高考人教版數(shù)學理總復習練習:第七章 立體幾何 課時作業(yè)43 Word版含解析

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1、課時作業(yè)43空間點、直線、平面之間的位置關系1如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的一個圖是(D)解析:A、B、C圖中四點一定共面,D中四點不共面2(2019煙臺質檢)a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個命題中,真命題是(C)A若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面B若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交C若ab,則a,b與c所成的角相等D若ab,bc,則ac解析:若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若ab,bc,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確3若

2、m,n為兩條不重合的直線,為兩個不重合的平面,則下列命題中正確的是(A)若直線m,n都平行于平面,則m,n一定不是相交直線;若直線m,n都垂直于平面,則m,n一定是平行直線;已知平面,互相垂直,且直線m,n也互相垂直,若m,則n;若直線m,n在平面內的射影互相垂直,則mn.A BC D解析:對于,m與n可能平行,可能相交,也可能異面,錯誤;對于,由線面垂直的性質定理可知,m與n一定平行,故正確;對于,還有可能n,n或n與相交,錯誤;對于,把m,n放入正方體中,如圖,取A1B為m,B1C為n,平面ABCD為平面,則m與n在內的射影分別為AB與BC,且ABBC.而m與n所成的角為60,故錯誤4過正

3、方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線l可以作(D)A1條 B2條C3條 D4條解析:如圖,連接體對角線AC1,顯然AC1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對角線,如連接BD1,則BD1與棱BC,BA,BB1所成的角都相等,BB1AA1,BCAD,體對角線BD1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,體對角線A1C,DB1也與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,過A點分別作BD1,A1C,DB1的平行線都滿足題意,故這樣的直線l可以作4條5如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長

4、為2,長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動,點N在正方體的底面ABCD內運動,則MN的中點P的軌跡的面積是(D)A4 BC2 D.解析:連接DN,則MDN為直角三角形,在RtMDN中,MN2,P為MN的中點,連接DP,則DP1,所以點P在以D為球心,半徑R1的球面上,又因為點P只能落在正方體上或其內部,所以點P的軌跡的面積等于該球面面積的,故所求面積S4R2.6在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段AD1上運動,則異面直線CP與BA1所成的角的取值范圍是(D)A0 B0C0 D0解析:連接CD1,CA.A1BD1C,異面直線CP與A1B所成的角即為CP與D1C所成的角AD1C

5、是正三角形,當P與A重合時,所成角最大,為.又P不能與D1重合(此時D1C與A1B平行,不是異面直線),故選D.7如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結論正確的是(A)AA,M,O三點共線 BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面 DB,B1,O,M共面解析:連接A1C1,AC,則A1C1AC,所以A1,C1,C,A四點共面,所以A1C平面ACC1A1,因為MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,因為平面ACC1A1平面AB1D1AO,所以MAO,所以A,M,

6、O三點共線8直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BCCACC1,則BM與AN所成角的余弦值為(C)A. B.C. D.解析:解法一:取BC的中點Q,連接QN,AQ,易知BMQN,則ANQ或其補角的余弦值即為所求,設BCCACC12,則AQ,AN,QN,cosANQ.解法二:以C1為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設BCCACC12,則A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),(1,0,2),(1,1,2),cos,.故選C.9(2019西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,

7、EC的中點,在這個正四面體中,GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60角;DE與MN垂直以上四個命題中,正確命題的序號是.解析:還原成正四面體A-DEF,其中H與N重合,A,B,C三點重合如圖所示易知GH與EF異面,BD與MN異面又GMH為等邊三角形,GH與MN成60角,易證DEAF,MNAF,MNDE.因此正確的序號是.10如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為.解析:取圓柱下底面弧AB的另一中點D,連接C1D,AD,如圖因為C是圓柱下底面弧AB的中點,所以ADBC,所以

8、直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角,因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,所以C1D圓柱下底面,所以C1DAD.因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1DAD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.11如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點. 已知BAC,AB2,AC2,PA2.求:(1)三棱錐P-ABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解:(1)SABC222,三棱錐P-ABC的體積為VSABCPA22.(2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則EDBC,所以ADE是異面直線BC與A

