高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 2 數(shù)學(xué)證明課件 北師大版選修12

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1、2數(shù)學(xué)證明課前預(yù)習(xí)學(xué)案 下面推理錯(cuò)在何處？ 如果不買(mǎi)彩票，那么就不能中獎(jiǎng)，因?yàn)槟阗I(mǎi)了彩票，所以你一定中獎(jiǎng) 提示：推理規(guī)則不對(duì)，小前提與大前提不對(duì)應(yīng)，大前提作出的判斷是“不買(mǎi)彩票就不能中獎(jiǎng)”，小前提對(duì)應(yīng)的應(yīng)為“你沒(méi)買(mǎi)彩票”，結(jié)論“你不可能中獎(jiǎng)” (1)含義：從一般性的原理出發(fā)，推出_結(jié)論的推理 (2)特點(diǎn)：由_的推理 (3)一般模式：_ 大前提：_ 小前提：_ 結(jié)論：_1演繹推理某個(gè)特殊情況下的一般到特殊三段論已知的一般原理所研究的特殊情況根據(jù)一般的原理，對(duì)特殊情況做出的判斷演繹推理的特點(diǎn) 1演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中 2在演繹

2、推理中，前提與結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具 3演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少有創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化 大前提：M是P. 小前提：S是M. 結(jié)論：_.2“三段論”的常用格式S是P“三段論”的理解 1三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái)，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個(gè)命題結(jié)論 2三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個(gè)前提是否正確，推理形式(即S與M的包含關(guān)系)是否正確 特別提醒運(yùn)用三段

3、論推理時(shí)，常可省略大前提或小前提，對(duì)于復(fù)雜的證明，也常把前一個(gè)三段論的結(jié)論作為下一個(gè)三段論的前提 1下列說(shuō)法不正確的個(gè)數(shù)為() 演繹推理是一般到特殊的推理；演繹推理得到的結(jié)論一定正確；合情推理是演繹推理的前提，演繹推理是合情推理的可靠性 A3 B2 C1D0 解析：演繹推理的結(jié)論正確與否與前提、推理形式有關(guān)，不一定正確，故不正確 答案：C 解析：推理的形式正確，但大前提是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax(0a1)是減函數(shù)，所以得到的結(jié)論是錯(cuò)誤的 答案：C 3“一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)”把此演繹推理寫(xiě)成三段論的形式為： 大前提_； 小前提_； 結(jié)論_ 解析：由

4、三段論可知：大前提是一般原理；小前提是所研究的特殊情況；結(jié)論是根據(jù)一般的原理，對(duì)特殊情況做出的判斷 答案：一切奇數(shù)都不能被2整除75不能被2整除75是奇數(shù) 4用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理 (1)若兩角是對(duì)頂角，則此兩角相等所以若兩角不相等，則此兩角不是對(duì)頂角 (2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，ytan 是三角函數(shù)，因此ytan 是周期函數(shù) (3)通項(xiàng)公式an2n3的數(shù)列an為等差數(shù)列 解析：演繹推理中如果大前提、小前提都是真實(shí)的，按照三段論形式推出的結(jié)論必是真實(shí)的，因此，演繹推理可以作為嚴(yán)格的推理方法 (1)兩個(gè)角是對(duì)頂角，則兩角相等大前提 1和2不相等小前提 1和2不是對(duì)頂角結(jié)論 (2)三角函數(shù)

5、都是周期函數(shù)大前提 ytan 是三角函數(shù)小前提 ytan 是周期函數(shù)結(jié)論 (3)數(shù)列an中，如果當(dāng)n2時(shí)，anan1為常數(shù)，則an為等差數(shù)列大前提 通項(xiàng)公式an2n3時(shí)，若n2. 則anan12n32(n1)32(常數(shù))小前提 通項(xiàng)公式an2n3表示的數(shù)列為等差數(shù)列結(jié)論課堂互動(dòng)講義將下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式 (1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分 (2)等腰三角形的兩底角相等，A、B是等腰三角形的兩底角，則AB. (3)RtABC的內(nèi)角和為180. 思路導(dǎo)引 分清演繹推理的“大前提”、“小前提”、“結(jié)論”，然后按照三段論的形式寫(xiě)出把演繹推理寫(xiě)成三段論

