2017年高考數學二輪專題復習與策略 第1部分 專題2 三角函數、解三角形、平面向量 第9講 三角恒等變換與解三角形專題限時集訓 理

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1、 專題限時集訓(十)　三角恒等變換與解三角形 (建議用時：45分鐘) 1．已知α∈，cos α＝，則tan＝________. －　[由α∈知，sin α<0，所以sin α＝－＝－，tan α＝＝－， 所以tan＝＝－.] 2．已知sin＝，sin＝，則tan x＝________. －7　[由sin＝，sin＝得 sin x＋cos x＝，sin x－cos x＝， 從而sin x＝，cos x＝－，所以tan x＝＝－7.] 3．若θ∈，sin 2θ＝，則sin θ＝________. 　[∵θ∈， ∴2θ∈，故cos 2θ≤0， ∴cos 2θ＝－＝－＝－.

2、 又cos 2θ＝1－2sin2θ， ∴sin2θ＝＝＝， ∴sin θ＝.] 4．在△ABC中，BC＝，AC＝，A＝，則B＝________. 　[由正弦定理可得，＝，即＝，解得sin B＝，因為B＋C＝π－A＝，所以0，而α∈， 所以cos 2α＝－＝－＝－， 所以＝＝＝－.] 7．在△AB

3、C中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積等于________． 　[∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，② 由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.] 8．(2016·無錫期末)已知sin(α－45°)＝－且0°＜α＜90°，則cos 2α的值為________． 　[∵0°＜α＜90°， ∴－45°＜α－45°＜45°. ∴cos(α－45°)＝＝， ∴cos 2α＝sin(90°－2α)＝2sin(45°－α)cos(45°－α)＝

4、.] 9．(2016·蘇州期中)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若tan A＝2tan B，a2－b2＝c，則c＝________. 1　[∵tan A＝2tan B，∴＝， ∴sin Acos B＝2cos Asin B， ∴a·＝2b·， 整理得3a2－3b2＝c2. 又a2－b2＝c， 故c＝c2，解得c＝1或0(舍去)．] 10．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，則△ABC的形狀一定是________三角形． 直角　[因為sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cos Asin B，又s

5、in(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，所以sin Acos B＋cos Asin B＝1，即sin(A＋B)＝1，所以A＋B＝，故三角形為直角三角形．] 11．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，則β＝________. 　[因為0<β<α<，所以0<α－β<，又因為cos α＝，cos(α－β)＝，所以sin α＝，sin(α－β)＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，所以β＝.] 12．在△ABC中，角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，滿足＋

6、≥1，則角A的范圍是________． 　[由＋≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化簡得b2＋c2－a2≥bc，即≥，即cos A≥(0，即

7、的對邊分別是a，b，c，且tan B＝，·＝，則tan B＝________. 2－　[由題意得，·＝||·||cos B＝accos B＝，即cos B＝， 由余弦定理，得cos B＝＝?a2＋c2－b2＝1， 所以tan B＝＝2－.] 15．(2016·鹽城三模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足b2－a2＝ac，則－的取值范圍是________． 　[∵b2－a2＝ac，∴b2＝a2＋ac. 又b2＝a2＋c2－2accos B， ∴a2＋ac＝a2＋c2－2accos B， ∴c＝2acos B＋a， ∴sin C＝2

8、sin Acos B＋sin A， ∴sin(A＋B)＝2sin Acos B＋sin A， ∴sin(B－A)＝sin A， ∵△ABC為銳角三角形， ∴B－A＝A，即B＝2A. 由可得＜A＜，＜B＜. ∴－＝－ ＝ ＝＝∈.] 16．(2016·江蘇高考)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是________． 8　[在銳角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等號兩邊同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. ∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.① ∵A，B，C均為銳角， ∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1， 由①得tan Btan C＝. 又由tan Btan C>1得>1，∴tan A>2. ∴tan Atan Btan C＝ ＝ ＝(tan A－2)＋＋4≥2＋4＝8，當且僅當tan A－2＝，即tan A＝4時取得等號． 故tan Atan Btan C的最小值為8.] 5