2018屆中考數(shù)學(xué) 專題復(fù)習(xí)八 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形試題 浙教版

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1、 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形 教學(xué)準(zhǔn)備 一. 教學(xué)目標(biāo)： （1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。 （2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進(jìn)行計算、解答有關(guān)綜合題。 （3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力 二. 教學(xué)重點、難點： 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點。難點是綜合應(yīng)用這些知識解決問題的能力。 三. 知識要點： 知識點1 三角形的邊、角關(guān)系 ①三角形任何兩邊之和大于第三邊； ②三角形任何兩邊之差小于第三邊； ③三角形三個內(nèi)角的和等于180°； ④三

2、角形三個外角的和等于360°； ⑤三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和； ⑥三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。 知識點2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心 ①三角形的角平分線、中線、高； ②三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等； ③三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等； ④連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。 知識點3 等腰三角形 等腰三角形的識別： ①有兩邊相等的三角形是等腰三角形； ②有兩角相等的三角形是

3、等腰三角形（等角對等邊）； ③三邊相等的三角形是等邊三角形； ④三個角都相等的三角形是等邊三角形； ⑤有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 等腰三角形的性質(zhì)： ①等邊對等角； ②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合； ③等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸； ④等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°。 知識點4 直角三角形 直角三角形的識別： ①有一個角等于90°的三角形是直角三角形； ②有兩個角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。 直角三角形的性質(zhì)

4、： ①直角三角形的兩個銳角互余； ②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； ③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 知識點5 全等三角形 定義、判定、性質(zhì) 知識點6 相似三角形 知識點7 銳角三角函數(shù)與解直角三角形 例題精講 例1. （1）已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。 （2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)。 分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。 解：（1）分兩種情況： ①若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。 ②若腰長為5，底邊長為12，則

5、第三邊長為5。但此時兩邊之和小于第三邊，故不合題意。 因此第三邊長為12。 （2）分兩種情況： ①若頂角為80°，則另兩個內(nèi)角均為底角分別是50°、50°。 ②若底角為80°，則另兩個內(nèi)角分別是80°、20°。 因此這個三角形的另外兩個內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°。 說明：此題運用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。 例2. 已知：如圖，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D為AB邊上的一點，求證：（1）⊿ACE≌⊿BCD，（2）AD＋AE＝DE。 分析：要證⊿ACE≌⊿BCD，已具備AC＝BC，CE

6、＝CD兩個條件，還需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD顯然能證;要證AD＋AE＝DE，需條件∠DAE＝90°，因為∠BAC＝45°，所以只需證∠CAE＝∠B＝45°，由⊿ACE≌⊿BCD能得證。 證明：（1）∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，CE＝CD， ∴⊿ACE≌⊿BCD。 （2）∵⊿ACE≌⊿BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE。 例3. 已知：點P是等邊⊿ABC內(nèi)的一點，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的長。

7、 分析：將⊿BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至⊿BCD，即可證得⊿BPD為等邊三角形，⊿PCD為直角三角形。 解：∵BC＝BA， ∴將⊿BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使BA與BC重合，得⊿BCD，連結(jié)PD。 ∴BD＝BP＝2，PA＝DC?！啜SBPD是等邊三角形?！唷螧PD＝60°。 ∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。 ∴DC＝．∴PA＝DC＝。 【變式】若已知點P是等邊⊿ABC內(nèi)的一點，PA＝，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度數(shù)嗎？請試一試。 例4. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ＝60°，

8、且BQ＝BP，連結(jié)CQ． （1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． （2）若PA：PB：PC＝3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由． 解：（1）把△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ，得到AP＝CQ． （2）連接PQ，則△PBQ是等邊三角形．PQ＝PB，AP＝CQ故CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5，∴△PQC是直角三角形． 點評：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明． 例5. 如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的

9、高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC＋∠DFE＝______． 分析：∠ABC與∠DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解． 解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF， ∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填90°． 點評：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題． 例6. 《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”．一輛小汽車在一條城市街道上由

10、西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點，所用時間為1.5秒． （1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速． 解析：（1）要求該車從A點到B點的速度．只需求出AB的距離， 在△OAC中，OC＝25米．∵∠OAC＝90°－60°＝30°，∴OA＝2CO＝50米 由勾股定理得CA＝＝25（米） 在△OBC中，∠BOC＝30° ∴BC＝OB。 ∴（2BC）2＝BC2＋252 ∴BC＝（米） ∴AB＝AC－BC＝25－＝（米）∴從A到B的速度為÷

