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1、1數(shù)列的概念數(shù)列的概念收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念概念的引入概念的引入第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限2一、概念的引入一、概念的引入 極限概念是從常量到變量極限概念是從常量到變量,從有限到無限從有限到無限, 即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 極限的思想源遠流長極限的思想源遠流長.莊子莊子(約公元前約公元前355275年年)在在天下篇天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬世不竭萬世不竭”.意思是意思是:一尺長的棍子一尺長的棍子,第一天取其一半第一天取其一半
2、, 第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,這樣永遠也取不完這樣永遠也取不完.數(shù)列的極限數(shù)列的極限 中寫道中寫道:3劉徽劉徽(三世紀(jì)三世紀(jì))的的“割圓術(shù)割圓術(shù)”中說中說:意思是意思是:設(shè)給定半徑為設(shè)給定半徑為1尺的圓尺的圓,從圓內(nèi)接正從圓內(nèi)接正6邊邊形開始形開始,每次把邊數(shù)加倍每次把邊數(shù)加倍,屢次用勾股定理屢次用勾股定理.求出求出正正12邊形、邊形、等等正多邊形的邊長等等正多邊形的邊長,正正24邊形邊形.邊數(shù)越多邊數(shù)越多, 圓內(nèi)接正多邊形越與圓接近圓內(nèi)接正多邊形越與圓接近,最后與最后與圓周重合圓周重合, 則正多邊形周長與圓周長就沒有誤則正多邊
3、形周長與圓周長就沒有誤差了差了.數(shù)列的極限數(shù)列的極限 “割之彌細割之彌細,所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,則與圓周合體則與圓周合體,而無所失矣而無所失矣.”4正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR數(shù)列的極限數(shù)列的極限5如如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n定義定義 按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù),21nxxx簡記為簡記為的的稱為數(shù)列稱為數(shù)列其中其中nnxx通項通項(generalterm),或者或者一般項一般項.,nx數(shù)
4、列的極限數(shù)列的極限二、數(shù)列二、數(shù)列 (sequence of number) 的概念的概念6可看作一動點在數(shù)軸上依次取可看作一動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 數(shù)列的數(shù)列的(兩種兩種)幾何表示法幾何表示法:數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列可看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù)的函數(shù): )(nfxn 整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù)或或下標(biāo)函數(shù)下標(biāo)函數(shù)(1)數(shù)列對應(yīng)著數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)軸上一個點列.數(shù)列的極限數(shù)列的極限7(2) 在平面上在平面上畫出自變量坐標(biāo)軸和因變量坐標(biāo)軸畫出自變量坐標(biāo)軸和因
5、變量坐標(biāo)軸,注注 不可將這串點連成曲線不可將這串點連成曲線.onxn 1 2 3 4則數(shù)列的幾何意義是則數(shù)列的幾何意義是數(shù)列的極限數(shù)列的極限平面上平面上一串分離一串分離的點的點. .8三、數(shù)列極限三、數(shù)列極限的概念的概念.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)研究數(shù)列研究數(shù)列 nnn即即,511,411,311,211, 11 56,43,34,21, 2問題問題當(dāng)當(dāng) 無限增大無限增大時時, 是否是否無限接近無限接近于某一于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?nxn如果是如果是,當(dāng)當(dāng)n無限增大無限增大時時, nx無限接近無限接近于于1.數(shù)列的極限數(shù)列的極限如何確定如何確定?9如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它如何用數(shù)
6、學(xué)語言刻劃它.1 nx1)1)1(1(1 nn1 nx可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,則要看則要看1 nx“無限接近無限接近” 意味著什么意味著什么?|.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)研究數(shù)列研究數(shù)列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.數(shù)列的極限數(shù)列的極限當(dāng)當(dāng)n無限增大無限增大時時, 無限接近無限接近于于1.nx10,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0
7、 給給定定,)1(時時只要只要 Nn.1成成立立有有 nxnxn1|1| 數(shù)列的極限數(shù)列的極限11定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小不論它多么小), 總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)N, 使得對于使得對于 時的一切時的一切Nn ,nx不等式不等式 axn成立成立. 收斂收斂于于a (converge to a) . nx或稱數(shù)列或稱數(shù)列 記為記為,limaxnn 或或).( naxn那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的的極限極限(limit),如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列就說數(shù)列發(fā)散發(fā)散(diverge).數(shù)列的極限數(shù)列的極限12,有有關(guān)關(guān)與與
