高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 2 數(shù)學(xué)證明課件 北師大版選修1-2.ppt

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2數(shù)學(xué)證明 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 下面推理錯在何處 如果不買彩票 那么就不能中獎 因為你買了彩票 所以你一定中獎 提示 推理規(guī)則不對 小前提與大前提不對應(yīng) 大前提作出的判斷是 不買彩票就不能中獎 小前提對應(yīng)的應(yīng)為 你沒買彩票 結(jié)論 你不可能中獎 1 含義 從一般性的原理出發(fā) 推出 結(jié)論的推理 2 特點 由 的推理 3 一般模式 大前提 小前提 結(jié)論 1 演繹推理 某個特殊情況下的 一般到特殊 三段論 已知的一般原理 所研究的特殊情況 根據(jù)一般的原理 對特殊情況做出的判斷 演繹推理的特點1 演繹的前提是一般性原理 演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的個別 特殊事實 結(jié)論完全蘊涵于前提之中 2 在演繹推理中 前提與結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系 只要前提是真實的 推理的形式是正確的 那么結(jié)論也必定是正確的 因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具 3 演繹推理是一種收斂性的思維方法 它較少有創(chuàng)造性 但卻具有條理清晰 令人信服的論證作用 有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化 大前提 M是P 小前提 S是M 結(jié)論 2 三段論 的常用格式 S是P 三段論 的理解1 三段論中的大前提提供了一個一般性的原理 小前提指出了一種特殊情況 兩個命題結(jié)合起來 揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系 從而得到了第三個命題 結(jié)論 2 三段論推理的結(jié)論正確與否 取決于兩個前提是否正確 推理形式 即S與M的包含關(guān)系 是否正確 特別提醒 運用三段論推理時 常可省略大前提或小前提 對于復(fù)雜的證明 也常把前一個三段論的結(jié)論作為下一個三段論的前提 1 下列說法不正確的個數(shù)為 演繹推理是一般到特殊的推理 演繹推理得到的結(jié)論一定正確 合情推理是演繹推理的前提 演繹推理是合情推理的可靠性 A 3B 2C 1D 0解析 演繹推理的結(jié)論正確與否與前提 推理形式有關(guān) 不一定正確 故 不正確 答案 C 解析 推理的形式正確 但大前提是錯誤的 這是因為對數(shù)函數(shù)y logax 0 a 1 是減函數(shù) 所以得到的結(jié)論是錯誤的 答案 C 3 一切奇數(shù)都不能被2整除 75不能被2整除 所以75是奇數(shù) 把此演繹推理寫成三段論的形式為 大前提 小前提 結(jié)論 解析 由三段論可知 大前提是一般原理 小前提是所研究的特殊情況 結(jié)論是根據(jù)一般的原理 對特殊情況做出的判斷 答案 一切奇數(shù)都不能被2整除75不能被2整除75是奇數(shù) 4 用三段論的形式寫出下列演繹推理 1 若兩角是對頂角 則此兩角相等 所以若兩角不相等 則此兩角不是對頂角 2 三角函數(shù)都是周期函數(shù) y tan 是三角函數(shù) 因此y tan 是周期函數(shù) 3 通項公式an 2n 3的數(shù)列 an 為等差數(shù)列 解析 演繹推理中如果大前提 小前提都是真實的 按照三段論形式推出的結(jié)論必是真實的 因此 演繹推理可以作為嚴(yán)格的推理方法 1 兩個角是對頂角 則兩角相等 大前提 1和 2不相等 小前提 1和 2不是對頂角 結(jié)論 2 三角函數(shù)都是周期函數(shù) 大前提y tan 是三角函數(shù) 小前提y tan 是周期函數(shù) 結(jié)論 3 數(shù)列 an 中 如果當(dāng)n 2時 an an 1為常數(shù) 則 an 為等差數(shù)列 大前提通項公式an 2n 3時 若n 2 則an an 1 2n 3 2 n 1 3 2 常數(shù) 小前提通項公式an 2n 3表示的數(shù)列為等差數(shù)列 結(jié)論 課堂互動講義 將下列演繹推理寫成三段論的形式 1 平行四邊形的對角線互相平分 菱形是平行四邊形 所以菱形的對角線互相平分 2 等腰三角形的兩底角相等 A