高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.2 排序不等式課件 新人教B版選修4-5.ppt

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2 2排序不等式 1 了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景 2 了解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理 3 理解排序不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1 排序不等式定義 設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn為b1 b2 bn的任一排列 稱a1b1 a2b2 anbn為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的順序積之和 簡(jiǎn)稱順序和 稱a1bn a2bn 1 anb1為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的反序積之和 簡(jiǎn)稱反序和 稱a1c1 a2c2 ancn為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的亂序積之和 簡(jiǎn)稱亂序和 定理 排序原理 又稱為排序不等式 設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn為b1 b2 bn的任一排列 則有a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 等號(hào)成立 反序和等于順序和 a1 a2 an或b1 b2 bn 排序原理可簡(jiǎn)記作 反序和 亂序和 順序和 名師點(diǎn)撥 1 排序原理是對(duì)不同的兩個(gè)數(shù)組來(lái)研究不同的乘積和的問(wèn)題 能構(gòu)造的和按數(shù)組中的某種 搭配 的順序被分為三種形式 順序和 反序和 亂序和 對(duì)這三種不同的搭配形式只需注重是怎樣的 次序 兩種較為簡(jiǎn)單的是 順與反 而亂序和也就是不按 常理 的順序了 對(duì)于排序原理的記憶 我們只需記住用特殊例子的方法來(lái)說(shuō)大小關(guān)系 2 學(xué)習(xí)排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義 兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào) 同時(shí)增加或同時(shí)減少 時(shí)所得兩兩乘積之和最大 反方向單調(diào) 一增一減 時(shí)所得兩兩乘積之和最小 注意等號(hào)成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列 做一做1 1 已知兩組數(shù)a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 其中a1 2 a2 7 a3 8 a4 9 a5 12 b1 3 b2 4 b3 6 b4 10 b5 11 將bi i 1 2 3 4 5 重新排列記為c1 c2 c3 c4 c5 則a1c1 a2c2 a5c5的最大值和最小值分別是 A 132 6B 304 212C 22 6D 21 36解析 由排序不等式可知 最大值應(yīng)為a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 a5b5 304 最小值為a1b5 a2b4 a3b3 a4b2 a5b1 212 答案 B 做一做1 2 設(shè)a1 a2 a3 0 且a1 a2 a3的任一排列為 A 3B 6C 9D 12 答案 A 2 切比曉夫不等式設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為任意兩組實(shí)數(shù) 上述兩式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an或b1 b2 bn時(shí)成立 做一做2 已知a1 a2 a3 b1 b2 b3 R 且a1 a2 a3 b1 b2 b3 則3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 填 號(hào) 解析 由a1 a2 a3 b1 b2 b3 根據(jù)定理可知 即3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 a3或b1 b2 b3時(shí)等號(hào)成立 答案 1 對(duì)排序不等式的證明如何理解 剖析 在排序不等式的證明中 用到了 探究 猜想 檢驗(yàn) 證明 的思維方法 這是探索新知識(shí) 新問(wèn)題常用到的基本方法 對(duì)于數(shù)組涉及的 排序 及 乘積 的問(wèn)題 又使用了 一一搭配 這樣的描述 這實(shí)質(zhì)上也是使用最接近生活常識(shí)的處理問(wèn)題的方法 所以可以結(jié)合像平時(shí)班級(jí)排隊(duì)等一些常識(shí)的事例來(lái)理解 對(duì)于出現(xiàn)的 