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1、
第11講 函數(shù)（三角函數(shù)、數(shù)列函數(shù)）模型及其應用
【知識要點】
一、在現(xiàn)實生活中有許多問題，往往隱含著量與量之間的關系，可通過建立變量之間的函數(shù)關系和對所得函數(shù)的研究，使問題得到解決．
數(shù)學模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學方法；數(shù)學模型則是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時所得出的關于實際問題的數(shù)學描述．
數(shù)學模型來源于實際，它是對實際問題抽象概括加以數(shù)學描述后的產(chǎn)物，它又要回到實際中去檢驗，因此對實際問題有深刻的理解是運用數(shù)學模型方法的前提．
二、函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學
2、模型，不同的變化現(xiàn)象需要用不同的函數(shù)模型來描述，數(shù)學應用題的建模過程就是信息的獲取、存儲、處理、綜合、輸出的過程，熟悉一些基本的數(shù)學模型，有助于提高我們解決實際問題的能力．
三、三角函數(shù)的應用一般是先根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)題意結合三角函數(shù)的圖像和性質分析解答.一般根據(jù)函數(shù)的最值確定和，根據(jù)函數(shù)的最小正周期確定，根據(jù)函數(shù)的最值點確定.
四、數(shù)列的應用主要是從實際生活中抽象出一個等差、等比的數(shù)列問題解答，如果不是等差等比數(shù)列的，要轉化成等差等比數(shù)列的問題來解決.注意數(shù)列的項數(shù).
五、解決實際問題的解題過程
（1）對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關系，確定變量之間
3、的主、被動關系，并用、分別表示問題中的變量；
（2）建立函數(shù)模型：將變量表示為的函數(shù)，在中學數(shù)學內，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；
（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結構特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.
這些步驟用框圖表示：
六、解應用題的一般程序
（1）讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，這一關是基礎；
（2）建：將文字語言轉化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型．熟悉基本數(shù)學模型，正確進行建“模”是關鍵的一關；
（3）解：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論.一要充分注意數(shù)學模型中元素的實
4、際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程；
（4）答：將數(shù)學結論還原給實際問題的結果．
【方法講評】
函數(shù)的模型一
三角函數(shù)模型
解題步驟
先建立對應的三角函數(shù)模型，再解答.
【例1】已知某海濱浴場的海浪高度（單位：米）與時間 （單位：時）的函數(shù)關系記作，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：
(時)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
經(jīng)長期觀測，的曲線可近似地看成是函數(shù).
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)表達式；
（2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高
5、于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結論，判斷一天內的上午8∶00時至晚上20∶00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？
（2）由題知，當時才可對沖浪者開放，∴，
【點評】（1）首先要利用三角函數(shù)的圖像和性質求出三角函數(shù)的表達式，是函數(shù)的振幅，是相位，是初相.一般通過函數(shù)的最值求,通過周期求，通過最值點求.（2）解簡單的三角函數(shù)不等式主要是利用三角函數(shù)的圖像和數(shù)形結合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“”，最后給賦值和實際范圍求交集.
【反饋檢測1】海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠
6、近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天
從0時至24時的時間（單位：時）與水深（單位：米）的關系表：
（1）請選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系；
（2）一條貨輪的吃水深度（船體最低點與水面的距離）為12米，安全條例規(guī)定船體最低點與洋底間隙至少要有1.5米，請問該船何時能進出港口？在港口最多能停留多長時間？
【例2】 某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點，及的中點處，已知，，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形的區(qū)域上（含邊界），且，與等距離的一點處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道，，，設排污管道
7、的總長為．
（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關系式：
①設，將表示成的函數(shù)關系式；
②設，將表示成的函數(shù)關系式．
（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．
（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，
則.
令得，因為，所以，
當時，，是的減函數(shù)；當時，，是的增函數(shù)，所以當=時，．這時點位于線段的中垂線上，且距離邊處．
【點評】（1）本題主要考查根據(jù)實際意義建立函數(shù)模型、三角函數(shù)性質和解決最值問題的基本知識，考查了數(shù)形結合思想和分析問題、轉化求解的能力．（2）對于較復雜的三角函數(shù)的最值，一般利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性從而得到函數(shù)的最值.（3）一般
8、以平面幾何為背景的應用題，多以角為自變量建立三角函數(shù)模型，比以邊為自變量建立函數(shù)模型簡單.
【反饋檢測2】如圖所示，某園林單位準備綠化一塊直徑為的半圓形空地，外的地方種草，的內接正方形為一水池，其余地方種花. 若，，設的面積為，正方形的面積為.
（1）（2）
函數(shù)的模型八
數(shù)列模型
解題步驟
先建立數(shù)列模型，再解答.
【例3 】 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛?
（1）顯然，若，則，即，
9、
此時
要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立， 即
對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 ， 得，
上式恒成立的條件為：，由于關于的函數(shù)單調遞
減，所以，.
【點評】（1）建立數(shù)列模型的關鍵是從已知中找到數(shù)列的遞推關系，，，再根據(jù)遞推關系求出數(shù)列的通項，再研究.（2）解答的關鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉化為函數(shù)的最值問題.
【例4】 廣州市某通訊設備廠為適應市場需求，提高效益，特投入98萬元引進世界先進設備奔騰6號，并馬上投入生產(chǎn)，第一年需要的各種費用是12萬元，從第二年開始，所需費用會比上一年增加4萬元，而每年因引進
10、該設備可獲得的年利潤為50萬元.
（1）引進該設備多少年后，開始盈利？
（2）引進該設備若干年后，有兩種處理方案：
第一種：年平均盈利達到最大值時，以26萬元的價格賣出；
第二種：盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出.問哪種方案較為合算？并說明理由.
【解析】（1）
所以3年后開始盈利.
【點評】（1）建立數(shù)列模型的關鍵是理解數(shù)列函數(shù)的意義，再根據(jù)其意義求出表達式.（2）注意理解“年平均盈利”和“年盈利”的含義，年平均盈利= 年盈利=
【反饋檢測3】某企業(yè)2006年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術改造，預測從2007
11、年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第年（今年為第一年）的利潤為萬元（為正整數(shù)）.（Ⅰ）設從今年起的前年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元，進行技術改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術改造資金），求、的表達式；（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？
高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第11講：
函數(shù)（三角函數(shù)、數(shù)列函數(shù)）模型及其應用參考答案
【反饋訓練1答案】（1）；（2）貨船在1點至5點可以進出港；或13點至17點可以進出港．每次可以在港口最多能停留4小時.
【反饋檢測2答案】（1）；（2）
【反饋檢測2詳細解析】（1），
（2）
【反饋檢測3答案】（1）=，=500－－10；（2）至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.
答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.
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2018年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第11講 函數(shù)（三角函數(shù)、數(shù)列函數(shù)）模型及其應用
