2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第93講 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理

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1、 第93講 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)，引一條射線為叫做極軸，再選定一個(gè)長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.對于平面內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)， ，稱、為點(diǎn)的極徑、極角，有序數(shù)對就叫做的極坐標(biāo). 二、直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.平面內(nèi)任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到： （求點(diǎn)的直角坐標(biāo)的公式），（求點(diǎn)的極坐標(biāo)的公式,求極角時(shí)要先定位后定量）. 表示過原點(diǎn)且傾斜角為的直線, 表示過原點(diǎn)且傾斜角為的向上的射線. 三、參數(shù)方程的定義：一般地，

2、在平面直角坐標(biāo)中，如果曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)，反過來，對于的每個(gè)允許值，由函數(shù)式所確定的點(diǎn)都在曲線上，那么方程叫做曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)是參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的叫普通方程． 四、常見曲線的參數(shù)方程： （1）圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）； （2）橢圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）； （3）雙曲線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）； （4）拋物線參數(shù)方程 為參數(shù)）； （5）過定點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定點(diǎn)上方時(shí),. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定點(diǎn)下方時(shí),. 【方法講評】 方法一 轉(zhuǎn)化法 解題步驟 先把已知條件都化成直角坐標(biāo)，

3、再利用解析幾何的知識(shí)解答. 【例1】【2017課標(biāo)3，理科22】在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C． （1）寫出C的普通方程； （2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)?=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑. 【點(diǎn)評】本題就是轉(zhuǎn)化法解答極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題的典型例子.第2問直接把條件化成直角坐標(biāo)再解答，比較直接，解題效率也比較高. 【反饋檢測1】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極

4、軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線和公共弦的長度． 方法二 用極坐標(biāo)解決解析幾何問題 解題步驟 把已知條件化成極坐標(biāo)，再利用極坐標(biāo)的知識(shí)解答. 【例2】【2017課標(biāo)II，理22】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足,求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值. （2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知, 當(dāng)時(shí)，S取得最大值，所以△OAB面積的最大值為. 【點(diǎn)評】(1)本

5、題的兩問，如果用直角坐標(biāo)來解答，思路難找，計(jì)算量大，解題效率低. 如果用極坐標(biāo)來解答，問題就簡單了很多. (2)怎么聯(lián)想到利用極坐標(biāo)解答呢？因?yàn)橐阎锩嬗行畔?，譬如，?問中，就是點(diǎn)的極徑，就是點(diǎn)的極徑，并且點(diǎn)的極角相同，所以用極坐標(biāo)解答就自然了，所以我們要注意觀察已知的信息. 第2小問的觀察和思維類似. 【反饋檢測2】在直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線為參數(shù)）， 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （1）求曲線的極坐標(biāo)方程； （2）若射線分別交于兩點(diǎn)， 求的最大值． 方法三 用圓錐曲線參數(shù)方程解決解析幾何的問題 解題步驟 先把某些已知條件化成參數(shù)方

6、程，再利用參數(shù)方程的知識(shí)解答. 【例3】【2017課標(biāo)1，理22】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為. （1）若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若上的點(diǎn)到的距離的最大值為，求. 從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，. 【點(diǎn)評】(1)本題就是利用圓錐曲線解決解析幾何問題的典型例子.本題如果把已知條件都化成直角坐標(biāo)再解答，計(jì)算量比較復(fù)雜，解題效率比較低. 但是如果利用圓錐參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)的知識(shí)來解答，計(jì)算量小，解題效率高了很多. (2)圓錐曲線的參數(shù)方程的一個(gè)重要作用就是設(shè)點(diǎn).所以一般情況下，設(shè)點(diǎn)有三種方式，一是利用直角坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)，這是最普遍的一種.二是利用參數(shù)方

7、程設(shè)點(diǎn)，三是利用極坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)，大家要注意靈活選用. 【反饋檢測3】（2016年全國III高考）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為 . （I）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程； （II）設(shè)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo). 方法四 用直線參數(shù)方程解決解析幾何的問題 解題步驟 先把某些已知條件化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程的知識(shí)解答. 【例4】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓

8、的方程為. （1）求圓的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求. 【點(diǎn)評】（1）直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是這樣的：如果點(diǎn)在定點(diǎn)的上方，則點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)就表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離,即.如果點(diǎn)在定點(diǎn)的下方，則點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)就表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的相反數(shù)，即.（2）由 直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得：如果求直線上兩點(diǎn)間的距離,不管兩點(diǎn)在哪里，總有. 【反饋檢測4】在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，點(diǎn)．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系． （1）求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的值．

9、 【反饋檢測5】在直角坐標(biāo)系中，直線過，傾斜角為（）．以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）已知直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且，求直線的斜率． 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第93講： 極坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題的處理參考答案 【反饋檢測1答案】（1）,；（2）. 【反饋檢測2答案】（1）ρ(cosθ＋sinθ)＝4，ρ＝2cosθ；（2）(＋1). 【反饋檢測2詳細(xì)解析】（1）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，C2的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cos

10、θ． （2）設(shè)A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜，則ρ1＝，ρ2＝2cosα， ＝＝×2cosα(cosα＋sinα) ＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]， 當(dāng)α＝時(shí)，取得最大值(＋1)． 【反饋檢測3答案】(1)；（2）最小值為，此時(shí)的坐標(biāo)為. 【反饋檢測3詳細(xì)解析】(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為. (2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以|PQ|的最小值，即為P到的距離的最小值, . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為此時(shí)P的直角坐標(biāo)為. 【反饋檢測4答案】（1），；（2）. 【反饋檢測5答案】（1），；（2）. 【反饋檢測5詳細(xì)解析】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）， 由，得，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為． （2）把，代入得， 設(shè)，兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為與，則，， 易知與異號，又∵，∴，消去與，得，即． 9