高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式高效整合課件 新人教A版選修4-5.ppt

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知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 考綱考情點擊 課標導航 1 本講的內(nèi)容一是數(shù)學歸納法 二是用數(shù)學歸納法證明不等式 主要題型是用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式 不等式 整除問題 幾何命題 數(shù)列中的歸納猜想并證明 以及用貝努利不等式證明一些簡單問題 2 本講的重點是數(shù)學歸納法的概念和證明等式和不等式問題 難點是與數(shù)列結(jié)合的證明題 題型屬于中檔題 與數(shù)列有關(guān)的證明屬于難度題 命題探究 熱點考點例析 開始學習數(shù)學歸納法時 常常會遇到兩個困難 一是數(shù)學歸納法的實質(zhì)不容易理解 二是歸納步驟的證明有時感到難以入手 本部分將對幾種常見的錯誤及歸納步驟證明的基本方法進行討論 進一步理解數(shù)學歸納法的原理 弄清它的實質(zhì) 明確如何正確使用數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法的使用 兩步缺一不可 1 缺第二步不可如果一個命題對于開始的一些正整數(shù)都成立 那么由P k 成立導出P k 1 成立是必然的 因此第二步歸納步驟是流于形式 證與不證似乎一樣 顯然這是不正確的 產(chǎn)生這種錯誤想法的原因在于沒有認識到歸納步驟所起的遞推作用 如果沒有遞推性 那么一個命題可能對于開始的許多正整數(shù)都成立 但是一般的并不成立 2 缺第一步也不可數(shù)學歸納法的第二步歸納步驟中有遞推作用 而且k又可以任意取值 這樣就夠了 有沒有第一步無關(guān)緊要 這種認識也是錯誤的 它忽視了第一步的奠基作用 因此如果沒有P 1 成立 歸納假設(shè)P k 成立就沒有了依據(jù) 因此遞推性也就成了無源之水 不要奠基步驟 我們來證明 n 1 2 n 2 2一定是偶數(shù) n N 解析 假設(shè)n k時命題成立 即 k 1 2 k 2 2是偶數(shù) 當n k 1時 k 1 1 2 k 1 2 2 k 2 2 k 1 2 4 k 1 4 k 1 2 k 2 2 4 k 2 由假設(shè) k 1 2 k 2 2是偶數(shù) 又4 k 2 也是偶數(shù) 所以上式是偶數(shù) 這就是說n k 1時命題也成立 由此 對于任意的正整數(shù)n n 1 2 n 2 2一定是偶數(shù) 技巧歸納 這個結(jié)論顯然是錯誤的 原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟 實際上 n 1時 1 1 2 1 2 2 4 9 13不是偶數(shù) 這說明使用數(shù)學歸納法時缺第一步不可 在使用數(shù)學歸納法證明時 一般說來 第一步驗證比較簡明 而第二步歸納步驟情況較復雜 因此 熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的 其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題 歸納假設(shè) P k 是問題的條件 而命題P k 1 成立就是所要證明的結(jié)論 因此 合理運用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵 下面簡要分析一些常用技巧 1 分析綜合法用數(shù)學歸納假設(shè)證明關(guān)于自然數(shù)n的不等式 從 P k 到 P k 1 常?？捎梅治鼍C合法 數(shù)學歸納法證題的常用技巧 方法技巧 在第二步的證明中 利用了分析法 思維導引 利用數(shù)學歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮 湊假設(shè) 湊結(jié)論 但要注意從n k變化到n k 1時增了多少項 少了多少項 一般用f k 1 f k 來研究增加或減少的項的多少 3 遞推法用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時 有時要利用an與an 1的關(guān)系 實現(xiàn)從 n k 到 n k 1 的過渡 方法技巧 利用數(shù)學歸納法證明幾何問題 關(guān)鍵是找出由n k到n k 1時的增量 5 湊成法用數(shù)學歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題 尤其是整除 時 從 k 過渡到 k 1 常常用湊成法 由假設(shè)可知3 62k 3k 2 3k 是11的倍數(shù) 而33 62k也是11的倍數(shù) 即n k 1時 原命題成立 由 1 2 可知 對任意n N 原命題成立 方法技巧 利用數(shù)學歸納法證明等式或整除問題 關(guān)鍵是利用 加 減 項 拆 并 項等恒等變形的方法 去 湊 假設(shè) 湊 結(jié)論 1 特殊與一般思想人們對一類新事物的認識往往是從這類事物中的個體開始的 通過對某些個體的認識與研究 逐漸積累對這類事物的了解 逐漸形成對這類事物總體的認識 發(fā)現(xiàn)特點 掌握規(guī)律 形成共識 由淺入深 由現(xiàn)象到本質(zhì) 由局部到整體 這種認識事物的過程是由特殊到一般的認識過程 這種由特殊到一般 由一般到特殊的研究數(shù)學問題的思想 就是數(shù)學研究中的特殊與一般思想 本章的許多問題都是從特殊開始 通過歸納總結(jié)得出結(jié)論 然后再用數(shù)學歸納法證明 數(shù)學歸納法中的數(shù)學思想 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣 如右圖所示 按照以上排列的規(guī)律 第n行 n 3 從左向右的第3個數(shù)為 思維導引 觀察數(shù)陣知 從上到下是自然數(shù)列1 2 3 n 第n行的第一個數(shù)是前n 1行正整數(shù)的個數(shù)加1 方法技巧 此類問題解決的方法是通過觀察 比較 分析 總結(jié) 運用歸納 類比推理獲得結(jié)論 最后證明結(jié)論正確 簡言之 歸納 猜想 數(shù)學歸納法 2 分類討論的思想方法所謂分類討論 就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時 就需要對研究對象按某個標準分類 然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論 最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答 實質(zhì)上 分類討論是 化整為零 各個擊破 再積零為整 的數(shù)學策略 本章中利用數(shù)學歸納法證明某些條件不等式問題時 常進行分類討論 因為a1 1 a2 1所以 a1 1 a2 1 0 即a1 a2 a1a2 1成立 由 得 所以當n k 1時 命題成立 由 1 2 可知 對一切正整數(shù)n 如果n n為正整數(shù) 個正數(shù)a1 a2 an的乘積a1a2 an 1 那么它們的和a1 a2 an n 方法技巧 為了能夠利用歸納假設(shè) 把乘積看作一個數(shù)處理 這就是數(shù)學中的整體思想 希望大家重視