2018年高考數(shù)學(xué) 考點一遍過 專題48 排列與組合 理

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1、 專題48 排列與組合 （1）理解排列、組合的概念. （2）能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式. （3）能解決簡單的實際問題. 1．排列 （1）排列的定義 一般地，從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. （2）排列數(shù)、排列數(shù)公式 從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示. 一般地，求排列數(shù)可以按依次填m個空位來考慮： 假設(shè)有排好順序的m個空位，從n個元素中任取m個去填空，一個空位填1個元素，每一種填法就對應(yīng)一個排列，而要完成“這件事”可以分為m

2、個步驟來實現(xiàn). 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，全部填滿m個空位共有種填法. 這樣，我們就得到公式，其中，且.這個公式叫做排列數(shù)公式. n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中，即有，就是說，n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用表示.所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成.另外，我們規(guī)定1. 于是排列數(shù)公式寫成階乘的形式為，其中，且. 注意：排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，一個排列是指“按照一定的順序排成一列”，它是具體的一件事，排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù). 2．

3、組合 （1）組合的定義 一般地，從n個不同元素中取出個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合. （2）組合數(shù)、組合數(shù)公式 從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示. ，其中，且.這個公式叫做組合數(shù)公式. 因為，所以組合數(shù)公式還可以寫成，其中，且.另外，我們規(guī)定. （3）組合數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1：. 性質(zhì)1表明從n個不同元素中取出m個元素的組合，與剩下的個元素的組合是一一對應(yīng)關(guān)系. 性質(zhì)2：. 性質(zhì)2表明從個不同元素中任取m個元素的組合，可以分為兩類：第1類，取出的m個元素中不含某個元素a的組合，只需

4、在除去元素a的其余n個元素中任取m個即可，有個組合；第2類，取出的m個元素中含有某個元素a的組合，只需在除去a的其余n個元素中任取個后再取出元素a即可，有個組合. 考向一 排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的應(yīng)用 這個公式體現(xiàn)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的聯(lián)系，也可以用這個關(guān)系去加強對公式的記憶.每個公式都有相應(yīng)的連乘形式和階乘形式，連乘形式多用于數(shù)字計算，階乘形式多用于對含有字母的排列數(shù)或者組合數(shù)進(jìn)行變形或證明. 典例1 求下列方程中的值. （1）. （2）. ,∴原方程的解是. 【名師點睛】在解與排列數(shù)有關(guān)的方程或不等式時，應(yīng)先求出未知數(shù)的取值范圍，再利用排列數(shù)公式化簡方程或不等式

5、，最后得出問題的解. 1．（1）求的值； （2）設(shè)m，nN*，n≥m，求證：（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）. 考向二 排列問題的求解 解決排列問題的主要方法有： （1）“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置. （2）解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起排列，同時要注意捆綁元素的內(nèi)部排列. （3）解決不相鄰問題的方法是“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的

6、元素插在前面元素排列的空當(dāng)中. （4）對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些問題從正面考慮比較復(fù)雜，可從其反面入手，即采用“間接法”. 典例2 室內(nèi)體育課上王老師為了豐富課堂內(nèi)容，調(diào)動同學(xué)們的積極性，他把第四排的8個同學(xué)請出座位并且編號為1，2，3，4，5，6，7，8.經(jīng)過觀察這8個同學(xué)的身體特征，王老師決定，按照1，2號相鄰，3，4號相鄰，5，6號相鄰，而7號與8號不相鄰的要求站成一排做一種游戲，有________種排法.（用數(shù)字作答） 【答案】576 2．有5盆各不相同的菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把

7、它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花的不同擺放種數(shù)是 A．12 B． 24 C．36 D．48 考向三 組合問題的求解 組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答時可用直接法，也可用間接法.用直接法求解時，要注意合理地分類或分步；用間接法求解時，要注意題目中“至少”“至多”等關(guān)鍵詞的含義，做到不重不漏. 典例3 某學(xué)校為了迎接市春季運動會，從5名男生和4名女生組成的田徑運動隊中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為 A．85 B．86 C．

8、91 D．90 【答案】B 入選的方法種數(shù)為120?34=86. 3．在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為______________.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示) 考向四 排列與組合的綜合應(yīng)用 先選后排法是解答排列、組合應(yīng)用問題的根本方法，利用先選后排法解答問題只需要用三步即可完成. 第一步：選元素，即選出符合條件的元素; 第二步：進(jìn)行排列，即把選出的元素按要求進(jìn)行排列; 第三步：計算總數(shù)，即根據(jù)分步乘法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理計算方法總數(shù). 典例4 有甲、乙、丙3項任務(wù)，任務(wù)甲需要2

