導(dǎo)數(shù)與積分 (2)

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1、《導(dǎo)數(shù)與積分》單元復(fù)習(xí)總體設(shè)想 導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，并有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富的內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.導(dǎo)數(shù)在新教材中體現(xiàn)了承上啟下的作用:承上是利用導(dǎo)數(shù)可解決必修課中接觸過(guò)的判斷函數(shù)單調(diào)性與求函數(shù)最值的問(wèn)題,提供了解決這種問(wèn)題的一種新方法;啟下是完善了高中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容,使高三學(xué)生具備一般人才必備的基礎(chǔ)知識(shí),也為接下來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)做了必要的鋪墊. 一、考綱解讀 下面是湖北省2014年考試

2、說(shuō)明對(duì)本專題的要求： 內(nèi)容 知識(shí)要求 了解（A） 理解 （B） 掌握 （C） 導(dǎo)數(shù) 及其應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)概念 及其幾何意義 導(dǎo)數(shù)的概念 √ 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 √ 導(dǎo)數(shù)的 運(yùn)算 常見(jiàn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式① √ 常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 √ 求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（僅限理科） √ 導(dǎo)數(shù)在 研究函數(shù) 中的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 √ 函數(shù)的極值、最值 √ 利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題 √ 定積分與微積分基本定理（僅限理科） 定積分的概念 √ 微積分基本定理 √

3、 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 √ 增加 與2013年湖北高考《考試說(shuō)明》對(duì)照比較，在“定積分與微積分基本定理（僅限理科）”中增添了“定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用”，要求層次為了解（A），體現(xiàn)定積分的工具性作用. 命題形式注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念,定積分的概念,微積分基本定理和定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用表示僅要求了解，應(yīng)注意位移,速度,加速度之間的導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系；對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 常見(jiàn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式, 常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則, 求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題要求為理解，導(dǎo)數(shù)是工具，計(jì)算是基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算基本上每年都考,一般不單獨(dú)設(shè)題,大都是在考查導(dǎo)數(shù)

4、應(yīng)用的的同時(shí)考查;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值、最值要求為掌握, 其中涉及轉(zhuǎn)化與化歸,分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想,常見(jiàn)的形式有兩種:一是直接將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于函數(shù)性質(zhì),考查函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值等,二是將導(dǎo)數(shù)與函數(shù),數(shù)列,方程,不等式等聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行綜合考查.屬于高考必考知識(shí)點(diǎn),常以解答題的形式出現(xiàn),作為壓軸題,難度很大. 導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，以近5年（2010年-2014年）湖北高考數(shù)學(xué)理科試題為例，導(dǎo)數(shù)與積分部分考查題型，所占分值及考查內(nèi)容如下表： 選擇題 填空題 解答題 考查內(nèi)容 2010年 T17,12分 T22

5、,14分 考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 2011年 T22,14分 考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用 2012年 T3,5分 T9,5分 T22,14分 考查定積分在求面積中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值, 導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用 2013年 T7,5分 T10,5分 T22,14分 考查定積分在物理中的應(yīng)用, 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件, 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 2014年 T6,5分 T22,14

6、分 考查微積分基本定理的應(yīng)用, 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 簡(jiǎn)要分析: 從以上五個(gè)年份的高考試題的考查分布情況來(lái)看,導(dǎo)數(shù)在高考中的考查可以說(shuō)是全方位的： ①?gòu)目疾橐髞?lái)講，不僅有基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，更有數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查. ②從考查內(nèi)容來(lái)看，它不僅有導(dǎo)數(shù)與積分知識(shí)內(nèi)部的顯性考查，更有與其他主干知識(shí)（函數(shù)，數(shù)列，不等式等）相結(jié)合的隱性考查，綜觀導(dǎo)數(shù)與積分部分的考查內(nèi)容,我們可以發(fā)現(xiàn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極值最值問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用以及定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，都是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容. ③數(shù)學(xué)思想方法：對(duì)函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法的考查在高

7、考試題中也得到了很好的體現(xiàn). 二、復(fù)習(xí)計(jì)劃 根據(jù)新課程改革考綱的要求，我安排《導(dǎo)數(shù)與積分》這一章的復(fù)習(xí)分3部分完成，具體安排如下： 第一部分：導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算. 要求學(xué)生熟練使用求導(dǎo)四則運(yùn)算，能準(zhǔn)確地求出課標(biāo)所要求的基本函數(shù)和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；高考對(duì)這一部分內(nèi)容的考查常以選擇,填空的形式出現(xiàn),有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對(duì)于較復(fù)雜問(wèn)題有很好的效果. 第二部分：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性; 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及函數(shù)的最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)

8、數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性. 第三部分：定積分與微積分基本定理. 通過(guò)實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念,直觀了解微積分基本定理的含義 在復(fù)習(xí)這三部分的過(guò)程中，我會(huì)分三步走： 1、重視課本，讓學(xué)生落實(shí)教材每一節(jié)所講的知識(shí)，重視教材中的例題和習(xí)題，深研教材，發(fā)掘教材中的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識(shí)，并對(duì)不同層次的學(xué)生進(jìn)行不同的要求； 2、精選一些相關(guān)的高考題重點(diǎn)分析、講評(píng)、練習(xí)，為后面教學(xué)提供可行性素材，這也是提高復(fù)習(xí)效率的一種有效途徑，同時(shí)有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)

