《萬有引力與天體運動》習題及答案

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1、4 萬有引力航天 一、“中心天體－圓軌道”模型 【應用知識】由萬有引力提供環(huán)繞天體做圓周運動的向心力，據(jù)牛頓第二定律列出圓周運動的動力學方程。 1、對中心天體可求質(zhì)量和密度 2、對環(huán)繞天體可求線速度、角速度、周期、向心加速度、向心力、軌道所在處的重力加速度 3、可求第一宇宙速度 例1．如圖所示，a、b、c是環(huán)繞地球在圓形軌道上運行的3顆人造衛(wèi)星，它們質(zhì)量關系是ma=mb＜mc，則： A．b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度 B．b、c的周期相等，且小于a的周期 C．b、c的向心加速度大小于相等，且大于a的向心加速度 D．b所需向心力最小 例2、我國將要發(fā)射一顆繞

2、月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”。設該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面。已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，月球的半徑約為地球半徑的,地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約為( D ) A.0.4km/s B.1.8km/s C.11km/s D.36km/s 二、“同步衛(wèi)星”模型 同步衛(wèi)星具有四個一定 1、 定軌道平面 2、 定運行周期：T＝24h 3、 定運動高度： 4、 定運行速率： 例3．某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12h內(nèi)有多長

3、時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球的自轉周期為T，不考慮大氣對光的折射。 例4．地球赤道上有一物體隨地球的自轉而做圓周運動，所受的向心力為F1，向心加速度為a1，線速度為v1，角速度為ω1;繞地球表面附近做圓周運動的人造衛(wèi)星受的向心力為F2，向心加速度為a2，線速度為v2，角速度為ω2;地球同步衛(wèi)星所受的向心力為F3，向心加速度為a3，線速度為v3，角速度為ω3.地球表面重力加速度為g，第一宇宙速度為v，假設三者質(zhì)量相等.則（　?。? A.F1=F2＞F3 B.a1=a2=g＞a3 C.v1=v2=v＞v3 D.ω1

4、=ω3＜ω2 三、“天體相遇”模型 兩天體相遇，實際上是指兩天體相距最近，條件是 兩天體相距最遠，條件是 例5．A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h，已知地球半徑為R，地球自轉角速度ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心。 （1）求衛(wèi)星B的運動周期 （2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上）則至少經(jīng)過多長時間，他們再一次相距最近？ 答案： 四、“地球自轉忽略”模型 在地球表面，分析計算表明，物體在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的0.34%，故通常情形可忽略地球的

5、自轉效應，近似地認為質(zhì)量為m的物體的重力等于所受的地球引力，即。所以，地表附近的重力加速度為，利用這一思路，可推出“黃金代換式”。若物體在距地面高h處，則有，所以在距地面高h處的重力加速度為 例6．“神舟”六號飛船發(fā)射升空時，火箭內(nèi)測試儀平臺上放一個壓力傳感器，傳感器上面壓著一個質(zhì)量為m的物體，火箭點火后從地面向上加速升空，當升到某一高度時，加速度a=g/2，壓力傳感器此時顯示出物體對平臺的壓力為點火前壓力的17/16，已知地球的半徑為R，g為地面附近的重力加速度，試求此時火箭離地面的高度。 例7．地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3=求出.已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單

6、位是m/s2.則（　?。? A.a是地球半徑，b是地球自轉的周期，c是地球表面處的重力加速度 B.a是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，c是同步衛(wèi)星的加速度 C.a是赤道周長，b是地球自轉的周期，c是同步衛(wèi)星的加速度 D.a是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，c是地球表面處的重力加速度 五、考慮自轉模型 指星球表面上的物體隨星球自轉而繞自轉軸（某點）做勻速圓周運動，其特點為 （1） 具有與星球自轉相同的角速度和周期 （2） 萬有引力除提供物體做勻速圓周運動的向心力外，還要產(chǎn)生重力。 例8．如果一個星球上，宇航員為了估測星球的平均密度，設計了一個簡單的實驗，他先利

7、用手表，記下一晝夜的時間T，然后，用彈簧秤測一個砝碼的重力，發(fā)現(xiàn)在赤道上的重力僅為兩極的90%。試寫出星球的平均密度的表達式。 例9．地球赤道上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a，要使赤道上的物體“飄”起來，則地球的轉速應為原來的（　?。? A.g/a倍 B.倍 C.倍 D.倍 六、“雙星”模型 對于雙星問題要注意： （1） 兩星球所需的向心力由兩星球間的萬有引力提供，兩星球圓周運動向心力大小相等； （2） 兩星球繞兩星球間連線上的某點（轉動中心）做圓周運動的角速度或周期的大小相等 （3） 兩星球繞轉的半徑r1、r

8、2的和等于兩星球間的距離L，即 例10．在天文學上把兩個相距相近，由于彼此的引力作用而沿軌道互相繞轉的恒星系統(tǒng)稱為雙星。已知兩顆恒星質(zhì)量分別為m1、m2，兩星之間的距離為L，兩星分別繞共同的中心做勻速圓周運動，求各個恒星的運轉半徑和角速度。 例11．宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每個星體的質(zhì)量均為。

9、（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。 （2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？ 七．“衛(wèi)星變軌”模型 根據(jù)圓周運動的向心力供求關系進行分析 （1） 若F供＝F求，供求平衡，物體做勻速圓周運動 （2） 若F供＜F求，供不應求，物體做離心運動 （3） 若F供＞F求，供過于求，物體做向心運動 例12．如圖所示，發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1， 然后經(jīng)點火使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火將衛(wèi)星送入同 步圓軌道3。軌道1、2相切于A點，軌道2、3相切于B點。則 當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道正常運行時，下列說法正確的是： A、衛(wèi)星在軌道3上的周期大于在軌道1上的周期 B、衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率 C、衛(wèi)星在軌道2上運行時，經(jīng)過A點時的速率大于經(jīng)過B點時的速率 D、衛(wèi)星在軌道2上運行時，經(jīng)過A點時加速度大于經(jīng)過B點的加速度 4