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1、第二輪第二輪 中考題型突破中考題型突破專(zhuān)題五專(zhuān)題五 圖形變換圖形變換【題型題型 1】軸對(duì)稱(chēng)變換型軸對(duì)稱(chēng)變換型【例【例1】如圖，在正方形】如圖，在正方形ABCD 中，中，CD=6，點(diǎn)，點(diǎn) E 在邊在邊CD上，且上，且 CD=3DE將將ADE 沿沿 AE 對(duì)折至對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)延長(zhǎng)EF 交邊交邊 BC 于點(diǎn)于點(diǎn) G，連接，連接 AG，CF（1）求證：求證：ABG AFG； 求求 GC 的長(zhǎng)的長(zhǎng).（2）求）求FGC 的面積的面積思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：（：（1）利用翻折變換對(duì)利用翻折變換對(duì)應(yīng)邊關(guān)系以及根據(jù)應(yīng)邊關(guān)系以及根據(jù)“HL”定理得出定理得出ABG AFG 即可；即可；利用勾股定理得出利用勾股定理得出
2、 GE2=CG2+CE2，進(jìn)而求出，進(jìn)而求出 BG 即可；（即可；（2）首先過(guò)點(diǎn)）首先過(guò)點(diǎn) C 作作 CMGF 于點(diǎn)于點(diǎn) M，由勾股定理以及面積法求得，由勾股定理以及面積法求得FGC的高的高CM，然后利用三角形面積公式求解，然后利用三角形面積公式求解.（1）證明：在正方形證明：在正方形ABCD 中，中， AD=AB=BC=CD，D=B=BCD=90， 將將ADE 沿沿 AE 對(duì)折至對(duì)折至AFE， AD=AF，DE=EF，D=AFE=90 AB=AF，B=AFG=90 又又AG=AG， 在在RtABG和和RtAFG 中，中， RtABG RtAFG（HL） 解：解：CD=3DE，DE=2，CE=
3、4 設(shè)設(shè) BG=x，則，則 CG=6- -x，GE=x+2 GE2=CG2+CE2， (x+2)2=(6- -x)2+42，解得，解得 x=3 CG=6- -3=3，AGAGABAF （2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)）解：如圖，過(guò)點(diǎn) C 作作 CMGF 于點(diǎn)于點(diǎn) M BG=GF=3，CG=3，GE=5， SGCE= CMGE= GCEC 5CM=34 CM=2.4 SFGC= GFCM=3.6121212【題型題型 2】平移變換型平移變換型【例【例2】（】（2015北京市北京市）在正方形）在正方形ABCD 中，中，BD 是一條是一條對(duì)角線，點(diǎn)對(duì)角線，點(diǎn) P 在射線在射線 CD 上（不與點(diǎn)上（不與點(diǎn) C，D
4、 重合），連接重合），連接AP，平移，平移ADP，使點(diǎn)，使點(diǎn) D 移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn) C，得到，得到BCQ，過(guò)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn) Q 作作 QHBD 于點(diǎn)于點(diǎn) H，連接，連接 AH，PH（1）若點(diǎn)）若點(diǎn) P 在線段在線段 CD 上，如圖上，如圖 依題意補(bǔ)全圖；依題意補(bǔ)全圖； 判斷判斷AH與與PH的數(shù)量關(guān)系與位置的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明關(guān)系并加以證明.（2）若點(diǎn)）若點(diǎn) P 在線段在線段 CD 的延長(zhǎng)線上，且的延長(zhǎng)線上，且AHQ=152，正方形，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 1，請(qǐng)寫(xiě)出求請(qǐng)寫(xiě)出求 DP 長(zhǎng)的思路（可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）長(zhǎng)的思路（可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖
5、形即可；根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；連接連接 CH，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出出DHQ 是等腰直角三角形，再由是等腰直角三角形，再由“SAS”定理得出定理得出HDP HQC，故故 PH=CH，HPC=HCP，由正方，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形）根據(jù)四邊形ABCD 是正方形，是正方形，QHBD 可知可知DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性質(zhì)得出是等腰直角三角形，再由平移的性質(zhì)得出 PD=CQ作作HRPC 于點(diǎn)于點(diǎn) R，由，由AHQ=152，可得出，可得出AHB 及及DAH 的度數(shù)，設(shè)的度數(shù)，設(shè) DP=x，則，則 DR=HR=RQ，由銳角三角，由