9、應(yīng)用知識(shí)； 3、由易到難設(shè)置變式訓(xùn)練使學(xué)生思維分層遞進(jìn)，通過(guò)認(rèn)知沖突，分散、突破教學(xué)難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)不足，糾正學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，變“學(xué)會(huì)”為“會(huì)學(xué)”. 《導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用》復(fù)習(xí)案例設(shè)計(jì) 一．教材分析 教材的地位和作用 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”是高中數(shù)學(xué)人教A版教材選修2-2第一章的內(nèi)容，它是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)的銜接點(diǎn).導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為我們解決所學(xué)過(guò)的有關(guān)函數(shù)問(wèn)題提供了一般性方法，是解決實(shí)際問(wèn)題強(qiáng)有力的工具 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生樹(shù)立利用導(dǎo)數(shù)處理問(wèn)題的意識(shí)． 二．教學(xué)目標(biāo)分析 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求， （1）知識(shí)與技能目標(biāo)：能利用導(dǎo)數(shù)解決與切線

10、有關(guān)問(wèn)題，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，不等式恒成立，方程根個(gè)數(shù)等問(wèn)題. （2）過(guò)程與方法目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. （3） 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、勇于探索的良好習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度以及辯證唯物主義的方法論和認(rèn)識(shí)論的滲透. 三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)這一章內(nèi)容且基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)復(fù)習(xí)完的情況下，我們將重點(diǎn)設(shè)為在明確函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系基礎(chǔ)上，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值. 教學(xué)難點(diǎn)：不等式恒成立和方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題. 四、教學(xué)方法： 通過(guò)相同或相似的背景，盡量少的題目，

11、以問(wèn)題串的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，變式教學(xué)———這樣可以讓學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)知識(shí)的系統(tǒng)性與連貫性，從而使學(xué)生能夠抓住問(wèn)題的本質(zhì)，加深對(duì)問(wèn)題的理解，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律； 五、教學(xué)情境設(shè)計(jì) 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)說(shuō)明 知識(shí) 回顧 前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)這一章，知道導(dǎo)數(shù)是一個(gè)很好的工具，這節(jié)課我們一起來(lái)探討一下導(dǎo)數(shù)有哪些應(yīng)用. 1 x x yy y 2 -1 問(wèn)1：設(shè)f’(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y= f’(x)

12、的圖像如圖所示，請(qǐng)你畫(huà)出原函數(shù)y=f(x)的圖像 （接下來(lái)找學(xué)生到黑板前畫(huà)出圖像,鍛煉學(xué)生動(dòng)手能力,） 問(wèn)2：你為什么要這樣畫(huà)，你是怎樣分析的？ 問(wèn)3：那么當(dāng)x=0與x=2時(shí)是原函數(shù)的什么點(diǎn)呢？ 問(wèn)4：那么哪個(gè)是極大值點(diǎn)哪個(gè)是極小值點(diǎn)呢？ 評(píng)注：這里讓做此題的學(xué)生說(shuō)出自己的分析思考過(guò)程，充分體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性. 問(wèn)題設(shè)計(jì)的主要目的： 直接從問(wèn)題入手，以問(wèn)題帶動(dòng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的回憶，學(xué)生在動(dòng)手畫(huà)原函數(shù)的過(guò)程中就在進(jìn)行知識(shí)和信息的整理，讓學(xué)生親自畫(huà)出圖像，能充分調(diào)動(dòng)其參與課堂的積極性,通過(guò)師生的一問(wèn)一答,讓學(xué)生復(fù)習(xí)回顧了

13、函數(shù)的單調(diào)性,極值點(diǎn),極值的定義. 這里動(dòng)手列表格可以讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和極值有更基本和清楚的認(rèn)識(shí)，同時(shí)用手寫(xiě)出表格中的各項(xiàng)可以展現(xiàn)整個(gè)思維過(guò)程，這和用幻燈片直接投影出內(nèi)容相比效果會(huì)更好. 例題 講解 例1． 若函數(shù), 點(diǎn)P(-1,3)是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線的斜率為4，求b,c的值. 變式1.若f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，求b的值. 變式2. 若f(x)在x=1處取得極值, (1)此時(shí)方程f(x)=0有三個(gè)根，求c的取值范圍. (2) 若 例1和變式選題目的： 設(shè)置這個(gè)題目的目的是為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)的幾何意義與曲線的切線相關(guān)，可以解決與切線