11、1.5＝（米/秒） （2）米/秒≈69.3千米/時 ∵69.3千米/時<70千米/時 ∴該車沒有超過限速． 點評：此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用． 例7. 如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同的實線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一實線上；②連結(jié)三個格點，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC．請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等． 簡析：此題的

12、答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“若兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖． 例8. 如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，點D、E在直線BC上運動，設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)． （1）如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）如果∠BAC的度數(shù)為α，∠DAE的度數(shù)為β，當(dāng)α、β滿足怎樣的關(guān)系式時，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由． 解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°，∠ABD＝∠ACE＝1

13、05°． 又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°． 又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°， ∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC， ∴，∴y＝． （2）當(dāng)α、β滿足β－ ＝90°，y＝仍成立． 此時∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α， ∴∠CAE＝∠ADB． 又∵∠ABD＝∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y＝． 點評：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系． 例9. 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF與BD相交于點M． （1）求證：△EDM∽△F

14、BM； （2）若DB＝9，求BM． （1）證明：∵E是AB中點，∴AB＝2BE，AB＝2CD，∴CD＝EB， 又AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形， ∴CB∥DE，∴，∴△EDM∽△FBM． （2）解：△EDM∽△FBM，∴， ∴F是BC中點，DE＝2FB，∴DM＝2BM，∴BM＝DB＝3 例10. 已知△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3且CD＝6。 求（1）AB；（2）AC。 分析：設(shè)AD＝2k，BD＝3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD。通過相似三角形對應(yīng)邊成比例求出其中k的大??；但是如果

15、根據(jù)射影定理，那么就可以直接計算出k的大小。 解：設(shè)AD＝2k，BD＝3k（k >0）。 ∵∠ACB＝90o，CD⊥AB。∴CD2＝AD?BD， ∴62＝2k?3k，∴k＝。∴AB＝。又∵AC2＝AD?AB，∴AC＝。 例11. 已知△ABC中，∠ACB＝90o，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。 求證：（1）△HEF ≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC。 分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EF＝CH，HF＝EC。 要證明三角形相似，從條件中得∠FHE＝∠CHB＝90o，由全等三角形可知，

16、∠HEF＝∠HCB，這樣就可以證明兩個三角形相似。 證明：∵HE⊥BC，HF⊥AC， ∴∠CEH＝∠CFH＝90o。又∵∠ACB＝90o，∴四邊形CEHF是矩形。 ∴EF＝CH，HF＝EC，∠FHE＝90o。 又∵HE＝EH， ∴△HFE ≌△EHC?！唷螲EF＝∠HCB。 ∵∠FHE＝∠CHB＝90o， ∴△HEF∽△HBC。 說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。 例12. 兩個全等的含30o，60o角的三角板ADE和ABC如圖所

17、示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC。試判斷△EMC是什么樣的三角形，并說明理由。 分析：判斷一個三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題：嘗試去證明EM＝MC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：MD＝MB＝MA。連結(jié)M A后，可以證明△MDE≌△MAC。 答：△EMC是等腰直角三角形。 證明：連接AM，由

18、題意得， DE＝AC，AD＝AB，∠DAE＋∠BAC＝90o?！唷螪AB＝90o。 ∴△DAB為等腰直角三角形。 又∵M(jìn)D＝MB， ∴MA＝MD＝MB，AM⊥DB，∠MAD＝∠M AB＝45o。 ∴∠MDE＝∠MAC＝105o，∠DMA＝90o。 ∴△MDE≌△MAC。 ∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC。 又∠DME＋∠EMA＝90o， ∴∠AMC＋∠EMA＝90o。 ∴MC⊥EM。 ∴△EMC是等腰直角三角形。 說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對條件的充分認(rèn)識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)

19、化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個熱點。 課后練習(xí) 1. 如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD． （1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）； （2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明△ABC是等腰三角形． 2. （1）已知如圖①，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60o。 求證：①AC＝BD，②∠APB＝60o。 （

