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1、
專(zhuān)題能力訓(xùn)練9 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、能力突破訓(xùn)練
1.為了得到函數(shù)y=sin的圖象,只需把函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向上平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向下平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
答案：A
解析：由題意,為得到函數(shù)y=sin的圖象,只需把函數(shù)y=sin x的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,故選A.
2.函數(shù)y=sin x2的圖象是( )
答案：D
解析：∵f(-x)=sin(-x)2=sin x2=f(x),
∴y=sin x2的圖象關(guān)于
2、y軸對(duì)稱(chēng),排除A,C;
又當(dāng)x=±時(shí),sin≠1,∴排除B,故選D.
3.若函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)為奇函數(shù),且在區(qū)間上為減函數(shù),則θ的一個(gè)值為( )
A.- B.- C. D.
答案：C
解析：由已知得f(x)=2sin,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以+θ=kπ(k∈Z),排除A,D.又函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),排除B.故選C.
4.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f=f,且f=-3,則實(shí)數(shù)m的值等于( )
A.-1 B.±5
C.-5或-1 D.5或1
答案：C
解析：依題意,得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),于
3、是當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.故選C.
5.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),若它的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由題意知T=π,則ω=2.
由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),
得2×+φ=+kπ(k∈Z),
即φ=-+kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=Asin.
令2x-=kπ(k∈Z),則x=+π(k∈Z).
∴函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.故選B.
6.已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=
4、.?
答案：-
解析：∵sin=,
∴cos=cos
=sin=.
又θ是第四象限角,∴θ-是第三或第四象限角.
∴sin=-.∴tan=-.
7.(2017北京,文9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若sin α=,則sin β= .?
答案：
解析：由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sin β=sin(2kπ+π-α)=sin α=.
8.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)= .?
答案：sin
解析：
5、由題意得A=,函數(shù)的周期為T(mén)=16.
∵T=,∴ω=,此時(shí)f(x)=sin.
由f(2)=,即sin=sin=1,
則+φ=2kπ+,k∈Z,
解得φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,
∴函數(shù)的解析：式為f(x)=sin.
9.已知函數(shù)f(x)=sin x+λcos x的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn),則函數(shù)g(x)=λsin xcos x+sin2x的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是 .(寫(xiě)出其中的一條即可)?
答案：x=-(答案：不唯一)
解析：將點(diǎn)代入f(x)=sin x+λcos x,得λ=-.g(x)=-sin xcos x+sin2x=-sin 2x+-cos 2x=-si
6、n,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z.由k=-1,得x=-.
10.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
解(1)f(x)=sin2x+sin xcos x=-+sin 2x=sin+,則函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=π.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z.
(2)當(dāng)x∈時(shí),2x-∈,
則sin∈,
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閒(x)∈.
11.已知函數(shù)f(x)=(sin x+cos
7、x)2+cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解(1)因?yàn)閒(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)==π.
(2)由(1)的計(jì)算結(jié)果知,f(x)=sin+1.
當(dāng)x∈時(shí),2x+∈,
由正弦函數(shù)y=sin x在上的圖象知,
當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取最大值+1;
當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取最小值0.
綜上,f(x)在區(qū)間上的最大值為+1,最小值為0.
二、思維提升訓(xùn)練
12.下圖是函數(shù)f(x)=2s
8、in(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象,其中A,B兩點(diǎn)之間的距離為5,則f(-1)等于( )
A.2 B. C.- D.-2
答案：A
解析：設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén),因?yàn)锳,B兩點(diǎn)之間的距離為5,所以=5,解得T=6.所以ω==.
又圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),代入得2sin φ=1,
所以φ=2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z).
又0≤φ≤π,所以φ=或φ=.
所以f(x)=2sin或f(x)=2sin.
對(duì)于函數(shù)f(x)=2sin,當(dāng)x略微大于0時(shí),有f(x)>2sin=1,與圖象不符,故舍去.
綜上,f(x)=2sin.
故f(-1)=2sin=2.
9、13.(2017天津,文7)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
答案：A
解析：由題意可知,>2π,-≥·,
所以≤ω<1.所以排除C,D.
當(dāng)ω=時(shí),f=2sin=2sin=2,
所以sin=1.
所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).
因?yàn)閨φ|<π,所以φ=.故選A.
14.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
10、
答案：D
解析：函數(shù)y1=,y2=2sin πx的圖象有公共的對(duì)稱(chēng)中心(1,0),作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖.
當(dāng)1
11、①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=(sin x+cos x);
③f(x)=sin x;④f(x)=sin x+.
其中為“互為生成”函數(shù)的是 .(填序號(hào))?
答案：①④
解析：首先化簡(jiǎn)題中的四個(gè)解析：式可得:①f(x)=sin,②f(x)=2sin,③f(x)=sin x,④f(x)=sin x+.可知③f(x)=sin x的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過(guò)平移不能完成,必須經(jīng)過(guò)伸縮變換才能實(shí)現(xiàn),所以③f(x)=sin x不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理①f(x)=sin的圖象與②f(x)=2sin的圖象也必須經(jīng)過(guò)伸縮變換才能重合,而④f(x)=si
12、n x+的圖象可以向左平移個(gè)單位,再向下平移個(gè)單位即可得到①f(x)=sin的圖象,所以①④為“互為生成”函數(shù).
16.已知函數(shù)f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(0<φ<π),其圖象過(guò)點(diǎn).
(1)求φ的值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解(1)∵f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin
(0<φ<π),
∴f(x)=sin 2xsin φ+cos φ-cos φ
=sin 2xsin φ+cos 2xcos φ
=(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)=cos(2x-φ).
又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn),∴=cos,即cos=1.∵0<φ<π,∴φ=.
(2)由(1)知f(x)=cos,將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,可知g(x)=f(2x)=cos.
∵x∈,∴4x∈[0,π],∴4x-∈,即-≤cos≤1.故y=g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為和-.
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