第一講 集合的概念與運算

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1、 第一講 集合的概念與運算 例題精講 板塊一 元素與子集 元素與子集是集合中最基本的概念.其基本題型如下： 1、 根據給定的集合性質確定某元素是否屬于某集合或確定某待定元數值； 2、 對數集中的元素按某種規(guī)律排序并找出其中某個特定元素； 3、 對某集合中元素按特定運算規(guī)則進行計算 4、 確定滿足某條件的子集個數 基本解題思路有：利用集合的互異性；分類討論或枚舉；對數集的元素排序；反證法等 【例1】 已知, ,且. 求x的所有可能值個數 【例2】 已知數集具有性質：對任意的 ，，與兩數中至少有一個屬于． （Ⅰ）分別判斷數集與是否具有性質

2、，并說明理由； （Ⅱ）證明：，且； 【例3】 已知集合，,，且，則整數對的個數為 （ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【例4】 已知任意的記集合，，將M中的元素按從大到小順序排列，則第2005個數是 A. B. C. D. 【例5】 設，，若，則實數的取值范圍為 （ ） A． B． C． D． 【例6】 已知a為給定的實數，那么集

3、合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的個數為( ) A.1 B.2 C.4 D.不確定 【變式】 一個n元集的子集個數有多少個？非空子集個數有多少個？ 【例7】 對于集合和它的每一個非空子集，定義“交替和”如下： 把集合中的數按從大到小的順序排列，然后從最大的數開始交替地加減各數. 例如：的交替和為，{5}的交替和為5. 對于n=7,求所有這些交替和之和. 板塊二 集合的運算 集合的基本運算包括交并補運算，.其基本題型如下： 1、 給定兩個或多個集合對其做復雜的復合運算，只要先利

4、用函數或解析幾何等相關知識確定原始集合，就可以按部就班地計算出最后結果. 2、 題目中對集合定義某種新運算，要求按新運算來進行計算. 但第一類題型往往要用到很多高中的知識作為基礎，因此放在以后的章節(jié)中逐漸滲透. 【例8】 集合A= ，B= ，求, 【例9】 定義集合運算：，設A={2,0},B={0,8}，則集合的所有元素之和為（） A.16 B.18 C.20 D.22 【例10】 已知集合 對于，，定義A與B的差和距離分別為 （Ⅰ）當n=5時，設，求，； （Ⅱ）證明

5、：，且; (Ⅲ) 證明：三個數中至少有一個是偶數 板塊三 有限集的階 定義：有限集A的元素數目叫做這個集合的階，記作|A|. 注：高考中常記作card(A),本講義中一律寫作|A|. 求集合的階的問題通常與組合相關，特別是求滿足某給定條件的子集的階的最大值問題通常難度很大.這類問題在競賽中變化極多，難以掌握.此處僅舉數例說明，更深層次的問題將在學完組合基礎之后再來學習. 【例11】 設集合 . 【例12】 S是的一個子集，且S中任兩數之差不能為4或7, （1） 證明：原集合中任11個連續(xù)整數中最多有5個能是S中元素. （

6、2） 試求 【例13】 已知A與B是集合{1，2，3，…，100}的兩個子集，滿足：A與B的元素個數相同，且A∩B為空集。若n∈A時總有2n+2∈B，則集合A∪B的元素個數最多為（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 【例14】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有多少個？ 【變式】 已知集合是集合的子集，且對任意，都有，則集合中的元素最多有（ ） （A）67個　　　　（B）68個　　　?。–）69個　　　　?。―）70個 大顯身手 1． 集合M=，N=.M,N的關系為 （A）M

7、=N?。˙）?。–）M為N的真子集?。―）N為M的真子集 2． 設集合A的元素都是正整數，滿足以下條件： (1) A的元素個數不小于3； (2) 若，則a的所有因數都屬于A； (3) 若，1

8、 6． 設集合A=, ,且，，，中所有元素之和為224.求集合A . 7． 設,A是M的子集且滿足條件：當時，，求.若將15換為17,19又如何. 譯者序： 本文譯自澳大利亞數學家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調和分析、 微分方程、 組合數學、 解析數論等領域的大師級的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數學界的最高獎 Fields 獎， 成為該獎項七十年來最年輕的獲獎者之一。 美國數學學會 (AMS) 對 Tao 的評價是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的

9、獨創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點融為一體”。 著名數學家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎得主) 的評價則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 1. 數學品質的諸多方面 我們都認為數學家應該努力創(chuàng)造好數學。 但 “好數學” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數學都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數學” 可以指 (不分先后順序)： 好的數學題解 (比如在一個重要數學問題上的重大突破)； 好的數學技巧

10、(比如對現有方法的精湛運用， 或發(fā)展新的工具)； 好的數學理論 (比如系統性地統一或推廣一系列現有結果的概念框架或符號選擇)； 好的數學洞察 (比如一個重要的概念簡化， 或對一個統一的原理或主題的實現)； 好的數學發(fā)現 (比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數學現象、 關聯或反例的揭示)； 好的數學應用 (比如應用于物理、 工程、 計算機科學、 統計等領域的重要問題， 或將一個數學領域的結果應用于另一個數學領域)； 好的數學展示 (比如對新近數學課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個清晰而合理的論證)； 好的數學教學 (比如能讓他人更有效地學習及研究數學的講義或寫作風格， 或對數學教育的

11、貢獻)； 好的數學遠見 (比如富有成效的長遠計劃或猜想)； 待續(xù) 好的數學品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標)； 好的數學公關 (比如向非數學家或另一個領域的數學家有效地展示數學成就)； 好的元數學 (比如數學基礎、 哲學、 歷史、 學識或實踐方面的進展)； [ 嚴密的數學 (所有細節(jié)都正確、 細致而完整地給出)； 美麗的數學 (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結果)； 優(yōu)美的數學 (比如 Paul E

12、rdos 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結果)； 創(chuàng)造性的數學 (比如本質上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點或各類結果)； 有用的數學 (比如會在某個領域的未來工作中被反復用到的引理或方法)； 強有力的數學 (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結果， 或從一個看起來很弱的假設推出一個強得出乎意料的結論)； 深刻的數學 (比如一個明顯非平凡的結果， 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現象)； 直觀的數學 (比如一個自然的、 容易形象化的論證)； 明確的數學 (比如對某一類型的所有客體的分類； 對一個數學課題的結論)； 其它。 如上所述， 數學品質這一概念是一

13、個高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標準排序[注二]。 我相信這是由于數學本身就是復雜和高維的， 并且會以一種自我調整及難以預料的方式而演化； 上述每種品質都代表了我們作為一個群體增進對數學的理解及運用的不同方式。 至于上述品質的相對重要性或權重， 看來并無普遍的共識。 這部分地是由于技術上的考慮： 一個特定時期的某個數學領域的發(fā)展也許更易于接納一種特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考慮： 任何一個特定的數學領域或學派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數學家。 它同時也反映了數學能力的多樣性： 不同的數學家往往擅長不同的風格， 因而適應不同類型的數學挑戰(zhàn)。 · 學習之外 陶哲軒談什么是好數學 5 高一·聯賽班·第1講·教師版