6、銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論函數(shù)的定義即可得出結(jié)論解解：（：（1）如圖如圖 1如圖如圖 1，連接，連接 CH四邊形四邊形ABCD 是正方形，是正方形，QHBD，HDQ=45DHQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形在在HDP與與HQC中，中，HDP HQC（SSS）PH=CH，HPC=HCPBD 是正方形是正方形ABCD 的對(duì)稱(chēng)軸，的對(duì)稱(chēng)軸，AH=CH，DAH=HCPDAH=HPC.AHP=180- -ADP=90AH=PH，AHPH，DHHQHDPHQCDPQC 圖圖 1圖圖 2（2）如圖）如圖 2，四邊形四邊形ABCD 是正方形，是正方形，QHBD， HDQ=45 DHQ是等腰直角三角形是等
7、腰直角三角形 BCQ 由由ADP 平移而成，平移而成， PD=CQ 作作 HRPC 于點(diǎn)于點(diǎn) R AHQ=152， AHB=62 RCH=DAH=17 設(shè)設(shè) DP=x，則，則 DR=HR=RQ= tan 17= ，即，即 tan 17= ， x= .12x HRCR1212xx 1tan171tan17 【題型題型 3】旋轉(zhuǎn)變換型旋轉(zhuǎn)變換型【例【例3】（】（2014三明市三明市）如圖）如圖 1，在，在 RtABC中，中，ACB=90，AB=10，BC=6，扇形紙片，扇形紙片 DOE 的頂點(diǎn)的頂點(diǎn) O與邊與邊 AB 的中點(diǎn)重合，的中點(diǎn)重合，OD 交交 BC 于點(diǎn)于點(diǎn) F，OE 經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，
8、且，且DOE=B（1）說(shuō)明）說(shuō)明COF 是等腰三角形，并求出是等腰三角形，并求出 CF 的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；（2）將扇形紙片）將扇形紙片 DOE 繞點(diǎn)繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OD，OE 與與邊邊 AC 分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn) M，N（如圖（如圖2），當(dāng)），當(dāng) CM 的長(zhǎng)是多少的長(zhǎng)是多少時(shí)，時(shí)，OMN 與與BCO 相似？相似？思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：（：（1）易證）易證OCB=B，由，由條件條件DOE=B 可得可得OCB=DOE，從而得到從而得到COF 是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)是等腰三角形，過(guò)點(diǎn) F 作作FHOC，垂足為，垂足為H，如圖，如圖 1，由，由等腰三角形的三線合一可求出等腰三角形的三線合一可求出
9、CH，易，易證證CHFBCA，從而可求出，從而可求出 CF 長(zhǎng)長(zhǎng)（2）題中要求）題中要求“OMN 與與BCO 相相似似”，并沒(méi)有指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，故需分情并沒(méi)有指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，故需分情況討論，由于況討論，由于DOE=B，因此，因此OMN 中的點(diǎn)中的點(diǎn) O 與與BCO 中的點(diǎn)中的點(diǎn) B 對(duì)應(yīng)，因而只需分兩種情況討論：對(duì)應(yīng)，因而只需分兩種情況討論：OMNBCO，OMNBOC當(dāng)當(dāng)OMNBCO 時(shí)，可證到時(shí)，可證到AOMACB，從而求出，從而求出 AM長(zhǎng)，長(zhǎng)，進(jìn)而求出進(jìn)而求出 CM 長(zhǎng)；長(zhǎng)；當(dāng)當(dāng)OMNBOC時(shí)，可證到時(shí)，可證到CONACB，從而求出，從而求出 ON，CN 長(zhǎng)然后過(guò)點(diǎn)長(zhǎng)然后過(guò)點(diǎn)M 作作 MGO
10、N，垂足為垂足為 G，如圖，如圖 3，可以求出，可以求出NG并可以證到并可以證到MGNACB，從而求出從而求出 MN長(zhǎng)，進(jìn)而求出長(zhǎng)，進(jìn)而求出 CM 長(zhǎng)長(zhǎng)解：（解：（1）ACB=90，點(diǎn)，點(diǎn) O 是是 AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OC=OB=OA=5OCB=B，ACO=ADOE=B，F(xiàn)OC=FCOFC=FOCOF是等腰三角形是等腰三角形過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) F 作作 FHOC，垂足為，垂足為 H，如圖，如圖1FC=FO，F(xiàn)HOC，CH=OH= ，CHF=90HCF=B，CHF=BCA=90，CHFBCACH= ，AB=10，BC=6，CF= ，即，即 CF 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 525225625.6.CHCFBCAB
11、（2）若若OMNBCO，如圖，如圖 2，則有，則有 NMO=OCB OCB=B， NMO=B A=A， AOMACB ACB=90，AB=10，BC=6， AC=8 AO=5，AC=8，AB=10，AM= CM=AC- -AM=.AOAMACAB 25.47.4若若OMNBOC，如圖，如圖3，則有，則有 MNO=OCB OCB=B，MNO=B ACO=A， CONACB BC=6，AB=10，AC=8，CO=5， ON= ，CN= 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) M 作作 MGON，垂足為，垂足為 G，如圖，如圖3 MNO=B，MON=B， MNO=MONMN=MO MGON，即，即MGN=90，NG=OG= .O
