湖南省2019年中考數(shù)學總復習 第二單元 方程（組）與不等式（組）課時08 一元二次方程及其應用課件.ppt

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第二單元方程 組 與不等式 組 課時08一元二次方程及其應用 中考對接 1 2018 湘潭 九章算術 是我國古代最重要的數(shù)學著作之一 在 勾股 章中記載了一道 折竹抵地 問題 今有竹高一丈 末折抵地 去本三尺 問折者高幾何 翻譯成數(shù)學問題是 如圖8 1 在 ABC中 ACB 90 AC AB 10 BC 3 求AC的長 如果設AC x 那么可列方程為 圖8 1 答案 x2 32 10 x 2 解析 設AC x AC AB 10 AB 10 x 在Rt ABC中 ACB 90 AC2 BC2 AB2 即x2 32 10 x 2 2 2018 張家界 關于x的一元二次方程x2 kx 1 0有兩個相等的實數(shù)根 則k 答案 2 解析 關于x的一元二次方程x2 kx 1 0有兩個相等的實數(shù)根 b2 4ac k 2 4 0 解得k 2 3 2018 婁底 關于x的一元二次方程x2 k 3 x k 0的根的情況是 A 有兩個不相等的實數(shù)根B 有兩個相等的實數(shù)根C 無實數(shù)根D 不能確定 答案 A 解析 因為 k 3 2 4k k2 2k 9 k 1 2 8 0 所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根 故選A 4 2018 長沙 已知關于x的方程x2 3x a 0有一個根為1 則方程的另一個根為 5 2018 益陽 規(guī)定a b a b b 如 2 3 2 3 3 15 若2 x 3 則x 答案 3或1 解析 2 x 3 2 x x 3 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 6 2017 湘潭 由多項式乘法 x a x b x2 a b x ab 將該式從右到左使用 即可得到用 十字相乘法 進行因式分解的公式 x2 a b x ab x a x b 實例 分解因式 x2 5x 6 x2 2 3 x 2 3 x 2 x 3 1 嘗試 分解因式 x2 6x 8 x x 2 應用 請用上述方法解方程 x2 3x 4 0 解 1 24 2 由x2 3x 4 0 得 x 4 x 1 0 所以x 4 0或x 1 0 即x 4或x 1 7 2018 鹽城 一商店銷售某種商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元 為了擴大銷售 增加盈利 該店采取了降價措施 在每件盈利不少于25元的前提下 經(jīng)過一段時間銷售 發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元 平均每天可多售出2件 1 若降價3元 則平均每天銷售數(shù)量為件 2 當每件商品降價多少元時 該商店每天銷售利潤為1200元 解 1 26 2 設當每件商品降價x元時 該商店每天銷售利潤為1200元 由題意 得 40 x 20 2x 1200 整理 得x2 30 x 200 0 解得x1 10 x2 20 又每件盈利不少于25元 x 20不合題意 舍去 答 當每件商品降價10元時 該商店每天銷售利潤為1200元 考點自查 1 一元二次方程定義的三個基本特征 1 只含有 個未知數(shù) 2 未知數(shù)的最高次數(shù)是 3 是整式方程 2 一元二次方程的一般形式是 一 2 ax2 bx c 0 a 0 溫馨提示 在一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0中 要特別注意a 0這個條件 一元二次方程一般有四種解法 四種解法對照如下 判別式 b2 4ac與方程的根的關系 1 0 方程有 的實數(shù)根 2 0 方程有 的實數(shù)根 3 0 方程 實數(shù)根 4 0 方程有 實數(shù)根 兩個不相等 兩個相等 沒有 