8、給給定定的的 N注注xn有沒有極限有沒有極限, 一般地說一般地說,是是任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 但是一旦給出之后但是一旦給出之后,它就是確定了它就是確定了;主要看主要看“后面后面”的無窮多項的無窮多項. axn有有,時時當(dāng)當(dāng)Nn , 0 , 0 NN 定義定義 采用采用邏輯符號邏輯符號將將axnn lim的定義可縮寫為的定義可縮寫為:數(shù)列的極限數(shù)列的極限(1)(2)(3)(4)“前面前面” 的有限項不起作用的有限項不起作用,;的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn ;,將越大將越大越小越小 N 13x1x2x2 Nx1 Nx3x數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義 2
9、 a aa,時時當(dāng)當(dāng)Nn 數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理注注需要預(yù)先知道極限值是多少需要預(yù)先知道極限值是多少.和證明極限和證明極限,而不是用來求極限而不是用來求極限, 因為這里因為這里.)(落落在在其其外外個個至至多多只只有有只只有有有有限限個個N數(shù)列的極限數(shù)列的極限 axan)(Nn ),( aUxn axn即即)(Nn ,),(內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點 aaxn14例例. 1)1(lim1 nnnn證證明明1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 nx要要,1 n只只要要 1n或或所以所以,1 N取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1nnn有有. 1)1(
10、lim1 nnnn即即證證1 nx 雖然是可以任意小的正數(shù)雖然是可以任意小的正數(shù),但使用定義證題但使用定義證題時時,對于給定的對于給定的 總暫時認為它是固定的總暫時認為它是固定的,按照這按照這個個 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. , 解不等式解不等式 數(shù)列的極限數(shù)列的極限15例例證明數(shù)列證明數(shù)列 以以 0為為極限極限.）、321(2cos1 nnnxn , 0 證證要使要使02cos10 nnxn由于由于02cos1 nn,1 n只只要要,1 n或或,1 N取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn 有有.02cos1 nn02cos1lim nnn即即 為了簡化解不等式的運算為了簡化解不等式的運算,常
11、常常把常把 作適當(dāng)?shù)胤糯笞鬟m當(dāng)?shù)胤糯?axn . 2cos1 nnn1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 16例例.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).數(shù)列的極限數(shù)列的極限17例例. 10, 0lim qqnn其其中中證證明明證證0 ,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當(dāng)
12、當(dāng)Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 為了使為了使只需使只需使),10( 不妨設(shè)不妨設(shè)數(shù)列的極限數(shù)列的極限181. 有界性有界性如如,1 nnxn數(shù)數(shù)列列nnx2 數(shù)數(shù)列列有界有界;無界無界.定義定義,nx對對數(shù)數(shù)列列若存在正數(shù)若存在正數(shù)M,|成成立立Mxn 數(shù)數(shù)n,恒有恒有稱為無界稱為無界.則稱數(shù)列則稱數(shù)列 有界有界;nx 數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點 都落在都落在nx,MM 閉區(qū)間閉區(qū)間 上上.否則否則,使得一切自然使得一切自然數(shù)列的極限數(shù)列的極限四、四、收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)19定理定理1 1證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取
13、, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則. 11 axan即即有有,max,n則則對對一一切切自自然然數(shù)數(shù) .有界有界故故nx有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件, 推論推論注注收斂收斂的數(shù)列必定有界的數(shù)列必定有界. .數(shù)列的極限數(shù)列的極限無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .不是充分條件不是充分條件.,1 a1 a M記記,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn 皆有皆有202. 唯一性唯一性定理定理2 2證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,;1 axNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時時有有則則當(dāng)當(dāng)Nn |baax