B是等腰三角形的兩底角 則 A B 3 Rt ABC的內(nèi)角和為180 思路導(dǎo)引 分清演繹推理的 大前提 小前提 結(jié)論 然后按照三段論的形式寫出 把演繹推理寫成三段論 邊聽邊記 1 平行四邊形的對角線互相平分 大前提菱形是平行四邊形 小前提菱形的對角線互相平分 結(jié)論 2 等腰三角形兩底角相等 大前提 A B是等腰三角形的底角 小前提 A B 結(jié)論 3 因為三角形的內(nèi)角和是180 大前提Rt ABC是三角形 小前提所以Rt ABC的內(nèi)角和是180 結(jié)論 用三段論寫推理過程時 關(guān)鍵是明確大 小前提 三段論中的大前提提供了一個一般性的原理 小前提指出了一種特殊情況 兩個命題結(jié)合起來 揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系 有時可省略小前提 有時甚至也可大前提與小前提都省略 在尋找大前提時 可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提 12分 在四邊形ABCD中 AB CD BC AD 如右圖 求證 ABCD為平行四邊形 寫出三段論形式的演繹推理 三段論 在證明幾何問題中的應(yīng)用 1 三段論推理的根據(jù) 從集合的觀點來講 就是 若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P S是M的子集 那么S中所有元素都具有性質(zhì)P 2 在幾何證明題中 每一步實際上都暗含著一般性原理 都可以分析出大前提和小前提 把一般性原理用于特殊情況 從而得到結(jié)論 2 如圖 D E F分別是BC CA AB上的點 BFD A DE BA 求證 ED AF 證明 因為同位角相等 兩條直線平行 大前提 BFD與 A是同位角 且 BFD A 小前提所以FD AE 結(jié)論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 大前提DE BA 且FD AE 小前提所以四邊形AFDE為平行四邊行 結(jié)論因為平行四邊形的對邊相等 大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊 小前提所以ED AF 結(jié)論 定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f x 對任意x y R 有f x y f x y 2f x f y 且f 0 0 求證 f x 是偶函數(shù) 證明 令x y 0 則有f 0 f 0 2f 0 f 0 因為f 0 0 所以f 0 1 令x 0 則有f y f y 2f 0 f y 2f y f y f y 因此 f x 是偶函數(shù) 以上證明結(jié)論 f x 是偶函數(shù) 運用了演繹推理的 三段論 其中大前提是 演繹推理證明代數(shù)問題 解析 觀察本題的證明過程 容易得到思路 通過兩次賦值先求得 f 0 1 再證得 f y f y 從而得到結(jié)論 f x 是偶函數(shù) 所以這個三段論推理的小前提是 f y f y 結(jié)論是 f x 是偶函數(shù) 顯然大前提是 若對于定義域內(nèi)任意一個x 都有f x f x 則f x 是偶函數(shù) 故應(yīng)填 若對于定義域內(nèi)任意一個x 都有f x f x 則f x 是偶函數(shù) 答案 若對于定義域內(nèi)任意一個x 都有f x f x 則f x 是偶函數(shù) 解此類題的關(guān)鍵是透徹理解三段論推理的形式 大前提 小前提 結(jié)論 其中大前提是一個一般性的命題 即證明這個具體問題的理論依據(jù) 錯解 證明 在 ABC中 因為CD AB AC BC 所以AD BD 所以 ACD BCD 錯因 錯解原因在于雖然運用的大前提正確 在同一個三角形內(nèi) 大邊對大角 而AD與BD并不是同一個三角形的兩條邊 即小前提并不成立 所以推理過程錯誤 正解 證明 因為CD AB 所以 ADC BDC 90 所以 A ACD B BCD 90 所以 A B BCD ACD 在 ABC中 因為AC BC 所以 B A 即 A B 0 所以 BCD ACD 0 所以 ACD BCD 糾錯心得 應(yīng)用三段論證明問題時 要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件 小前提 根據(jù)需要引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì) 大前提 并保證每一步的推理都是正確的 嚴(yán)密的 才能得出正確的結(jié)論 常見的解題錯誤 條件理解錯誤 小前提錯 定理引入和應(yīng)用錯誤 大前提錯 推理過程錯誤等