12、NCNCOBCABAC15425.415.8MNG=B， MGN=ACB=90，MGNACBGN= ，BC=6，AB=10，MN= CM=CN- -MN= = 當(dāng)當(dāng) CM 的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 或或 時(shí)，時(shí)，OMN 與與BCO 相似相似.GNMNBCAB 158258252548 25825874【例【例4】（】（2015聊城市聊城市）如圖，在直角坐標(biāo)系中，）如圖，在直角坐標(biāo)系中，RtOAB的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn) A 在在 x 軸上，軸上，OA=4，AB=3動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn)從點(diǎn) A 出發(fā)，出發(fā)，以每秒以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿 AO 向終點(diǎn)向終點(diǎn) O 移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)
13、 N 從點(diǎn)從點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒出發(fā)，以每秒 1.25 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿OB向終向終點(diǎn)點(diǎn) B 移動(dòng)當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了移動(dòng)當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了 x 秒（秒（0 x4）時(shí)，解答下）時(shí)，解答下列問(wèn)題：列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)）求點(diǎn) N 的坐標(biāo)（用含的坐標(biāo)（用含 x 的代數(shù)的代數(shù)式表示）式表示）.（2）設(shè)）設(shè) OMN 的面積是的面積是 S，求，求 S 與與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式當(dāng)之間的函數(shù)表達(dá)式當(dāng) x 為何值時(shí)，為何值時(shí)，S 有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使在某一時(shí)刻，使OMN 是直角三角形？若存
14、在，求出是直角三角形？若存在，求出 x 的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【題型題型 3】綜合變換型綜合變換型思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：（1）由勾股定理求出）由勾股定理求出 OB，作，作 NPOA 于點(diǎn)于點(diǎn)P，則，則 NPAB，得出，得出OPNOAB，得出比例式，得出比例式 ,求出求出 OP，PN，即可得出點(diǎn)，即可得出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）由三角形的面積公式得出）由三角形的面積公式得出 S 是是x 的二次函數(shù)，即可得出的二次函數(shù)，即可得出 S 的最大值；的最大值；（3）分兩種情況：）分兩種情況：若若OMN=90，則，則 MNAB，由平行線得出由平行線得出OMNOAB，得出比例
15、式，即可求出得出比例式，即可求出 x 的值；的值；若若ONM=90，則，則ONM=OAB，證出，證出OMNOBA，得出比例式，求出，得出比例式，求出 x 的值即可的值即可PNOPONABOAOB解：（解：（1）根據(jù)題意得）根據(jù)題意得 MA=x，ON=1.25x，在在 RtOAB 中，由勾股定理得中，由勾股定理得作作 NPOA 于于P，如圖，如圖 1 所示所示.則則 NPAB.OPNOAB. .即即 .解得解得 OP=x，PN= .點(diǎn)點(diǎn) N 的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（x， ）.PNOPONABOAOB2222435.OBOAAB1.25345PNOPx34x34x（2）在）在OMN中，中，OM=4-
16、-x，OM 邊上的高邊上的高 PN= ， S 與與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為之間的函數(shù)表達(dá)式為 （0 x4）. 配方得配方得 0，S 有最大值有最大值. 當(dāng)當(dāng) x=2 時(shí)，時(shí)，S 有最大值，最大值是有最大值，最大值是 .34x211333(4).22482SOM PNxxxx 23382Sxx 233(2).82Sx 38 32（3）存在某一時(shí)刻，使）存在某一時(shí)刻，使OMN 是直角三角形是直角三角形. 理由如下：理由如下： 分兩種情況：分兩種情況：若若OMN=90，如圖，如圖 2 所示，所示， 則則 MNAB. 此時(shí)此時(shí) OM=4- -x，ON=1.25x. MNAB， OMNOAB. 即即 解得解得 x=2.，OMONOAOB 41.25.45xx 若若ONM=90，如圖，如圖 3 所示，則所示，則ONM=OAB. 此時(shí)此時(shí) OM=4- -x，ON=1.25x. ONM=OAB， MON=BOA， OMNOBA. 即即 解得解得 綜上所述：當(dāng)綜上所述：當(dāng)OMN 是直角三角形時(shí)，是直角三角形時(shí)，x 的值是的值是 2 秒或秒或 秒秒，OMONOBOA ，41.2554xx 64.41x 6441
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