江蘇省徐州市2019年中考數學總復習 第四單元 三角形 課時訓練23 銳角三角函數練習

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1、 課時訓練(二十三)　銳角三角函數 (限時:30分鐘) |夯實基礎| 1.下列式子錯誤的是 (　　) A.cos40°=sin50° B.tan15°·tan75°=1 C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30° 2.[2017·湖州] 如圖K23-1,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則cosB的值是 (　　) 圖K23-1 A. B. C. D. 3.[2017·宜昌] △ABC在網格中的位置如圖K23-2所示(每個小正方形邊長為1),AD⊥BC于D,下列選項中,錯

2、誤的是(　　) 圖K23-2 A.sinα=cosα B.tanC=2 C.sinβ=cosβ D.tanα=1 4.[2018·金華、麗水] 如圖K23-3,兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,則竹竿AB與AD的長度 之比為 (　　) 圖K23-3 A. B. C. D. 5.在△ABC中,若+cosB-2=0,則∠C的度數是 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.如圖K23-4所示,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,C

3、D⊥AB,垂足為D,CD=1,則AB的長為 (　　) 圖K23-4 A.2 B.2 C.+1 D.+1 7.如圖K23-5,直徑為10的☉A經過點C(0,5)和點O(0,0),B是y軸右側☉A優(yōu)弧上一點,則cos∠OBC的值為 (　　) 圖K23-5 A. B. C. D. 8.如圖K23-6,在直角三角形BAD中,延長斜邊BD到點C,使DC=BD,連接AC,若tanB=,則tan∠CAD的值為 (　　) 圖K23-6 A. B. C. D. 9.[2017·廣州] 如圖K2

4、3-7,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=,則AB=　　　　.? 圖K23-7 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,現給出下列結論:①sinA=;②cosB=;③tanA=;④tanB=.其中正確的結論 是　　　　.(只需填上正確結論的序號)? 11.[2018·湖州] 如圖K23-8,已知菱形ABCD,對角線AC,BD相交于點O.若tan∠BAC=,AC=6,則BD的長是　　　　.? 圖K23-8 12.如圖K23-9所示,在☉O中,過直徑AB延長線上的點C作☉O的一條切線,切點為D,若AC=7,AB=4,則sinC的值

5、 為　　　　.? 圖K23-9 13.[2017·無錫] 在如圖K23-10的正方形方格紙中,每個小的四邊形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格點處,AB與CD相 交于O,則tan∠BOD的值等于　　　　.? 圖K23-10 14.如圖K23-11所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉15°后得到△AB1C1,B1C1 交AC于點D,如果AD=2,則△ABC的周長等于　　　　.? 圖K23-11 15.如圖K23-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點,過點D作AB的垂線交AC于點

6、E,若BC=6,sinA=,則 DE=　　　　.? 圖K23-12 16.[2018·無錫] 已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,則△ABC的面積等于　　　　.? 17.如圖K23-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,點D在邊AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足為點E,連接CE,求: (1)線段BE的長; (2)∠ECB的正切值. 圖K23-13 |拓展提升| 18.[2018·南寧] 如圖K23-14,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=3,點P在BC上,將△CDP沿DP折疊,點

7、C落在點E處,PE,DE 分別交AB于點O,F,且OP=OF,則cos∠ADF的值為 (　　) 圖K23-14 A. B. C. D. 19.[2018·蘇州] 如圖K23-15,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=.將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△AB'C', 連接B'C,則sin∠ACB'=　　　　.? 圖K23-15 20.如圖K23-16所示,在正方形ABCD中,點E在邊AD上,點F在邊BC的延長線上,連接EF與邊CD相交于點G,連接 BE與對角線AC相交于點H,AE=CF

8、,BE=EG. (1)求證:EF∥AC; (2)求∠BEF的大小; (3)求證:=. 圖K23-16 參考答案 1.D　[解析] A選項,sin50°=sin(90°-40°)=cos40°,式子正確; B選項,構造Rt△ABC,∠C=90°,∠A=15°,∠B=75°,則tan15°·tan75°=·=1,式子正確; C選項,sin225°+cos225°=1,式子正確; D選項,sin60°=,sin30°=,式子sin60°=2sin30°錯誤.故選D.

9、 2.A　[解析] 在Rt△ABC中,cosB===. 3.C　[解析] sinα=cosα==,tanC==2,sinβ=cos(90°-β),tanα==1,故選C. 4.B　[解析] 由銳角三角函數的定義,得AB=,AD=,∴AB與AD的長度之比為,故選B. 5.D　6.D 7.B　[解析] 設☉A與x軸的另一交點為點D,連接CD,則CD為☉A的一條直徑,∠OBC=∠ODC,故cos∠OBC= cos∠ODC==. 8.D　[解析] 過點D作DE∥AB交AC于點E. ∵∠BAD=90°,DE∥AB. ∴∠ADE=90°. ∵tanB=,∴設AD=5k,AB=3k.

