高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 1 歸納與類比 1.2 類比推理課件 北師大版選修1-2.ppt

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1 2類比推理 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 1 兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征 在此基礎(chǔ)上 根據(jù)一類對(duì)象的其他特征 推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征 我們把這種推理過(guò)程稱為 2 類比推理是兩類事物 之間的推理 即類比推理是由 的推理 3 根據(jù)解決問(wèn)題的需要 可對(duì) 進(jìn)行類比 1 類比推理 類比推理 特征 特殊到特殊 概念 結(jié)論 方法 實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐 經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué) 事實(shí) 結(jié)論 歸納推理與類比推理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別 歸納推理是由特殊到一般的推理 類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由一般到一般的推理 聯(lián)系 在前提為真時(shí) 歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假 1 下面幾種推理是類比推理的是 A 因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180 3 2 四邊形的內(nèi)角和是180 4 2 所以n邊形的內(nèi)角和是180 n 2 B 由平面三角形的性質(zhì) 推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)C 某校高二年級(jí)有20個(gè)班 1班有51位團(tuán)員 2班有53位團(tuán)員 3班有52位團(tuán)員 由此可以推測(cè)各班都超過(guò)50位團(tuán)員D 4能被2整除 6能被2整除 8能被2整除 所以偶數(shù)能被2整除答案 B 2 已知 bn 為等比數(shù)列 b5 2 則b1b2b3 b8b9 29 若 an 為等差數(shù)列 a5 2 則 an 類似的結(jié)論為 A a1a2a3 a9 29B a1 a2 a9 29C a1a2a3 a9 2 9D a1 a2 a9 2 9解析 在等差數(shù)列中 積 變 和 得a1 a2 a9 2 9 答案 D 4 已知在三棱錐S ABC中 SA SB SB SC SA SC 且平面SAB SAC SBC與底面ABC所成角分別為 1 2 3 三側(cè)面 SAB SAC SBC的面積分別為S1 S2 S3 類比三角形中的正弦定理 給出空間情形的一個(gè)猜想 課堂互動(dòng)講義 三角形與四面體有下列共同的性質(zhì) 1 三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形 四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形 2 三角形可以看做平面上一條線段外一點(diǎn)與這條直線段上的各點(diǎn)連線所形成的圖形 四面體可以看做三角形外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形 平面圖形與空間圖形的類比 通過(guò)類比推理 根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫(xiě)下表 思路導(dǎo)引 已知三角形和四面體的 外在 性質(zhì) 合理尋找類比對(duì)象對(duì)二者 內(nèi)在 性質(zhì)進(jìn)行探究 邊聽(tīng)邊記 三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形 三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體的面 即平面的線類比空間的面 三角形的中位線對(duì)應(yīng)四面體的中位面 三角形的內(nèi)角對(duì)應(yīng)四面體的二面角 三角形的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)四面體的內(nèi)切球 具體見(jiàn)下表 1 類比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要 選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象 可以從幾何元素的數(shù)目 位置關(guān)系 度量等方面入手 由平面中相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論 2 平面圖形與空間圖形類比 1 如圖所示 在 ABC中 射影定理可表示為a b cosC c cosB 其中a b c分別為角A B C的對(duì)邊 類比上述定理 寫(xiě)出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想 平面圖形與空間幾何體的類比 類比推理的思維過(guò)程大致為 觀察 比較 聯(lián)想 類推 猜測(cè)新的結(jié)論 該過(guò)程包括兩個(gè)步驟 1 找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性 2 用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì) 從而得出一個(gè)明確的命題 即猜想 說(shuō)明 一般地 如果類比的相似性越多 相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān) 那么類比得出的命題就越可靠 2 在Rt ABC中 若 C 90 則cos2A cos2B 1 試在立體幾何中 給出四面體性質(zhì)的猜想 于是把結(jié)論類比到四面體P A B C 中 我們猜想 三棱錐P A B C 中 若三個(gè)側(cè)面PA B PB C PC A 兩兩互相垂直且分別與底面所成的角為 則cos2 cos2 cos2 1 12分 在等差數(shù)列 an 中 若a10 0 證明等式a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 并類比上述性質(zhì)相應(yīng)的在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 則有等式 成立 定義 定理或性質(zhì)中的類比 規(guī)范解答 在等差數(shù)列 an 中 由a10 0 得a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 a1 a2 an a19 0 4分即a1 a2 an a19 a18 an 1 6分又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a19 a18 an 1 a1 a2 a19 n 8分若a9 0 同理可得a1 a2 an a1 a2 a17 n 相應(yīng)地 類比此性質(zhì)在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 10分可得b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N 12分答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N 1 運(yùn)用類比思想找出項(xiàng)與項(xiàng)的聯(lián)系 應(yīng)用等差 等比數(shù)列的性質(zhì)解題是解決該題的關(guān)鍵 2 等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運(yùn)算和性質(zhì) 一般情況下等差數(shù)列中的和 或差 對(duì)應(yīng)著等比數(shù)列中的積 或商 錯(cuò)因 類比推理是不嚴(yán)格的 所得結(jié)論的正確與否有待用實(shí)踐來(lái)證明 解題時(shí)若直接使用類比所得結(jié)論進(jìn)行推理則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤 錯(cuò)解將方程的同解原理類比到不等式中 忽略了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)別 糾錯(cuò)心得 在運(yùn)用類比推理時(shí) 其一般步驟為 首先 找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性 或一致性 然后 用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì) 從而得出一個(gè)猜想 最后 檢驗(yàn)這個(gè)猜想