為(　　) A. 40° B. 36° C. 30° D. 25° 第2題圖 3．(2017荊州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分線l交AC于點D，則∠CBD的度數(shù)為(　　)

2、 第3題圖 A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 4．(2017海南)已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(　　)條． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．(2017江西)如圖①是一把園林剪刀，把它抽象為圖②，其中OA＝OB，若剪刀張開的角為30°，則∠A＝________度． 第5題圖 6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC中點，若DE＝2，則AB的長為________． 第6題圖 7．(2

3、017溫州模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分別為兩腰上的中線，且BD⊥CE，則tan∠ABC＝________． 第7題圖 　　　 8．(2017揚州)如圖，把等邊△ABC沿著DE折疊，使點A恰好落在BC邊上的點P處，且DP⊥BC，若BP＝4 cm，則EC＝________cm. 第8題圖 9．(2017武漢)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，點D，E都在邊BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，則DE的長為________． 第9題圖 10．(2017內(nèi)江)如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點D，DE∥AC. 求證：

4、△BDE是等腰三角形． 第10題圖 11．(2017北京)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D. 求證：AD＝BC. 第11題圖 滿分沖關(guān) 1．(2017天津)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個動點，則下列線段的長等于BP＋EP最小值的是(　　) A. BC B. CE C. AD D. AC 第1題圖 2．如圖所示，已知直線y＝－x＋1與x、y軸交于B、C兩點，A(0，0)，在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第

5、1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3B3，…則第n個等邊三角形的邊長為(　　) 第2題圖 A. B. C. D. 3．(2017威海)如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP.則線段PB長度的最小值為________． 第3題圖 4．(2017綏化)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若AD＝BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為________． 5．(2017寧夏)在邊長為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點P分別作PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分別為垂足． (1)求證：不

6、論點P在BC邊的何處時都有PM＋PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高； (2)當(dāng)BP的長為何值時，四邊形AMPN的面積最大，并求出最大值． 第5題圖 6．(2017成都)問題背景 如圖①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝. 遷移應(yīng)用 (1)如圖②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD. ⅰ)求證：△ADB≌△AEC； ⅱ)請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式． 拓展延伸 (2)如圖③，在菱形ABCD中，∠

7、ABC＝120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點C關(guān)于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF. ⅰ)證明△CEF是等邊三角形； ⅱ)若AE＝5，CE＝2，求BF的長． 第6題圖 沖刺名校) 第1題圖 1．如圖，四邊形ABDC中，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACD＝90°，AB＝AC＝3，BD＝CD，點M，N分別在AB，AC上，連接MD，MN，ND，若∠MDN始終保持60°不變，則△AMN的周長為________． 答案 基礎(chǔ)過關(guān) 1．A　【解析】當(dāng)2 cm是等腰三角形的腰時，底邊長＝10－2×2＝6 cm，∵2＋2＜6，不能構(gòu)成三角形，∴此種情況不

8、存在；當(dāng)2 cm是等腰三角形的底邊時，腰長＝＝4 cm，∴底為2 cm，故選A. 2．B　【解析】設(shè)∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵BA＝AC，∴∠B＝∠C，∴180°－4x°＝x°，解得x°＝36°，∴∠B＝∠C＝36°. 3．B　【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，又∵l為AB的垂直平分線，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°，∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°. 4．B　【解析】符合條件的直線共有4條，(1)如解圖①，在邊B

9、C上截取CE＝CA，BF＝BA，連接AE，AF，得到等腰△CEA，△BAF；(2)如解圖②，分別作AB，AC的中垂線交BC于M、N，連接AM、AN，得到等腰△MAB、△NAC.綜上所述，直線AE、AF、AM、AN均滿足題意． 第4題解圖 5．75　【解析】由對頂角可知，∠AOB＝30°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵在△AOB中，∠AOB＋∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝75°. 6．4　【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∴△ADC是直角三角形，∵E是AC的中點，∴DE＝AC(直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的一半)，又∵DE＝2，AB＝AC，∴AB＝4. 7．3　

10、【解析】如解圖，連接DE，過E點作EF⊥BC垂足為F，設(shè)DE＝2x，依題意得DE為△ABC的中位線，∴BC＝4x，又∵四邊形BCDE為等腰梯形，∴BF＝(BC－DE)＝x，則FC＝3x，∵BD⊥CE，∴△BCG為等腰直角三角形，∵EF⊥BC，∴△CEF為等腰直角三角形，∴EF＝CF＝3x，在Rt△BEF中，EF＝3x，BF＝x，∴tan∠ABC＝＝＝3. 第7題解圖 8．2＋2　【解析】∵等邊△ABC沿著DE折疊，使點A恰好落在BC邊上的點P處，且DP⊥BC，BP＝4 cm，∴∠BDP＝30°，BD＝2BP＝2×4＝8 cm.∴AD＝DP＝＝4 cm，AB＝BC＝(8＋4)cm.在Rt

11、△CPE中，∠EPC＝30°，∴CE＝CP＝(BC－BP)＝(8＋4－4)＝(2＋2)cm. 9．3－3　【解析】∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA＝30°，如解圖，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠DBA＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠D′AC＝∠DAB，∴∠EAD′＝∠EAD＝60°，∴△EAD′≌△EAD，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝，∵CD′＝BD＝2CE，∠D′CE＝60°，∴∠D′EC＝90°，∴D′E2＋EC2＝D′C2，即DE2＋()2＝(×2)2，解得DE