14、bxnn .2 時時僅僅當(dāng)當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.每個每個收斂收斂的數(shù)列只有一個極限的數(shù)列只有一個極限. .)()(axbxnn ,limbxnn 又又數(shù)列的極限數(shù)列的極限才能成立才能成立., 021NN 使得使得21例例.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的數(shù)列數(shù)列證明證明 nnx證證,21 取取, 0 N則則,時時即即當(dāng)當(dāng)Nn 區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩個數(shù)兩個數(shù)無休止地反復(fù)取無休止地反復(fù)取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi).,是有界的是有界的nx數(shù)列的極限數(shù)列的極限21 a21 aa,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,21成立成立有有 axn 反證法反
15、證法假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列nx收斂收斂， 則有唯一極限則有唯一極限a 存在存在. .),21,21( aaxn但卻發(fā)散但卻發(fā)散. .22數(shù)列的極限數(shù)列的極限3. 保號性保號性定理定理3 3 如果如果,limaxnn 且且0 a, 0 N則則,Nn 當(dāng)當(dāng)0 nx有有),0( a).0( nx證證0 a由定義由定義, 02 a ,時時當(dāng)當(dāng)Nn 對對, 0 N,2aaxn 有有 從而從而 nx2aa 2a . 0 推論推論 如果數(shù)列如果數(shù)列 nx從某項起有從某項起有0 nx),0( nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0( a用反證法用反證法23在數(shù)列在數(shù)列 中依次任意抽出中依次任意抽出無窮無窮多
16、項多項: nx,21knnnxxx所構(gòu)成的新數(shù)列所構(gòu)成的新數(shù)列)(21 knnn其其下下標(biāo)標(biāo)knx這里這里 是原數(shù)列中的第是原數(shù)列中的第 項項,kn在子數(shù)列中是在子數(shù)列中是第第k項項,k4. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系間的關(guān)系knx的的nx子數(shù)列子數(shù)列.叫做數(shù)列叫做數(shù)列數(shù)列的極限數(shù)列的極限kn 24*, axkn證證knx是數(shù)列是數(shù)列nx的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列. .若若,limaxnn 則則, 0 ,N ,Nn 當(dāng)當(dāng) axn成立成立. .現(xiàn)取正整數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K,使使,N 于是當(dāng)于是當(dāng) k時時, 有有 knN 從而有從而有由此證明由此證明 .lim
17、axknk *NNx定理定理4 4設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列數(shù)列的極限數(shù)列的極限, 0 正整數(shù)正整數(shù) K, axknKnKKnKnxKnKk 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂于同一極限. .25 由此定理可知由此定理可知,但若已知一個子數(shù)列發(fā)散但若已知一個子數(shù)列發(fā)散, 或有兩個子數(shù)列或有兩個子數(shù)列斂于斂于a .nx12 kx2kx收斂于不同的極限值收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.數(shù)列的極限數(shù)列的極限一般不能斷定原數(shù)列的收斂性一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;還可以證明還可以證明:數(shù)列數(shù)列的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列和偶子數(shù)列均收斂于同一常數(shù)均收斂于同一常數(shù)
18、a 時時,則數(shù)列則數(shù)列nx也收也收僅從某一個子數(shù)列的收斂僅從某一個子數(shù)列的收斂(證明留給做作業(yè)證明留給做作業(yè))26例例 試證數(shù)列試證數(shù)列 不收斂不收斂. ncos證證 因為因為 的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列 ncos不收斂不收斂.收斂于收斂于, 1, 1, 1 而偶子數(shù)列而偶子數(shù)列 , 1, 1, 1 ncos所以數(shù)列所以數(shù)列數(shù)列的極限數(shù)列的極限 收斂于收斂于, 1 , 127數(shù)列數(shù)列數(shù)列極限數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.五、小結(jié)五、小結(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;極限思想極限思想, 精確定義精確定義, 幾何意義幾何意義;有界性有界性, 唯一性唯一性,保號性保號性,28數(shù)列的極限數(shù)列的極限思考題思考題 31 axn, 0 , 0 N“”恒有恒有是數(shù)列是數(shù)列nx收斂于收斂于a的的( ). A. 充分但非必要條件充分但非必要條件B. 必要但非充分條件必要但非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分也非必要條件既非充分也非必要條件(1)C (2).(lim,lim2 nnnnaKa則則若若KA.KB 2.2.KCD. 不確定不確定A,時時當(dāng)當(dāng)Nn 29作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題1-2 (301-2 (30頁頁) ) 2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6. 數(shù)列的極限數(shù)列的極限
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