10、∵DE∥AB,∴==,DE=AB=k. ∴tan∠CAD===.故選D. 9.17　[解析] ∵tanA=,即=,∴AC=8.根據勾股定理,得AB===17. 10.②③④　[解析] 根據題意,因為∠C=90°,AB=2BC,所以該直角三角形是含30°角的直角三角形,則 BC∶AB∶AC=1∶2∶,令BC=1,AB=2,AC=,作出圖形, ①sinA==,②cosB==,③tanA==,④tanB==,則正確結論為②③④. 11.2　[解析] ∵菱形的對角線互相垂直平分,∴AC⊥BD. ∵tan∠BAC=,∴=.∵AC=6,∴AO=3. ∴BO=1.∴BD=2BO=2.故填2.

11、 12. 13.3　[解析] 如圖,利用網格添加輔助線,使EF∥CD,BG⊥EF于H,則tan∠BOD=tan∠BIH=3. 14.6+2　[解析] 依題意∠B1AD=45°,AD=2,∴AB1=AB=ADcos45°=2×=2.∵∠ACB=30°,∴AC=2AB=2×2=4, ∴BC===2,∴△ABC的周長等于2+4+2=6+2. 15.　[解析] 在Rt△ABC中,先求出AB,AC,繼而得出AD,再由△ADE∽△ACB,利用對應邊成比例可求出DE. ∵BC=6,sinA=,∴AB=10, ∴AC==8. ∵D是AB的中點,∴AD=AB=5. ∵△ADE∽△ACB,∴

12、=,即=, 解得DE=. 16.15或10　[解析] 分兩種情況求解: (1)如圖所示,作AD⊥BC于點D, ∵AB=10,∠B=30°,∴AD=AB=×10=5, BD===5. 在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=5,AC=2, ∴CD===. ∴BC=BD+CD=5+=6, ∴△ABC的面積為BC·AD=×6×5=15. (2)如圖所示,作AD⊥BC交BC的延長線于點D, 又∵AB=10,∠B=30°, ∴AD=AB=×10=5, BD===5. 在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=5,AC=2, ∴CD===. ∴BC=BD-CD=5

13、-=4, ∴△ABC的面積為BC·AD=×4×5=10. 綜上所述,△ABC的面積等于15或10. 17.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2. ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3, ∴∠A=∠B=45°,AB===3. ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∠ADE=∠A=45°, ∴AE=AD·cos45°=2×=, ∴BE=AB-AE=3-=2, 即線段BE的長為2. (2)過點E作EH⊥BC,垂足為點H,如圖所示. ∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°, ∴EH=BH=BE·cos45°=2×=2. ∵BC=3,∴CH=1

14、. 在Rt△CHE中,tan∠ECB===2. 即∠ECB的正切值為2. 18.C　[解析] 由題意得:Rt△DCP≌Rt△DEP, ∴DC=DE=4,CP=EP, 在Rt△OEF和Rt△OBP中, ∠EOF=∠BOP,∠E=∠B,OF=OP, ∴Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS),∴OE=OB,EF=BP, 設EF為x,則BP=x,DF=4-x, 又∵BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC, PC=BC-BP=3-x,∴BF=3-x. ∴AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x, 在Rt△DAF中,AF2+AD2=DF2,即(1+x)2+32=(4-x)2, 解

15、得x=,∴EF=,DF=4-=, ∴在Rt△DAF中,cos∠ADF==. 19.　[解析] 過點B'作B'D⊥AC于D,由旋轉可知: ∠B'AB=90°,AB'=AB=2, ∴∠AB'D+∠B'AD=∠B'AD+∠CAB=90°,∴∠AB'D=∠CAB. ∵AB=2,BC=,∴AC=5, ∴AD=AB'sin∠AB'D=AB'sin∠CAB=2×=2, ∴CD=5-2=3,B'D==4, ∴B'C=5,∴sin∠ACB'==. 20.[解析] 第(1)題利用平行四邊形知識證明EF∥AC;第(2)題需要連接BG,證明△BEG是等邊三角形;第(3)題,根據結論是比例式的形式

16、,聯想到需要尋找一對相似三角形進行證明.由于∠ABE=15°,所以=tan15°,容易找到△ABH∽△FBG. 解:(1)證明:∵正方形ABCD,∴AD∥BC, 即AE∥CF. ∵AE=CF, ∴四邊形AEFC是平行四邊形,∴EF∥AC. (2)如圖,連接BG. ∵正方形ABCD, ∴∠BAC=∠ACB=45°. ∵EF∥AC,∴∠ACB=∠F=45°. ∵∠BCD=90°,∴∠CGF=45°. ∴∠CGF=∠F,∴CG=CF. 又∵AE=CF,∴CG=AE. ∵AB=CB,∠BAE=∠BCG=90°, ∴△ABE≌△CBG,∴BE=BG. ∵BE=EG,∴BE=BG=EG, ∴△BEG是等邊三角形,∴∠BEF=60°. (3)證明:由(2)得AE=CG,∴DE=DG, ∴∠DEG=45°.∴∠AEB=75°,∴∠ABE=15°. 由(2)得∠ABH=∠FBG,∠BAH=∠BFG=45°, ∴△ABH∽△FBG. ∴=, 即====, 即=. 14