新（全國甲卷）高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第4講 導數(shù)的熱點問題課件 文

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1、第4講導數(shù)的熱點問題專題二 函數(shù)與導數(shù) 欄目索引 高考真題體驗1 1 熱點分類突破2 2 高考押題精練3 3(2016課標全國乙)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點(1)求a的取值范圍； 高考真題體驗解析答案解解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個零點設a0，則當x(，1)時，f(x)0，所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增故f(x)存在兩個零點解析答案設a0，由f(x)0得x1或xln(2a)又當x1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點又當x1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點綜上

2、，a的取值范圍為(0，)(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1x22.證明證明不妨設x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1時，g(x)1時，g(x)0，從而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.解析答案22ex2ex22ex2ex利用導數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問題，高考中常與函數(shù)零點、方程根及不等式相結(jié)合，難度較大考情考向分析返回熱點一利用導數(shù)證明不等式用導數(shù)證明不等式是導數(shù)的應用之一，可以間接考查用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力熱點分類突破例

3、1已知函數(shù)f(x)exx2a，xR，曲線yf(x)的圖象在點(0，f(0)處的切線方程為ybx.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；解解根據(jù)題意，得f(x)ex2x，則f(0)1b.由切線方程可得切點坐標為(0,0)，將其代入yf(x)，得a1，故f(x)exx21.解析答案解析答案證明證明令g(x)f(x)x2xexx1.由g(x)ex10，得x0，當x(，0)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增g(x)ming(0)0，f(x)x2x.(2)當xR時，求證：f(x)x2x；解析答案思維升華(3)若f(x)kx對任意的x(0，)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解解f(x)kx對任意的x(0，)恒成立等價于

4、 對任意的x(0，)恒成立思維升華由(2)可知，當x(0，)時，exx10恒成立，令(x)0，得x1；令(x)0，得0 x1.y(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)，(x)min(1)e2，k(x)mine2，實數(shù)k的取值范圍為(，e2)用導數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)，對x1，x2a，b，且x1x2，則f(x1)f(x2)對于減函數(shù)有類似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對xD，則f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(

5、x)，證明F(x)0)令(x)0，則x1，當0 x1時，(x)1時，(x)0，所以(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故(x)在x1處取到極小值也是最小值，故(x)(1)0，解析答案(2)在區(qū)間(1，e)上f(x)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍故h(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，所以h(x)h(1)0.因為h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，熱點二利用導數(shù)討論方程根的個數(shù)方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的走勢，通過數(shù)形結(jié)合思想直觀求解解析答案例2已知函數(shù)f(x)(ax2x1)ex

6、，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，aR.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；解解當a1時，f(x)(x2x1)ex，所以f(x)(x2x1)ex(2x1)ex(x23x)ex，所以曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為kf(1)4e.又因為f(1)e，所以所求切線的方程為ye4e(x1)，即4exy3e0.思維升華解析答案解解當a1時，f(x)(x2x1)ex，f(x)(x2x)ex，所以yf(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1,0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減，解析答案思維升華思維升華因為函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有3個不同的交點，所以f(1)g(0)，(1

7、)函數(shù)yf(x)k的零點問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點問題(2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢思維升華跟蹤演練2已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當a2時，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；解解當a2時，f(x)2ln xx22x，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即2xy10.解析答案解析答案解析答案熱點三利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題生活中的實際問題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來，建立目標問題即關于這個變量的函數(shù)，然后通過研究這個函數(shù)的性質(zhì)，從而找到變量在什

8、么情況下可以達到目標最優(yōu)解析答案例3某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設建造成本僅與表面積有關，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；解解因為蓄水池側(cè)面的總成本為1002rh200rh(元)，底面的總成本為160r2元所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意得200rh160r212 000，思維升華(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大令V(r)0，

9、解得r15，r25(因為r25不在定義域內(nèi)，舍去)當r(0,5)時，V(r)0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8.即當r5，h8時，該蓄水池的體積最大解析答案利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)f(x)(2)求導：求函數(shù)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)作答：回歸實際問題作答思維升華解析答案跟蹤演練3經(jīng)市場調(diào)查，某商品每噸的價格為x(1x14)百元

10、時，該商品的月供給量為y1萬噸， 月需求量為y2萬噸， 當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積因為1x14，所以1x0，得x0，所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)，若該商品的均衡價格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間6,14)上有零點，押題依據(jù) 高考押題精練解析答案(1)當a0時，求曲線 yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；返回解析答案押題依據(jù)押題依據(jù)有關導數(shù)的綜合應用試題多考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)與不等式等基礎知識和基本方法，考查分類整

11、合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學思想方法本題的命制正是根據(jù)這個要求進行的，全面考查了考生綜合求解問題的能力解析答案在(0,2a1)，(1，)上單調(diào)遞增；當2a11，即a0時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當2a11，即a0時，函數(shù)f(x)在(1,2a1)上單調(diào)遞減，在(0,1)，(2a1，)上單調(diào)遞增當2a10，即a- 時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增；解析答案解析答案解析答案即x37x26x0對任意的x1,2恒成立令h(x)x37x26x，x1,2，則h(x)3x214x60恒成立，故函數(shù)h(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以h(x)minh(2)8，只要80即可，即8，故實數(shù)的取值范圍是8，)返回