6、邊聽(tīng)邊記(1)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，大前提 菱形是平行四邊形，小前提 菱形的對(duì)角線互相平分結(jié)論 (2)等腰三角形兩底角相等，大前提 A，B是等腰三角形的底角，小前提 AB.結(jié)論 (3)因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180，大前提 RtABC是三角形，小前提 所以RtABC的內(nèi)角和是180.結(jié)論 用三段論寫(xiě)推理過(guò)程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái)，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可大前提與小前提都省略，在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提(12分)在四邊形ABCD中，ABCD，

7、BCAD(如右圖)，求證：ABCD為平行四邊形，寫(xiě)出三段論形式的演繹推理“三段論”在證明幾何問(wèn)題中的應(yīng)用 1.三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點(diǎn)來(lái)講，就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P. 2在幾何證明題中，每一步實(shí)際上都暗含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情況，從而得到結(jié)論 2如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，BFDA，DEBA，求證：EDAF. 證明：因?yàn)橥唤窍嗟?，兩條直線平行，大前提 BFD與A是同位角，且BFDA，小前提 所以FDAE.結(jié)論 因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提 DEBA，且

8、FDAE，小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊行結(jié)論 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提 ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，小前提 所以EDAF.結(jié)論定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求證：f(x)是偶函數(shù) 證明：令xy0， 則有f(0)f(0)2f(0)f(0)， 因?yàn)閒(0)0，所以f(0)1， 令x0，則有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)， f(y)f(y) 因此，f(x)是偶函數(shù) 以上證明結(jié)論“f(x)是偶函數(shù)”運(yùn)用了演繹推理的“三段論”，其中大前提是：_.演繹推理證明代數(shù)問(wèn)題 解析：觀察本題的證明過(guò)程

9、，容易得到思路：通過(guò)兩次賦值先求得“f(0)1”，再證得“f(y)f(y)”，從而得到結(jié)論“f(x)是偶函數(shù)”所以這個(gè)三段論推理的小前提是“f(y)f(y)”，結(jié)論是“f(x)是偶函數(shù)”，顯然大前提是“若對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，則f(x)是偶函數(shù)” 故應(yīng)填：若對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，則f(x)是偶函數(shù) 答案：若對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，則f(x)是偶函數(shù) 解此類(lèi)題的關(guān)鍵是透徹理解三段論推理的形式：大前提小前提結(jié)論，其中大前提是一個(gè)一般性的命題，即證明這個(gè)具體問(wèn)題的理論依據(jù) 【錯(cuò)解】證明：在ABC中，因?yàn)镃DAB，ACBC，所以AD

10、BD，所以ACDBCD. 【錯(cuò)因】錯(cuò)解原因在于雖然運(yùn)用的大前提正確：在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角；而AD與BD并不是同一個(gè)三角形的兩條邊，即小前提并不成立，所以推理過(guò)程錯(cuò)誤 【正解】證明：因?yàn)镃DAB， 所以ADCBDC90. 所以AACDBBCD90. 所以ABBCDACD. 在ABC中，因?yàn)锳CBC，所以BA，即AB0， 所以BCDACD0，所以ACDBCD. 【糾錯(cuò)心得】應(yīng)用三段論證明問(wèn)題時(shí)，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件(小前提)，根據(jù)需要引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確的，嚴(yán)密的，才能得出正確的結(jié)論 常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤 條件理解錯(cuò)誤(小前提錯(cuò))； 定理引入和應(yīng)用錯(cuò)誤(大前提錯(cuò))； 推理過(guò)程錯(cuò)誤等