20、2）如圖②，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為______________；∠APB的大小為_____________。 （3）如圖③，在△AOB和△COD中，OA＝kOB，OC＝kOD（k>1），∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_________________；∠APB的大小為_____________。 3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形，請兩位同學(xué)設(shè)計加工方案，甲設(shè)計方案如圖（1），乙設(shè)計的方案如圖（2）。你認(rèn)為哪

21、位同學(xué)設(shè)計的方案較好？試說明理由。（加工損耗忽略，計算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)） 4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為：3.5cm×3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m，若放映機的光源距膠片20cm時，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏？ 5. 如圖，已知∠MON＝90o，等邊三角形ABC的一個頂點A是射線OM上的一定點，頂點B與點O重合，頂點C在∠MON內(nèi)部。 （1）當(dāng)頂點B在射線ON上移動到B1時，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （2）設(shè)AB1與OC交于點Q，AC的延長線與B1C1交于點D。求

22、證：； （3）連結(jié)CC1，試猜想∠ACC1為多少度？并證明你的猜想。 6. 如圖所示，設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心500km的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域． （1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？ （2）若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時間？ 7. （1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，∠CAB＝60°，CD＝，BD＝2，求AC，AB的長． （2）“實驗中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測出∠A＝30°

23、，AC＝40米，BC＝25米，你能求出這塊花園的面積嗎？ （3）某片綠地形狀如圖所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A＝60°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長． 8. 高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB，如圖所示． （1）某一時刻測得大樹AB，教學(xué)樓ED在陽光下的投影長分別是BC＝2.5米，DF＝7.5米，求大樹AB的高度； （2）現(xiàn)有皮尺和高為h米的測角儀，請你設(shè)計另一種測量大樹AB高度的方案，要求： ①在圖中，畫出你設(shè)計的圖形（長度用字母m，n……表示，角度用希臘字母α，β……表示）； ②根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)

24、據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示． 9. 如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時． （1）問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？ （2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈，cos32°≈．） 練習(xí)答案 1. 解：（1）①③或②③ （2）已知①③求證△ABC是等腰三角形． 證：先證△EBO≌△DCO．得OB＝OC，得∠DBC＝∠ECB． ∴∠ABC

25、＝∠ACB．即△ABC是等腰三角形 2. 證明：∵△AOB和△COD為正三角形， ∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝60o，∠COD＝60o。 ∵∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD。 ∴△AOC≌△BOD ，∴AC＝BD。∴∠OAC＝∠OBD， ∴∠APB＝∠AOB＝60o。 （2）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝BD；∠APB的大小為α。 （3）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝kBD；∠APB的大小為180o－α。 3. 解：方案（1）：有題意可知，DE∥BA， 得△CDE∽△CBA?！?； 方案（2）：作BH⊥AC于H。DE∥AC，得△BDE∽

26、△BAC。 ∴?！摺鄨D（1）加工出的正方形面積大。 綜上所得，甲同學(xué)設(shè)計的方案較好。 4. 解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答．：m 5. 解：（1）如圖所示； 證明：（2）∵△AOC與△AB1C1是等邊三角形， ∴∠ACB＝∠AB1D＝60o。 又∵∠CAQ＝∠B1AD，∴△ACQ∽△AB1D； （3）猜想∠ACC1＝90o。 證明：∵△AOC和△AB1C1為正三角形，AO＝AC，AB1＝AC1， ∴∠OAC＝∠C1AB1， ∴∠OAC－∠CAQ＝∠C1AB1－∠CAQ，∴∠OAB1＝∠CAC1。∴△AO

27、 B1 ≌ △AC C1。 ∴∠ACC1＝∠AOB1＝90o。 6. （1）作AM⊥BF可計算AM＝300km<500km，故A城受影響 （2）受影響時間為小時 7. 解：（1）AC＝3，AB＝6 （2）能，分兩種情況，S△ABC＝200－150和S△ABC＝200＋150 （3）延長BC，AD交于E，AD＝400－100，BC＝200－200． 8. 解：連結(jié)AC，EF， （1）∵太陽光線是平行的， ∴AC∥EF，∠ACB＝∠EFD， ∵∠ABC＝∠EDF＝90°， ∴△ABC∽△EDF，∴， ∴AB＝4米 （2）①如圖所示： ②AB＝（mtanα＋h）米． 9. 解：（1）超市以上居民住房采光受影響，由計算知新樓在居民樓上的投影高約11米， 故受影響 （2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：＝20×＝32（米） 11