創(chuàng)新方案高考人教版數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)練習(xí):第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)47 Word版含解析

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1、課時(shí)作業(yè)47利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系 1如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA底面ABCD,且PAAD2,E,F(xiàn),H分別是線(xiàn)段PA,PD,AB的中點(diǎn)求證:(1)PB平面EFH;(2)PD平面AHF.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),H(1,0,0)(1)E,H分別是線(xiàn)段AP,AB的中點(diǎn),PBEH.PB平面EFH,且EH平面EFH,PB平面EFH.(2)(0,2,2),(1,0,0),(0,1,1),0021(2)10,0120(2)00.P

2、DAF,PDAH.又AFAHA,PD平面AHF.2如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).(1)證明ACBC1;(2)證明AC1平面CDB1.證明:因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)分別為AC3,BC4,AB5,所以ABC為直角三角形,ACBC.所以AC,BC,C1C兩兩垂直如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),D.(1)因?yàn)?3,0,0),(0,4,4),所以0,所以AC

3、BC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連接DE,則E(0,2,2),(3,0,4),所以,DEAC1.因?yàn)镈E平面CDB1,AC1平面CDB1,所以AC1平面CDB1.3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形平面ABC平面AA1C1C,AB3,BC5.(1)求證:AA1平面ABC;(2)證明:在線(xiàn)段BC1上存在點(diǎn)D,使得ADA1B,并求的值證明:(1)因?yàn)锳A1C1C為正方形,所以AA1AC.因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C,AA1平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線(xiàn)AC,所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB,AA1AC.由題知AB3,B

4、C5,AC4,所以ABAC.如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4)設(shè)D(x,y,z)是直線(xiàn)BC1上的一點(diǎn),且,所以(x,y3,z)(4,3,4),解得x4,y33,z4,所以(4,33,4)由0,(0,3,4),則9250,解得.因?yàn)?,1,所以在線(xiàn)段BC1上存在點(diǎn)D,使得ADA1B,此時(shí),.4(2019桂林模擬)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,ABC和A1AC均為60,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求證:BDAA1;(2)在直線(xiàn)CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP平面DA1C1,若存在,

5、求出點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:(1)證明:設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,則BDAC,連接A1O,在AA1O中,AA12,AO1,A1AO60,A1O2AAAO22AA1AOcos603,AO2A1O2AA,A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD,且平面AA1C1C平面ABCDAC,A1O平面AA1C1C,A1O平面ABCD.以O(shè)B,OC,OA1所在的直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,)由于(2,0,0),(0,1,),0(2)1000,即BDAA1.(2)假設(shè)在直

6、線(xiàn)CC1上存在點(diǎn)P,使BP平面DA1C1,設(shè),P(x,y,z),則(x,y1,z)(0,1,)從而有P(0,1,),(,1,)設(shè)平面DA1C1的法向量為n(x1,y1,z1),則又(0,2,0),(,0,),則取n(1,0,1),因?yàn)锽P平面DA1C1,則n,即n0,得1,即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且C1CCP.5如圖1所示,正ABC的邊長(zhǎng)為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖2所示(1)試判斷直線(xiàn)AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值;(3)在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)P,使APDE?證明你的

7、結(jié)論解:(1)AB平面DEF,理由如下:在ABC中,由E,F(xiàn)分別是AC,BC中點(diǎn),得EFAB.又AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF.(2)以D為原點(diǎn),分別以DB,DC,DA所在直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1),F(xiàn)(1,0),易知平面CDF的法向量為(0,0,2),設(shè)平面EDF的法向量為n(x,y,z),則即取n(3,3),則cos,n,二面角E-DF-C的余弦值為.(3)存在證明如下:設(shè)P(x,y,0),則y20,y.又(x2,y,0),(x,2y,0),(x2)(2y)xy,xy2.把y代入

8、上式得x,P,點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)P,使APDE.6如圖(1)所示,在RtABC中,C90,BC3,AC6,D,E分別為AC,AB上的點(diǎn),且DEBC,DE2,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如圖(2)所示(1)求證:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大??;(3)線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說(shuō)明理由解:(1)因?yàn)锳CBC,DEBC,所以DEAC,所以DEA1D,DECD,A1DDCD,所以DE平面A1DC,所以DEA1C.又因?yàn)锳1CCD,DECDD,所以A1C平面BCDE.(2)以C為坐標(biāo)原

9、點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0)設(shè)平面A1BE的法向量為n(x,y,z),則n0,n0.又因?yàn)?3,0,2),(1,2,0),所以令y1,則x2,z,所以n(2,1,)設(shè)CM與平面A1BE所成的角為.因?yàn)?0,1,),所以sin|cosn,|.所以CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)線(xiàn)段BC上不存在一點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直理由如下:假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在,設(shè)其坐標(biāo)為(p,0,0),其中p0,3設(shè)平面A1DP的法向量為m(x1,y1,z1),則m0,m0,(0,2,2),(p,2,0),z1y1,x1y1.設(shè)y16,則m(3p,6,2),平面A1DP與平面A1BE垂直,則mn0,6p660,p2,0p3,線(xiàn)段BC上不存在一點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直

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