9、人承擔(dān)，任務(wù)乙、丙各需要1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這3項任務(wù)，不同的選法共有_______________種(用數(shù)字作答). 【答案】2520 4．從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為 A．300 B．216 C．180 D．162 1． A． B． C． D． 2．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員同時搶4個紅包,每人最多搶一個,且紅包被全部搶光,4個紅包中有兩個2元,兩個3元(紅包中金額相同視為相同的紅包),則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有

10、 A．35種 B．24種 C．18種 D．9種 3．某校為了提倡素質(zhì)教育,豐富學(xué)生們的課外生活,分別成立繪畫、象棋和籃球興趣小組,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生報名參加,每人僅參加一個興趣小組,每個興趣小組至少有一人報名,則不同報名方法有 A．12種 B．24種 C．36種 D．72種 4．某節(jié)假日,校辦公室隨機(jī)安排從一號至六號由六位領(lǐng)導(dǎo)參加的值班．每一位領(lǐng)導(dǎo)值班一天,則校長甲與校長乙不相鄰且主任丙與主任丁也不相鄰的概率為 A． B． C． D． 5． 4位同學(xué)各自在周六

11、、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為 A． B． C． D． 6．現(xiàn)有2個男生,3個女生和1個老師共6人站成一排照相,若兩端站男生,3個女生中有且僅有2人相鄰,則不同的站法種數(shù)是 A．12 B．24 C．36 D．48 7．現(xiàn)有8個人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有 A．·種 B．(-·)種 C．·種 D．(-)種 8．某校從8名教

12、師中選派4名同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每個地區(qū)1名教師),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,則不同的選派方案有 A．900種 B．600種 C．300種 D．150種 9．為了扶助鄉(xiāng)村教育,某教育機(jī)構(gòu)派出5名優(yōu)秀教師志愿者去三所村級小學(xué)進(jìn)行支教,每所小學(xué)至少派一名教師志愿者,則不同的分配方法有 A．100種 B．120種 C．150種 D．160種 10．在二項式(+)n的展開式中,前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,把展開式中所有的項重新排成一列,有理數(shù)都互不相鄰的概率為 A． B． C．

13、 D． 11．在某足球賽現(xiàn)場,從兩隊的球迷中各選三名,排成一排照相,要求同一隊的球迷不能相鄰,則不同的排法種數(shù)為　　　.(用數(shù)字作答) 12．在“心連心”活動中,5名黨員被分配到甲、乙、丙三個村子進(jìn)行入戶走訪,每個村子至少安排1名黨員參加,且A,B兩名黨員必須在同一個村子，則不同分配方法的種數(shù)為　　　　. ?13．給四面體ABCD的六條棱分別涂上紅,黃,藍(lán),綠四種顏色中的一種,使得有公共頂點的棱所涂的顏色互不相同,則不同的涂色方法種數(shù)共有　　　　.? 14．現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求取出的這些卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1

14、張,不同取法的種數(shù)為　　　　 .? 15．某房間并排擺有六件不同的工藝品,要求甲、乙兩件工藝品必須擺放在兩端,丙、丁兩件工藝品必須相鄰,則不同的擺放方法有　　　　種(用數(shù)字作答).? 16．從A,B,C,D,E五名歌手中任選三人出席某義演活動,當(dāng)三名歌手中有A和B時,A需排在B的前面出場(不一定相鄰),則不同的出場方法有　　　種. 1．（2017·新課標(biāo)II理）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有 A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 2．（2016·高考四川理）用數(shù)字1，2，3，

15、4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為 A．24 B．48 C．60 D．72 3．（2017·浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有______種不同的選法．（用數(shù)字作答） 4．（2017·天津理）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個．（用數(shù)字作答） 變式拓展 2．【答案】B 【解析】2盆黃菊花捆綁作為一個元素與一盆紅菊花排列，2盆白菊花采用插

16、空法，所以這5盆花的不同擺放共有AAA＝24種． 3．【答案】 【解析】所取的2瓶都是不過保質(zhì)期飲料的概率為，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為. 4．【答案】C 根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的四位數(shù)共有72＋108＝180個.故選C. 考點沖關(guān) 1．【答案】D 【解析】∵, ∴原式=. 2．【答案】C 【解析】若甲、乙搶的是一個2元和一個3元的紅包,剩下2個紅包,被剩下3名成員中的2名搶走,有=12(種);若甲、乙搶的是兩個2元或兩個3元的紅包,剩下兩個紅包,被剩下的3名成員中的2名搶走,有=6(種).根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,甲、乙兩人都搶到紅包的情況共有1