兩個 溫馨提示 運用一元二次方程根的判別式時 要注意二次項系數(shù)a 0這一條件 易錯警示 失分點 在明確一元二次方程的前提下要注意二次項系數(shù)a 0 已知關于x的方程 m 1 x m 1 mx 1 0是一元二次方程 求m的值 解 關于x的方程 m 1 x m 1 mx 1 0是一元二次方程 m 1 2且m 1 0 解得m 3 答案 3 解析 把x 2代入kx2 k2 2 x 2k 4 0 得4k 2k2 4 2k 4 0 整理得k2 3k 0 解得k1 0 k2 3 因為k 0 所以k的值為 3 例1 2018 荊門 已知x 2是關于x的一元二次方程kx2 k2 2 x 2k 4 0的一個根 則k的值為 方法模型 一元二次方程的根滿足一元二次方程 注意在解題中要滿足其前提 即一元二次方程ax2 bx c 0中a 0 答案 D 解析 n n 0 是關于x的方程x2 mx 2n 0的一個根 n2 mn 2n 0 n n m 2 0 n 0 m n 2 0 m n 2 故選D 拓展 2018 涼山州 若n n 0 是關于x的方程x2 mx 2n 0的一個根 則m n的值是 A 1B 2C 1D 2 例2 2018 寧夏 某企業(yè)2018年初獲利潤300萬元 到2020年初計劃利潤達到507萬元 設這兩年的年利潤平均增長率為x 應列方程是 A 300 1 x 507B 300 1 x 2 507C 300 1 x 300 1 x 2 507D 300 300 1 x 300 1 x 2 507 B 拓展1 2017 白銀 如圖8 2 某小區(qū)計劃在一塊長為32m 寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路 剩余的空地上種植草坪 使草坪的面積為570m2 若設道路的寬為xm 則下面所列方程正確的是 A 32 2x 20 x 570B 32x 2 20 x 32 20 570C 32 x 20 x 32 20 570D 32x 2 20 x 2x2 570 A 圖8 2 B 例3 2017 濱州 根據(jù)要求 解答下列問題 1 解下列方程 直接寫出方程的解即可 方程x2 2x 1 0的解為 方程x2 3x 2 0的解為 方程x2 4x 3 0的解為 2 根據(jù)以上方程特征及其解的特征 請猜想 方程x2 9x 8 0的解為 關于x的方程的解為x1 1 x2 n 3 請用配方法解方程x2 9x 8 0 以驗證猜想結論的正確性 拓展1 2017 舟山 用配方法解方程x2 2x 1 0時 配方結果正確的是 A x 2 2 2B x 1 2 2C x 2 2 3D x 1 2 3 B 例4 2016 北京改編 關于x的一元二次方程mx2 2m 1 x m 1 0 1 若方程沒有實數(shù)根 則m的取值范圍是 2 若方程有兩個相等的實數(shù)根 則m 3 若方程有兩個不相等的實數(shù)根 則m的取值范圍是 4 若方程有實數(shù)根 則m的取值范圍是 寫出一個滿足條件的m的值 并求此時方程的根 方法模型 利用一元二次方程根的判別式解題要點 1 將方程化成一般形式 確定a b c 2 計算 的值 3 由方程的根與 的關系得出方程或不等式 4 解方程或不等式 注意確保二次項系數(shù)a 0 拓展1 2018 河南 下列一元二次方程中 有兩個不相等的實數(shù)根的是 A x2 6x 9 0B x2 xC x2 3 2xD x 1 2 1 0 答案 B 解析 本題考查了用一元二次方程ax2 bx c 0的根的判別式 b2 4ac來判斷方程根的情況 當 0時 方程有兩個不相等的實數(shù)根 選項A b2 4ac 62 4 1 9 0 選項B 先將原方程化為一般式x2 x 0 則 b2 4ac 1 2 4 1 0 1 0 選項C 將原方程化為一般式x2 2x 3 0 則 b2 4ac 2 2 4 1 3 8 0 選項D 將原方程化為一般式x2 2x 2 0 則 b2 4ac 2 2 4 1 2 4 0 故選B 拓展2 2018 北京 關于x的一元二次方程ax2 bx 1 0 1 當b a 2時 利用根的判別式判斷方程根的情況 