逐步調(diào)整比較法 則要引起注意 研究數(shù)組這種帶 順序 的乘積的和的問(wèn)題時(shí) 這種方法對(duì)理解相關(guān)問(wèn)題時(shí)是比較簡(jiǎn)單易懂的 2 排序原理的思想是什么 剖析 在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 常常涉及一些可以比較大小的量 它們之間并沒(méi)有預(yù)先規(guī)定大小順序 那么在解答問(wèn)題時(shí) 我們可以利用排序原理的思想方法 將它們按一定順序排列起來(lái) 繼而利用不等關(guān)系來(lái)解題 因此 對(duì)于排序原理 我們要記住的是處理問(wèn)題的這種思想及方法 同時(shí)要學(xué)會(huì)善于利用這種比較經(jīng)典的結(jié)論來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題 題型一 題型二 題型三 題型四 所證不等式中字母的大小順序已確定的情況 分析 由于題目條件中已明確a b 0 因此可以直接構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組證明 反思可以直接利用a b 0這一條件構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組 用排序不等式證明 題型一 題型二 題型四 題型三 需對(duì)所證不等式中所給的字母順序作出假設(shè)的情況 題型一 題型二 題型四 題型三 反思利用排序原理解答相關(guān)問(wèn)題 必須構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)組 并且要排列出大小順序 因此比較出數(shù)組中各數(shù)間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵 題型一 題型二 題型三 題型四 對(duì)所證不等式中字母的大小順序需要加以討論 例3 若x 0 求證 1 x x2 x2n 2n 1 xn 分析 題目中只給出了x 0 但對(duì)于x 1 x 1沒(méi)有明確 因而需要進(jìn)行分類討論 證明 1 當(dāng)x 1時(shí) 1 x x2 xn 由排序原理 順序和 反序和 得1 1 x x x2 x2 xn xn 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 即1 x2 x4 x2n n 1 xn 因?yàn)閤 x2 xn 1為序列1 x x2 xn的一個(gè)排列 所以再次由排序原理 亂序和 反序和 得1 x x x2 xn 1 xn xn 1 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 得x x3 x2n 1 xn n 1 xn 將 和 相加 得1 x x2 x2n 2n 1 xn 題型一 題型二 題型三 題型四 2 當(dāng)0 x x2 xn 但 仍然成立 于是 也成立 綜合 1 2 可知1 x x2 xn 2n 1 xn 反思在沒(méi)有給定字母大小的情況下 要使用排序不等式 必須限定字母的大小順序 而只有具有對(duì)稱性的式子才可以直接限定字母的大小順序 否則要根據(jù)具體情況分類討論 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 應(yīng)用排序不等式時(shí) 因忽視等號(hào)成立的條件致錯(cuò) 例4 已知a1 a2 a3 b1 b2 b3 1 2 且a1 a2 a3不全相等 b1 b2 b3不全相等 試求式子a1b1 a2b2 a3b3的取值范圍 錯(cuò)解 不妨設(shè)1 a1 a2 a3 2 c1 c2 c3為b1 b2 b3的一個(gè)排列 且1 c1 c2 c3 2 則a1c3 a2c2 a3c1 a1b1 a2b2 a3b3 a1c1 a2c2 a3c3 3 a1b1 a2b2 a3b3 12 a1b1 a2b2 a3b3的取值范圍為 3 12 錯(cuò)因分析 由于a1 a2 a3不全相等 且b1 b2 b3也不全相等 故排序不等式中的等號(hào)不成立 題型一 題型二 題型三 題型四 正解 以上解答同錯(cuò)解中的過(guò)程 3 a1b1 a2b2 a3b3 12 又 a1 a2 a3不全相等 且b1 b2 b3不全相等 等號(hào)不成立 a1b1 a2b2 a3b3的取值范圍為 3 12 123 1設(shè)a b 0 P a3 b3 Q a2b ab2 則P與Q之間的大小關(guān)系是 A P QB P QC P QD P Q答案 B 123 2設(shè)a1 a2 an都是正數(shù) b1 b2 bn是a1 a2 an的任一排列 則 答案 B 123 3車間里有5臺(tái)機(jī)床同時(shí)出了故障 從第1臺(tái)到第5臺(tái)的修復(fù)時(shí)間依次為4min 8min 6min 10min 5min 每臺(tái)機(jī)床停產(chǎn)1min損失5元 如果一次只能修理1臺(tái)機(jī)床 則經(jīng)合理安排損失最少為 元 A 420B 400C 450D 570解析 利用排序原理求得5臺(tái)機(jī)床修復(fù)時(shí)間最少為84min 所以最少損失為84 5 420元 答案 A