高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：課時達(dá)標(biāo)檢測三十 數(shù)列的綜合問題 Word版含解析

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1、 課時達(dá)標(biāo)檢測（三十） 數(shù)列的綜合問題 [小題?？碱}點——準(zhǔn)解快解] 1．(20xx·安徽六安一中月考)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝5－n，其前n項和為Sn，將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項，記{bn}的前n項和為Tn.若存在m∈N*，使對任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：選D　依題意得Sn＝＝，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，n＝4,5時，Sn取得最大值為10.另外，根據(jù)通項公式得數(shù)列{an}的前4項為a1＝4，a2＝

2、3，a3＝2，a4＝1，觀察易知抽掉第二項后，余下的三項可組成等比數(shù)列．所以數(shù)列{bn}中，b1＝4，公比q＝，所以Tn＝＝8，所以4≤Tn<8.因為存在m∈N*，對任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故選D. 2．(20xx·北京景山學(xué)校段測)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N*)在直線x－y＋1＝0上，如果函數(shù)f(n)＝＋＋…＋(n∈N*，n≥2)，那么函數(shù)f(n)的最小值為(　　) A. B． C. D． 解析：選C　將點P的坐標(biāo)代入直線方程，得an＋1－an＝1，所以{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n，

3、所以f(n)＝＋＋…＋，f(n＋1)＝＋＋…＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋－>＋－＝0，所以f(n)單調(diào)遞增，故f(n)的最小值為f(2)＝，故選C. 3．(20xx·江西金溪一中月考)據(jù)統(tǒng)計測量，已知某養(yǎng)魚場，第一年魚的質(zhì)量增長率為200%，以后每年的增長率為前一年的一半．若飼養(yǎng)5年后，魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的t倍．下列選項中，與t值最接近的是(　　) A．11 B．13 C．15 D．17 解析：選B　設(shè)魚原來的質(zhì)量為a，飼養(yǎng)n年后魚的質(zhì)量為an，q＝200%＝2，則a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后

4、，魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的12.7倍，故選B. 4．(20xx·湖北襄陽四校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為： 第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.① 第二步：將數(shù)列①的各項乘以，得到一個新數(shù)列a1，a2，a3，…，an. 則a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　) A. B． C. D． 解析：選C　由題意知所得新數(shù)列為1×，×，×，…，×，所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝＝＝＝，故選C. 5．(20xx·遼寧盤錦高中月考)數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝，若不等式＋＋…＋

5、恒成立，則實數(shù)λ的最小值為(　　) A. B． C. D． 解析：選A　因為數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝，所以反復(fù)代入計算可得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，由此可歸納出通項公式an＝，經(jīng)驗證，成立．所以＝1＋＝1＋，所以＋＋…＋＝n＋1＋＝n＋－.因為要求＋＋…＋

6、差數(shù)列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即數(shù)列{yn}的前9項和為9. 7．(20xx·四川成都石室中學(xué)模擬)若f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列(n∈N*)的前n項和為(　　) A. B． C. D． 解析：選A　因為f(x)＝xm＋ax，所以f′(x)＝mxm－1＋a.又因為f′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(n)＝

7、n2＋n＝n(n＋1)，所以＝＝－，所以數(shù)列的前n項和為＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故選A. 8．(20xx·河南新鄉(xiāng)模擬)若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝________. 解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，∵a1＝1，∴an＝. 答案： 9．(20xx·廣東潮州模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝，則b1＋b2＋…＋bn＝________. 解析：由

8、an＝2·3n－1可知數(shù)列{an}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝＝3n－1，則bn＝＝＝－，則b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝－. 答案：－ 10．(20xx·安徽六安一中段測)已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立，數(shù)列{an}滿足an＝f(3n)(n∈N*)，且a1＝3，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：因為an＝f(3n)，所以an＋1＝f(3n＋1)且a1＝3＝f(3)．又因為對于任意的x，y∈R都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立，所以令x＝3n，y＝3，則f(3n＋1

9、)＝3nf(3)＋3f(3n)，所以an＋1＝3an＋3·3n，所以－＝1，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n·3n. 答案：n·3n [大題?？碱}點——穩(wěn)解全解] 1．(20xx·山西八校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，a1＝1，且2a2，a4,3a3成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝2nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)由2a2，a4,3a3成等差數(shù)列可得2a4＝2a2＋3a3， 即2a1q3＝2a1q＋3a1q2， 又q>1，a1＝1，故2q2＝2＋3q， 即2q2－3q

10、－2＝0，得q＝2， 因此數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1. (2)bn＝2n×2n－1＝n×2n， Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.② ①－②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1， －Tn＝－n×2n＋1， Tn＝(n－1)×2n＋1＋2. 2．(20xx·山東高考)已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，

11、n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 解：(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q，由已知得q>0.由題意得所以3q2－5q－2＝0.因為q>0，所以q＝2，x1＝1，因此數(shù)列{xn}的通項公式為xn＝2n－1. (2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn，由題意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(

12、2n＋1)×2n－2.① 又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.② ①－②得－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝＋－(2n＋1)×2n－1. 所以Tn＝. 3．(20xx·河北二市聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中項，若bn＝log2an＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝an＋1＋，求數(shù)列{cn}的前n項和． 解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q>0， 在等比數(shù)列{an}中，由an

13、>0，a1a3＝4得，a2＝2，① 又a3＋1是a2和a4的等差中項， 所以2(a3＋1)＝a2＋a4，② 把①代入②得，2(2q＋1)＝2＋2q2， 解得q＝2或q＝0(舍去)， 所以an＝a2qn－2＝2n－1， 則bn＝log2an＋1＝log22n＝n. (2)由(1)得，cn＝an＋1＋ ＝2n＋ ＝2n＋， 所以數(shù)列{cn}的前n項和Sn＝2＋22＋…＋2n＋ ＝＋ ＝2n＋1－2＋. 4．(20xx·河北定州中學(xué)階段性檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝＋. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋2－an＋，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<2n＋. 解：(1)因為Sn＝＋，① 所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝＋，② 所以由①②兩式相減得an＝Sn－Sn－1＝＋－－＝n＋1. 又因為n＝1時，a1＝S1＝2適合an＝n＋1， 所以an＝n＋1. (2)證明：由(1)知bn＝n＋3－(n＋1)＋ ＝2＋， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝2n＋ ＝2n＋ ＝2n＋－<2n＋.