2 若方程有兩個相等的實數(shù)根 寫出一組滿足條件的a b的值 并求此時方程的根 解 1 b a 2 b2 4 a 1 a 2 2 4a a2 4 0 原方程有兩個不相等的實數(shù)根 2 答案不唯一 如當a 1 b 2時 原方程為x2 2x 1 0 解得x1 x2 1 例5關于x的一元二次方程x2 m 3 x m 0 1 求證 方程有兩個不相等的實數(shù)根 2 如果方程的兩實根為x1 x2 且x21x22 7 求m的值 解 1 證明 x2 m 3 x m 0 m 3 2 4 1 m m2 2m 9 m 1 2 8 0 方程有兩個不相等的實數(shù)根 2 x2 m 3 x m 0 方程的兩實根為x1 x2 且x21x22 7 x1 x2 2 3x1x2 7 m 3 2 3 m 7 解得m1 1 m2 2 故m的值是1或2 拓展1 2017 呼和浩特 關于x的一元二次方程x2 a2 2a x a 1 0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù) 則a的值為 A 2B 0C 1D 2或0 B 拓展2 2018 內江 已知關于x的方程ax2 bx 1 0的兩根為x1 1 x2 2 則方程a x 1 2 b x 1 1 0的兩根之和為 1 拓展3 2018 鄂州 已知關于x的方程x2 3k 3 x 2k2 4k 2 0 1 求證 無論k為何值 原方程都有實數(shù)根 2 若該方程的兩實數(shù)根x1 x2為一菱形的兩條對角線之長 且x1x2 2x1 2x2 36 求k的值及該菱形的面積 例6 2018 沂水二模 某快餐店試銷某種套餐 每份套餐的成本為5元 該店每天固定支出費用為600元 不含套餐成本 試銷一段時間后發(fā)現(xiàn) 若每份套餐售價不超過10元 每天可銷售400份 若每份套餐售價超過10元 每提高1元 每天的銷售量就減少40份 為了便于結算 每份套餐的售價x 元 取整數(shù) 用y 元 表示該店每天的利潤 1 若每份套餐售價不超過10元 試寫出y與x的函數(shù)關系式 若要使該店每天的利潤不少于800元 則每份套餐的售價應為多少元 2 該店把每份套餐的售價提高到10元以上 每天的利潤能否達到1560元 若不能 請說明理由 若能 每份套餐的售價應定為多少元時 既能保證利潤又能吸引顧客 解 1 y 400 x 2600 5 x 10 依題意得400 x 2600 800 解得x 8 5 5 x 10 且每份套餐的售價x 元 取整數(shù) 每份套餐的售價應為9元或10元 2 能 依題意可知 每份套餐售價提高到10元以上時 y x 5 400 40 x 10 600 當y 1560時 x 5 400 40 x 10 600 1560 解得x1 11 x2 14 既能保證利潤又能吸引顧客 應取x1 11 即x2 14不符合題意 故每份套餐的售價應定為11元 拓展1一個兩位數(shù) 十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大7 且十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字和的平方等于這個兩位數(shù) 這個兩位數(shù)是 圖8 3 拓展2如圖8 3 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC 16cm AD為BC邊上的高 動點P從點A出發(fā) 沿A D方向以cm s的速度向點D運動 設 ABP的面積為S1 矩形PDFE的面積為S2 運動時間為ts 0 t 8 則t 時 S1 2S2 拓展3 2018 合肥二模 如圖8 4 某餐廳的餐桌桌面是一個面積為0 84m2的矩形 桌面裝有兩個表面為相同正方形的電磁爐 兩個電磁爐之間及與四周的距離均為0 2m 求電磁爐表面的邊長 圖8 4 解 設電磁爐表面的邊長為xm 則矩形桌面的長為 2x 0 6 m 寬為 x 0 4 m 根據(jù)題意得 2x 0 6 x 0 4 0 84 解得x1 0 3 x2 1 舍去 答 電磁爐表面的邊長為0 3m