14、有關(guān)的幾何問(wèn)題, 變式1的設(shè)置是在例1同樣的背景下，復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性，這是導(dǎo)數(shù)最基本的應(yīng)用之一.在原 題的背景下，層層遞進(jìn)，變式2中3次方程的根的個(gè)數(shù)的討論也和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用密切相關(guān)，只要根據(jù)圖形，求出極大值和極小值之后，再判斷出極大值和極小值與0的關(guān)系.幾何畫(huà)板的演示，使對(duì)方程根的個(gè)數(shù)的情況有了全面認(rèn)識(shí).在上一問(wèn)求出函數(shù)的極大值和極小值后，恒成立問(wèn)題就又深入了一步，需要求函數(shù)的最值，從而函數(shù)最值的求法得以復(fù)習(xí)鞏固. 聚 焦 高 考 、 把 握 難 點(diǎn) 例2（1）【2014陜西高考理】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從

15、距著陸點(diǎn)的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為（ ） A. B. C. D. （2）【2014全國(guó)2高考理】設(shè)函數(shù).若存在的極值點(diǎn)滿足，則m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 通過(guò)真題試做，讓學(xué)生對(duì)這節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容有個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，例2（1）主要是識(shí)圖，觀察出5是這個(gè)函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn). 例2（2）是導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合的一道綜合題,關(guān)鍵是求出函數(shù)的極值點(diǎn),而求極值點(diǎn)需要解一個(gè)三角方程. 選題目的:加強(qiáng)學(xué)生對(duì)極值的認(rèn)識(shí).利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極小值和

16、極大值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn).通過(guò)對(duì)函數(shù)極值的判定,可使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解. 處理過(guò)程：以學(xué)生分析為主，老師組織學(xué)生發(fā)言，協(xié)調(diào)場(chǎng)面，必要的時(shí)候及時(shí)的糾正、引導(dǎo). 聚 焦 高 考 、 把 握 難 點(diǎn) 例3【2013·陜西理】已知函數(shù). (1) 若直線y＝kx＋1與f (x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實(shí)數(shù)k的值; (2) 設(shè)x>0, 討論曲線y＝f (x) 與曲線 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù). (3) 設(shè), 比較與的大小, 并說(shuō)明理由. 例3、選題目的： 該

17、題第一問(wèn)考察函數(shù)的切線問(wèn)題，緊接著第二問(wèn)又考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題,要求學(xué)生能夠比較清晰的分類,做到不重不漏.第三問(wèn)比較大小, 考查函數(shù)的凹凸性，富有明顯的幾何意義，為學(xué)生探索結(jié)論提供了明確的方向，轉(zhuǎn)化為證明不等式恒成立問(wèn)題。利用單調(diào)性證明不等式，關(guān)鍵是如何構(gòu)造函數(shù).如何利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成所需證的不等式.這是一道綜合性很強(qiáng)的高考題.這道題的引入可以提高學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重視，也激發(fā)探究的熱情. 課堂 小結(jié) 1、這節(jié)課復(fù)習(xí)的內(nèi)容是：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 2、這節(jié)課復(fù)習(xí)了函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,分類討論的思想，培養(yǎng)了學(xué)

18、生嚴(yán)密的邏輯思維能力. 處理過(guò)程：讓學(xué)生稍加的整理思維，請(qǐng)學(xué)生代表起來(lái)對(duì)本節(jié)復(fù)習(xí)課的課堂內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)（其他同學(xué)可以補(bǔ)充，或談自己的心得），教師給予學(xué)生充分的肯定和鼓勵(lì). 課后 練習(xí) 核按鈕 思考題：[2013·山東卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，c∈R)． (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值； (2)討論關(guān)于x的方程|ln x|＝f(x)根的個(gè)數(shù)． 讓學(xué)生課后練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)，從而熟練掌握本節(jié)重點(diǎn)，形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力.思考題可以激發(fā)部分學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，起到“跳一跳就可以摘到桃”的功效. 六、教學(xué)反思 在高中階段要求學(xué)

19、生主要掌握利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究曲線的切線,函數(shù)的單調(diào)性(判斷函數(shù)的單調(diào)性,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍等),極值與最值,證明不等式,判斷方程根的個(gè)數(shù)以及解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等,本節(jié)是復(fù)習(xí)課,我力爭(zhēng)通過(guò)這一節(jié)課使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的掌握在深度和廣度上有大的飛躍.課上較注重學(xué)生逆向思維,發(fā)散思維的培養(yǎng). 這堂課能夠抓住導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為主線，通過(guò)設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題的分析，達(dá)到復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的目的. 這節(jié)復(fù)習(xí)課，我希望把課堂的主體留給學(xué)生，通過(guò)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.對(duì)于基礎(chǔ)問(wèn)題的延伸多采用學(xué)生自己編題自己解決，使學(xué)生打好基礎(chǔ)，發(fā)展能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.對(duì)于有難度的問(wèn)題，先讓學(xué)生自主做，再分組討論，通過(guò)探究進(jìn)而解決問(wèn)題. 作為本節(jié)復(fù)習(xí)課的案例設(shè)計(jì)，主要依據(jù)新課標(biāo)高考在導(dǎo)數(shù)與積分部分命題的特點(diǎn)，將重心放在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用上. 在例題的選擇上傾向于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,對(duì)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用沒(méi)有涉及,在下次課上應(yīng)補(bǔ)充完整. 因此在研究命題的基礎(chǔ)上，如何組織使教學(xué)內(nèi)容更豐富、更有效，這也為我以后的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了方向.