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2013屆高三年級(jí)第1次月考
數(shù) 學(xué) 試 卷（文）
2011.11
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．已知集合，則=( )
A． B． C． D．
2．已知，且，則=( )
A． B． C． D．
3．若，則函數(shù)的圖像大致是( )
4．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則=( )
A． B． C． D．2
5．設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，，分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足g(x)＋f(x) <0，則當(dāng)a
f(b)g(x) B．f(x)g(a)> f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(b)g(a)
6．過(guò)點(diǎn)（0，1）且與曲線在點(diǎn)（3，2）處的切線垂直的直線的方程為( )
A． B． C． D．
7．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像( )
A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位
C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位
8．下列命題正確的是( )
A．若a2>b2，則a>b B．若>，則abc，則a>b D．若<，則a0，b>0，a，b的等差中項(xiàng)是，且α＝a＋，β＝b＋，則α＋β的最小值為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
11.△ABC中，∠A=60,∠A的平分線AD交邊BC于D，已知AB=3，且，則AD的長(zhǎng)為( )
A．1 B． C． D．3
12．已知變量x、y滿足的約束條件，則的最大值為( )
A．-3 B． C．-5 D．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～-第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13. 在△ABC中，B=中，且,則△ABC的面積是_________.
14. 已知函數(shù)f(x)＝2mx＋4，若在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
15. 已知向量滿足：，且，則向量與的夾角是 _____________.
16. 若等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為，前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為．類似地，請(qǐng)完成下列命題：若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)的積為Tn，則 ．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟
17.(本小題滿分12分)
設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
18. (本小題滿分12分)
已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c．且(b2+c2-a2)tanA=bc．
（1）求角A的大小;
（2）求的值．
19.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)＝2sinxcos2＋cosxsinφ－sinx(0<φ<π)在x＝π處取最小值．
(1)求φ的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C.
20. (本小題滿分12分)
已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是：
θ＝m2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．
(1)如果m＝2，求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．
21. (本小題滿分12分)
已知函數(shù).
（1）當(dāng)且，時(shí)，試用含的式子表示，并討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有零點(diǎn),，且對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)一切滿足|x|≥2的實(shí)數(shù)x有≥0.
①求的表達(dá)式；
②當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).
四、選考題（本小題滿分10分）（請(qǐng)考生在22，23，24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡把所選題目的題號(hào)涂黑）
22．選修4—1：幾何證明選講
D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且不與△ABC
的頂點(diǎn)重合。已知AE的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為,AD、AB的長(zhǎng)
是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。
（1）證明：C、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）若∠A=90，，且，求C、B、D、E所在圓的半徑。
23．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1),傾斜角．
（1）寫出直線的參數(shù)方程；
（2）設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．
24．選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)f(x)＝｜2x－a｜＋a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為{x｜－2≤x≤3}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)n使f（n）≤m－f（－n）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2013屆高三第1次月考數(shù)學(xué)(文科)試題參考答案
一．選擇題：ADBBC AADCD CD
13. 6 14.. m≤－2或m≥1 15. . 16.
17．解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，
由已知，得 ， ……………………………………2分
即， 也即
解得 ………………………………………………………………………5分
故數(shù)列的通項(xiàng)為． ………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴ ， …………8分
又，
∴ 是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列 ……………10分
∴
即． ……………………………………………………………12分
18.解:（1）由已知:
∴ ∴銳角△ABC ∴
（2）原式=
=
=
19． (1)f(x)＝2sinx＋cosxsinφ－sinx
＝sinx＋sinxcosφ＋cosxsinφ－sinx
＝sinxcosφ＋cosxsinφ
＝sin(x＋φ)．
因?yàn)閒(x)在x＝π時(shí)取最小值，
所以sin(π＋φ)＝－1，故sinφ＝1.
又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
因?yàn)閒(A)＝cosA＝，
且A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝.
由正弦定理得sinB＝＝，
又b>a，所以B＝或B＝.
當(dāng)B＝時(shí)，C＝π－A－B＝π－－＝，
當(dāng)B＝時(shí)，C＝π－A－B＝π－－＝.
綜上所述，C＝或C＝.
20．(1)依題意可得5＝22t＋21－t，
即2(2t)2－52t＋2＝0. 亦即(22t－1)(2t－2)＝0，
又∵t≥0，得2t＝2，∴t＝1.
故經(jīng)過(guò)1分鐘該物體的溫度為5攝氏度．
(2)法一：?jiǎn)栴}等價(jià)于m2t＋21－t≥2(t≥0)恒成立．
∵m2t＋21－t＝m2t＋22－t≥2， ?、?
∴只需2≥2，即m≥.
當(dāng)且僅當(dāng)2t＝22－t，
即t＝1時(shí)，①式等號(hào)成立，
∴m的取值范圍是[，＋∞)．
法二：?jiǎn)栴}等價(jià)于m2t＋21－t≥2(t≥0)恒成立，
即m≥21－t－21－2t＝2[2－t－(2－t)2]
＝－2(2－t－)2＋(t≥0)恒成立．
∵t≥0，∴0<2－t≤1，當(dāng)2－t＝，
即t＝1時(shí)，－2(2－t－)2＋有最大值.
∴m的取值范圍是[，＋∞)．
21．解：（1） ………………2分
由，故
時(shí) 由 得的單調(diào)增區(qū)間是，
由 得單調(diào)減區(qū)間是
同理時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間，，單調(diào)減區(qū)間為 …5分
（2）①由（1）及 （i）
又由 有知的零點(diǎn)在內(nèi)，設(shè)，
則，結(jié)合（i）解得， …8分
∴ ………………9分
②又設(shè)，先求與軸在的交點(diǎn)
∵， 由 得
故，在單調(diào)遞增
又，故與軸有唯一交點(diǎn)
即與的圖象在區(qū)間上的唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為為所求 …………13分
22．（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓。
（Ⅱ）m=4, n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5
23.解：（I）直線的參數(shù)方程是．----------------（5分）
（II）因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在直線l上，所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t2,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為．
圓化為直角坐標(biāo)系的方程．
以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到
①
因?yàn)閠1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2．
所以|PA||PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． -----------------（12分）
24.解：（Ⅰ）由得，
∴，即，∴，
∴。┈┈┈┈┈4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
令，
則，
∴的最小值為4，故實(shí)數(shù)的取值范圍是。┈┈┈┈┈10分
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