《高考人教版數學理總復習練習:第七章 立體幾何 課時作業(yè)47 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考人教版數學理總復習練習:第七章 立體幾何 課時作業(yè)47 Word版含解析(11頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、課時作業(yè)47利用空間向量證明空間中的位置關系 1如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側棱PA底面ABCD,且PAAD2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點求證:(1)PB平面EFH;(2)PD平面AHF.證明:建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0)(1)E,H分別是線段AP,AB的中點,PBEH.PB平面EFH,且EH平面EFH,PB平面EFH.(2)(0,2,2),(1,0,0),(0,1,1),0021(2)10,0120(2)00.P
2、DAF,PDAH.又AFAHA,PD平面AHF.2如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14,點D是AB的中點.(1)證明ACBC1;(2)證明AC1平面CDB1.證明:因為直三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長分別為AC3,BC4,AB5,所以ABC為直角三角形,ACBC.所以AC,BC,C1C兩兩垂直如圖,以C為坐標原點,直線CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),D.(1)因為(3,0,0),(0,4,4),所以0,所以AC
3、BC1.(2)設CB1與C1B的交點為E,連接DE,則E(0,2,2),(3,0,4),所以,DEAC1.因為DE平面CDB1,AC1平面CDB1,所以AC1平面CDB1.3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形平面ABC平面AA1C1C,AB3,BC5.(1)求證:AA1平面ABC;(2)證明:在線段BC1上存在點D,使得ADA1B,并求的值證明:(1)因為AA1C1C為正方形,所以AA1AC.因為平面ABC平面AA1C1C,AA1平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB,AA1AC.由題知AB3,B
4、C5,AC4,所以ABAC.如圖,以A為原點建立空間直角坐標系Axyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4)設D(x,y,z)是直線BC1上的一點,且,所以(x,y3,z)(4,3,4),解得x4,y33,z4,所以(4,33,4)由0,(0,3,4),則9250,解得.因為0,1,所以在線段BC1上存在點D,使得ADA1B,此時,.4(2019桂林模擬)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,ABC和A1AC均為60,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求證:BDAA1;(2)在直線CC1上是否存在點P,使BP平面DA1C1,若存在,
5、求出點P的位置,若不存在,請說明理由解:(1)證明:設BD與AC交于點O,則BDAC,連接A1O,在AA1O中,AA12,AO1,A1AO60,A1O2AAAO22AA1AOcos603,AO2A1O2AA,A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD,且平面AA1C1C平面ABCDAC,A1O平面AA1C1C,A1O平面ABCD.以OB,OC,OA1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,)由于(2,0,0),(0,1,),0(2)1000,即BDAA1.(2)假設在直
6、線CC1上存在點P,使BP平面DA1C1,設,P(x,y,z),則(x,y1,z)(0,1,)從而有P(0,1,),(,1,)設平面DA1C1的法向量為n(x1,y1,z1),則又(0,2,0),(,0,),則取n(1,0,1),因為BP平面DA1C1,則n,即n0,得1,即點P在C1C的延長線上,且C1CCP.5如圖1所示,正ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC和BC邊的中點,現將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖2所示(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值;(3)在線段BC上是否存在一點P,使APDE?證明你的
7、結論解:(1)AB平面DEF,理由如下:在ABC中,由E,F分別是AC,BC中點,得EFAB.又AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF.(2)以D為原點,分別以DB,DC,DA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1),F(1,0),易知平面CDF的法向量為(0,0,2),設平面EDF的法向量為n(x,y,z),則即取n(3,3),則cos,n,二面角E-DF-C的余弦值為.(3)存在證明如下:設P(x,y,0),則y20,y.又(x2,y,0),(x,2y,0),(x2)(2y)xy,xy2.把y代入
8、上式得x,P,點P在線段BC上在線段BC上存在點P,使APDE.6如圖(1)所示,在RtABC中,C90,BC3,AC6,D,E分別為AC,AB上的點,且DEBC,DE2,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如圖(2)所示(1)求證:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小;(3)線段BC上是否存在一點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由解:(1)因為ACBC,DEBC,所以DEAC,所以DEA1D,DECD,A1DDCD,所以DE平面A1DC,所以DEA1C.又因為A1CCD,DECDD,所以A1C平面BCDE.(2)以C為坐標原
9、點,建立如圖所示的空間直角坐標系則A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0)設平面A1BE的法向量為n(x,y,z),則n0,n0.又因為(3,0,2),(1,2,0),所以令y1,則x2,z,所以n(2,1,)設CM與平面A1BE所成的角為.因為(0,1,),所以sin|cosn,|.所以CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)線段BC上不存在一點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直理由如下:假設這樣的點P存在,設其坐標為(p,0,0),其中p0,3設平面A1DP的法向量為m(x1,y1,z1),則m0,m0,(0,2,2),(p,2,0),z1y1,x1y1.設y16,則m(3p,6,2),平面A1DP與平面A1BE垂直,則mn0,6p660,p2,0p3,線段BC上不存在一點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直