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1、9.29.2不等式選講不等式選講( (選修選修45)45)-2-3-4-5-6-1.絕對值三角不等式(1)定理1:若a,b是實數(shù),則|a+b|a|+|b|,當且僅當ab0時,等號成立;(2)性質:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實數(shù),則|a-c|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)0時,等號成立.-7-2.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-
2、a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想;利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想.通過構造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.-8-3.基本不等式定理1:設a,bR,則a2+b22ab,當且僅當a=b時,等號成立.-9-4.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.(1)比較法:求差比較法,求商比較法.求差比較法:由于aba-b0,aba-bb,只要證明a-b0即可.(2)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式(已知條件、定理等
3、).(3)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關性質或定理,經過推理論證,推導出所要證明的不等式成立,即“由因尋果”的方法,這種證明不等式的方法稱為綜合法.-10-5.柯西不等式 -11-考向一考向二考向三考向四解絕對值不等式、求參數(shù)范圍解絕對值不等式、求參數(shù)范圍解題策略一解題策略一分離參數(shù)法求參數(shù)范圍分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 例1(2017全國,理23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.當x2時,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.-12-考向一考向二考向三考向四(2)由f(
4、x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 解題心得1.解含有兩個以上絕對值符號的不等式,一般解法是零點分段法.即令各個絕對值式子等于0,求出各自零點,把零點在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點分數(shù)軸形成的各區(qū)間去絕對值,進而將絕對值不等式轉化為常規(guī)不等式.2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取分離參數(shù),通過求對應函數(shù)最值的方法獲得.-13-考向一考向二考向三考向四對點訓練對點訓練1(2017山西太原二模,理23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0).(1)當m=1時,解不等式f(x)3;(2)當xm,2m2時,不等式 f(x)|x+1|恒成立,求實數(shù)m的
5、取值范圍.解 (1)m=1時,f(x)=|x+1|+|2x-1|, f(x)3,解得x-1或x1. -14-考向一考向二考向三考向四-15-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二求函數(shù)最值構造不等式求參數(shù)范圍求函數(shù)最值構造不等式求參數(shù)范圍 例2(2017全國,理23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.解 (1)當a=1時,不等式f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當xa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(
6、x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.-17-考向一考向二考向三考向四對點訓練對點訓練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當a=-2時,求不等式f(x)g(x)的解集;解 (1)當a=-2時,不等式f(x)g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-30.設函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,其圖象如圖所示.從圖象可知,當且僅當x(0,2)時,y0.所以原不等式的解集是x|0 x0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.解 (1)(
7、a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3所以(a+b)38,因此a+b2. -20-考向一考向二考向三考向四解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,主要是運用基本不等式證明,與絕對值有關的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進行恰當?shù)霓D化、變形.-21-考向一考向二考向三考向四對點訓練對點訓練3設a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: -22-
8、考向一考向二考向三考向四(2)若|a-b|c-d|,則(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.因為a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1.(1)求證:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求實數(shù)t的最大值.-26-考向一考向二考向三考向四-27-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二利用柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值 例5(2017四川成都二診,理23)(1)已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|.求不等式 0的解集.綜上
9、所述,不等式的解集為-2,2. -28-考向一考向二考向三考向四解題心得利用柯西不等式求最值時,一定要滿足柯西不等式的形式.-29-考向一考向二考向三考向四對點訓練對點訓練5(2017河南洛陽一模,理23)(1)已知關于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R.求m的最大值.(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時a,b,c的值.解 (1)|x+3|+|x+m|(x+3)-(x+m)|=|m-3|.當-3x-m或-mx-3時取等號,令|m-3|2m,m-32m或m-3-2m.解得m1,m的最大值為1.-30-考向一考向二考向三考向四(2)a+b
10、+c=1,由柯西不等式得 當且僅當2a=3b=4c,且a+b+c=1時等號成立. -31-考向一考向二考向三考向四絕對值三角不等式的應用絕對值三角不等式的應用 (1)證明f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范圍.-32-考向一考向二考向三考向四解題心得絕對值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應用,無論運用絕對值三角不等式還是運用基本不等式時應注意等號成立的條件.-33-考向一考向二考向三考向四對點訓練對點訓練6(2017湖南長沙一模,理23)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)當a=1時,求f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范圍.解 (1)當a=1時,f(x)=|x-1|+|x-3|x-1-x+3|=2,f(x)的最小值為2,當且僅當1x3時取得最小值.(2)xR時,恒有|x-a|+|x-3|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,不等式f(x)3的解集非空,|3-a|3,0a6.
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