9、D所成的角(或其補角)在ADE中,DE2,AE,AD2,cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.12如圖,已知二面角-MN-的大小為60,菱形ABCD在平面內,A,B兩點在棱MN上,BAD60,E是AB的中點,DO平面,垂足為O.(1)證明:AB平面ODE;(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值解:(1)證明,DO,AB,DOAB.連接BD,由題意知,ABD是正三角形又E是AB的中點,DEAB.而DODED,AB平面ODE.(2)BCAD,BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角,即ADO是異面直線BC與OD所成的角由(1)知,AB平面ODE,所以ABOE.又DEAB,DEO是二

10、面角-MN-的平面角,即DEO60.不妨設AB2,則AD2,易知DE.在RtDOE中,DODEsin60.連接AO,在RtAOD中,cosADO.故異面直線BC與OD所成角的余弦值為.13正四棱錐P-ABCD中,四條側棱長均為2,底面ABCD是正方形,E為PC的中點,若異面直線PA與BE所成的角為45,則該四棱錐的體積是(D)A4 B2C. D.解析:如圖所示,連接AC,BD.設ACBDO,連接PO,OE,O,E分別是AC和PC的中點,OEPA,OEPA1,則BEO或其補角即為異面直線PA與BE所成的角底面ABCD是正方形,BOAC,又POOB,POACO,BO平面PAC,則BOOE,BOE是

11、等腰直角三角形,OBOE1,PO,BC,則四棱錐P-ABCD的體積V()2,故選D.14如圖是三棱錐D-ABC的三視圖,點O在三個視圖中都是所在邊的中點,則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于(A)A. B.C. D.解析:由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖,從A出發(fā)的三條線段AB,AC,AD兩兩垂直且ABAC2,AD1,O是BC的中點,取AC中點E,連接DE,DO,OE,則OE1,又可知AE1,由于OEAB,故DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補角在直角三角形DAE中,DE,由于O是BC的中點,在直角三角形ABC中可以求得AO,在直角三角形DAO中可以求得DO.在三角形DOE中,由余弦定理得

12、cosDOE,故所求異面直線DO與AB所成角的余弦值為,故選A.15如圖,在矩形ABCD中,AB2AD,E為邊AB的中點,將ADE沿直線DE翻折成A1DE.若M為線段A1C的中點,則在ADE翻折過程中,下列四個命題中不正確的是.(填序號)BM是定值;點M在某個球面上運動;存在某個位置,使DEA1C;存在某個位置,使MB平面A1DE.解析:取DC的中點F,連接MF,BF,則MFA1D且MFA1D,F(xiàn)BED且FBED,所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值,所以M是在以B為球心,MB為半徑的球面上,可得正確;由MFA1D與FBED可得平面MBF平面A1DE

13、,可得正確;若存在某個位置,使DEA1C,則因為DE2CE2CD2,即CEDE,因為A1CCEC,則DE平面A1CE,所以DEA1E,與DA1A1E矛盾,故不正確16如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ACBC,2AC2BCCC14,點N為CC1的中點,P為線段AC(包含端點)上一動點,給出以下四個結論:直線BP與直線B1A1為異面直線;P到平面A1B1N的距離是定值;A1P與B1N所成角最小為45;B1P與平面A1PN所成角余弦值的最小值為.其中正確結論的序號為.解析:若P點與A點重合,則BPB1A1,故錯;記P到平面A1B1N的距離為h1,平面三角形A1PN的面積SA1PN在變化,點B

14、1到平面A1PN1的距離h2為定值,又三角形A1B1N的面積SA1B1N為定值,所以VP-A1B1NVB1-A1PN,即SA1B1Nh1SA1PNh2,所以h1不是定值,錯如圖所示,建立空間直角坐標系,A1(0,0,0),P(0,y0,4),B1(2,2,0),N(0,2,2),(0,y0,4),(2,0,2),記A1P與B1N所成角為,則cos(0y02),(cos)max,所以的最小值為45.連接PC1.B1C1平面AA1C1C,則B1PC1即為線面角,tanB1PC1,B1C1為定值,當tanB1PC1最大時,PC1最小,cosB1PC1最小,所以當P與C重合時,(cosB1PC1)min.

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