17、2+6=18(種). 3．【答案】C 【解析】由題意可知,從4人中任選2人作為一個整體,共有=6(種),再把這個整體與其他2人進(jìn)行全排列,對應(yīng)3個活動小組,有=6(種)情況,所以共有6×6=36(種)不同的報名方法. ?4．【答案】A 5．【答案】D 解析】由已知，4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動共有種不同的結(jié)果，而周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有兩類不同的情況：（1）一天一人，另一天三人，有種不同的結(jié)果；（2）周六、周日各2人，有種不同的結(jié)果，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有種不同的結(jié)果，所以周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為，選D． 6．【答案】B

18、 【解析】第一步,2個男生站兩端,有種站法;第二步,3個女生站中間,有種站法;第三步,老師站正中間女生的左邊或右邊,有種站法.由分步乘法計數(shù)原理,得共有·=24(種)站法. 7．【答案】B 【解析】在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù),就得到甲、乙、丙3人不相鄰的方法數(shù),即-·,故選B. ?8．【答案】B 【解析】依題意,就甲是否去支教進(jìn)行分類計數(shù):第一類,甲去支教,則乙不去支教,且丙也去支教,則滿足題意的選派方案有=240(種);第二類,甲不去支教,且丙也不去支教,則滿足題意的選派方案有=360(種).因此,滿足題意的選派方案共有240+360=600(種). 9

19、．【答案】C 【解析】分組有兩類:①2,2,1;②3,1,1,共有+=15+10=25(種)不同的分法,再分到三所小學(xué)去,共有=6(種)不同的分法,所以不同的分配方法有25×6=150(種).故選C. 10．【答案】D P=. 11．【答案】72 【解析】由于要求同一隊的球迷不能相鄰,故可利用插空法求出不同的排法種數(shù). 可分兩步: 第一步,同一隊的3名球迷不同的排法有=6(種); 第二步,由于要求同一隊的球迷不能相鄰,所以另一隊的3名球迷必須插入首、尾中的任一個空以及中間的兩個空中,不同的排法有=12(種), 由分步乘法計數(shù)原理,可得不同的排法種數(shù)為6×12=72. 12．

20、【答案】36 【解析】把A,B兩名黨員看作一個整體,則5個人可分為4個部分.把4個部分再分為3個部分,共有種方法;再把這3個部分分配到三個村子,有種不同的方法;根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得不同分配方法種數(shù)為=36. 13．【答案】96 【解析】由題意知,第一步涂DA有四種方法;第二步涂DB有三種方法;第三步涂DC有兩種方法;第四步涂AB,若AB與DC相同,則一種涂法,第五步可分兩種情況,若BC與AD相同,最后一步涂AC有兩種涂法,若BC與AD不同,最后一步涂AC有一種涂法.若第四步涂AB,AB與CD不同,則AB涂第四種顏色,此時BC,AC只有一種涂法.綜上,總的涂法種數(shù)是4×3×2×[1×(

21、2+1)+1×1]=96. 14．【答案】472 ①如果同色,則先從4張紅色中選取1張,再從其余三種顏色中任選一種,最后從該種顏色的卡片中選取2張即可,不同的取法有=4×3×6=72(種). ②如果不同色,則先從4張紅色中選取1張,再從其余三種顏色中任選兩種,最后從每種顏色中選取1張,不同的取法有=4×3×4×4=192(種). 由分類加法計數(shù)原理可得,不同的選取方法共有208+72+192=472(種). 15．【答案】24 【解析】甲、乙兩件工藝品的擺放方法有種,丙、丁與剩余的兩件工藝品的擺放方法有種,由分步乘法計數(shù)原理可知,不同的擺放方法有=24種. 16．【答案】51

22、【解析】應(yīng)分沒有A和B、只有A或B中的一個、A和B均有這三種情況進(jìn)行討論. 第一類, 這三名歌手中沒有A和B,由其他歌手出席該義演活動,共有種情況;第二類,只有A或B中的一個出席該義演活動,需從C,D,E中選兩人,共有種情況;第三類, A,B均出席該義演活動,需再從C,D,E中選一人,因為A在B前,共有種情況.由分類加法計數(shù)原理得不同的出場方法有++=51種. 直通高考 1．【答案】D 【解析】由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進(jìn)行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有種． 故選D． 【名師點睛】（1）解排列組合問

23、題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)． （2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解． 2．【答案】D 【解析】由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個數(shù)為，故選D. 3．【答案】660 【名師點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 4．【答案】 【解析】． 【名師點睛】計數(shù)原理包含分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，本題中組成的四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，先利用分步乘法計數(shù)原理求每一類中的結(jié)果數(shù)，然后利用分類加法計數(shù)原理求總的結(jié)果數(shù)． 14