12、＝3－3. 第9題解圖 10．證明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠ADE， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°， ∵∠BDE＋∠ADE＝90°， ∴∠EBD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰三角形． 11．證明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝72°， 又∵BD為∠ABC的平分線， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36° ∴∠ABD＝∠A， ∴△ABD為以點D為頂點的等腰三角形， ∴AD＝

13、BD， ∵∠CBD＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BCD為以點B為頂點的等腰三角形， ∴BC＝BD， ∴AD＝BC. 滿分沖關(guān) 1．B　【解析】∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點B關(guān)于AD的對應(yīng)點為點C，∴CE就是EP＋BP的最小值． 2．B　【解析】∵直線y＝－x＋1與x、y軸交于B、C兩點，∴OB＝，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°.而△AA1B1為等邊三角形，∠A1AB1＝60°，∴∠COA1＝30°，∴∠CA1O＝90°.在Rt△C

14、AA1中，AA1＝OC＝，同理得：B1A2＝A1B1＝，依此類推，第n個等邊三角形的邊長為. 3.　【解析】將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，如解圖，則△PBD是等邊三角形，PB＝PD.∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PCD＝60°.在△PCD中，當(dāng)∠PCD＝60°時，PD最小，∴當(dāng)△PCD是等邊三角形時，PD＝PB最小，此時四邊形PCDB是菱形．在Rt△POB中，OB＝1，∠PBO＝30°，∴PB＝. 第3題解圖 4．30°或90°或150°　【解析】如解圖所示；可以證明解圖①中△ABC是等腰直角三角形，所以頂角是90°，解圖②中AC＝BC，在直角三角形ADC中，AD＝AC，所以∠A

15、CD＝30°，所以∠ACB＝180°－∠ACD＝150°.解圖③中，AC＝BC，在直角三角形ADC中，AD＝AC，所以∠ACD＝30°.綜上所述，△ABC頂角的度數(shù)分別是30°或90°或150°. 第4題解圖 5．(1)證明：如解圖①，連接AP，設(shè)等邊三角形一邊上的高為h. ∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC， ∴AB·PM＋AC·PN＝AB·h， ∵AB＝AC， ∴PM＋PN＝h， 第5題解圖① 即PM＋PN的長恰好等于△ABC一邊上的高； 【一題多解】如解圖②，過點B作BD⊥NP的延長線，垂足為D， 第5題解圖② ∵在Rt△BPM中，∠MBP＝60°，

16、 ∴∠BPM＝30°， ∵在Rt△CNP中，∠C＝60°， ∴CPN＝30°. ∵∠BPD＝∠CPN＝30°， ∴∠BPD＝∠BPM. 在Rt△BPM和Rt△BPD中， ， ∴Rt△BPM≌Rt△BPD(AAS)， ∴PM＝PD， ∴PM＋PN＝PD＋PN＝DN， 過點B作BE⊥AC，垂足為E， ∴四邊形BDNE為矩形 ∴PM＋PN＝DN＝BE， 即PM＋PN等于△ABC一邊上的高． (2)解：設(shè)BP＝x，那么PC＝2－x， 在Rt△BPM中，∠B＝60°， ∴BM＝，AM＝2－，PM＝x， S△APM＝AM·PM＝(2－)·x＝x－x2， 在Rt△CNP中

17、，∠C＝60°， ∴CN＝，AN＝1＋， PN＝， S△APN＝AN·PN＝(1＋)·＝－x2， S四邊形AMPN＝S△APM＋S△APN＝x－x2＋－x2＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋， 當(dāng)x＝1時，四邊形AMPN的面積有最大值是， 即當(dāng)BP＝1時，四邊形AMPN的面積有最大值是. 6．解：(1)ⅰ)證明：由題意可知：AD＝AE，AB＝AC， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB≌△AEC(SAS)； ⅱ)CD＝AD＋BD. 【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°， ∴DE＝AD， ∵DE＝DC－EC， ∴DC－EC＝AD， 由

18、ⅰ)知，△ADB≌△AEC(SAS)， ∴EC＝DB， ∴DC－DB＝AD， 即CD＝AD＋BD. (2)ⅰ)證明：如解圖，連接BE，作BG⊥AE于點G. 第6題解圖 ∵C、E關(guān)于BM對稱， ∴BE＝BC，CF＝EF，∠3＝∠4， ∠EFB＝∠CFB， 在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC， ∴AB＝BC＝BE， 又∵BG⊥AE，∴∠1＝∠2， ∴∠GBF＝∠2＋∠3＝∠ABC＝60°， ∵在四邊形GBNE中， ∠GEN＝360°－∠EGB－∠ENB－∠GBN＝120°， ∴∠FEN＝60°，又∵EF＝FC， ∴△EFC為等邊三角形； ⅱ)解

19、：∵AE＝5，CE＝2， ∴EG＝AE＝，EF＝CE＝2， ∴GF＝EG＋EF＝， ∵∠BGF＝90°，∠GFB＝30°， ∴BF＝＝3. 沖刺名校 1．6　【解析】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∵∠DBA＝∠DCA＝90°，如解圖，延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC，∴△BDF≌△CDN(SAS)，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM＋∠CDN＝60°，∴∠BDM＋∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊，∴△DMN≌△DMF(SAS)，∴MN＝MF，∴△AMN的周長是AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6. 第1題解圖 14