三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專題09 圓錐曲線

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析 第九章 圓錐曲線 一、選擇題 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】A 考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】雙曲線知識(shí)一般作為客觀題學(xué)生出現(xiàn),主要考查雙曲線幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.注意雙曲線的焦距是2c不是c,這一點(diǎn)易出錯(cuò). 2. 【2014高考廣東卷.理.4】若實(shí)數(shù)滿足，則曲線與曲線的( ) A.離心率相等 B.虛半軸長(zhǎng)相等 C.實(shí)半軸長(zhǎng)相

2、等 D.焦距相等 【答案】D 【解析】，則，， 雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為， 雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為， 因此，兩雙曲線的焦距相等，故選D. 【考點(diǎn)定位】本題考查雙曲線的方程與基本幾何性質(zhì)，屬于中等題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中等題．解題時(shí)要注意、、的關(guān)系，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，即雙曲線（，）的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，其中，離心率． 3. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 上任意一點(diǎn)，

3、M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為( ) （A） （B） （C） （D）1 【答案】C 考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用． 【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數(shù)表示出后，可根據(jù)表達(dá)式形式選用函數(shù)，或不等式的知識(shí)求出最值，本題采用基本不等式求出最值． 4. 【2015高考廣東，理7】已知雙曲線：的離心率，且其右焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（ ） A． B.

4、 C. D. 【答案】． 【解析】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為且離心率為，所以，，所以所求雙曲線方程為，故選． 【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生利用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和運(yùn)算求解能力，由離心率和其右焦點(diǎn)易得，值，再結(jié)合雙曲線可求，此題學(xué)生易忽略右焦點(diǎn)信息而做錯(cuò)，屬于容易題． 5. 【2014山東.理10】 已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】由已知及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)得，，所以，，雙曲線漸近線方

5、程為，即，選. 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).確定橢圓或雙曲線的離心率，關(guān)鍵是從已知出發(fā)，確定得到的關(guān)系，本題中由離心率，確定的關(guān)系，從而得到雙曲線的漸近線方程. 本題屬于小綜合題，也是一道能力題，在較全面考查橢圓、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力. 6. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，,則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】 試題分析：因?yàn)榇怪庇谳S，所以，因

6、為，即，化簡(jiǎn)得，故雙曲線離心率.選A. 考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).離心率. 【名師點(diǎn)睛】區(qū)分雙曲線中a，b，c的關(guān)系與橢圓中a，b，c的關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0，1)． 7. 【2014新課標(biāo)，理10】設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可知：直線AB的方程為，代入拋物線的方程可得：，設(shè)A、B，則所求三角形的面積為=，故選D.

7、【考點(diǎn)定位】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.，三角形的面積的求法，本題屬于中檔題，要求學(xué)生根據(jù)根據(jù)已知條件寫(xiě)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元，然后應(yīng)用韋達(dá)定理求解，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 8. 【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（ ） A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m

8、：由題意知，即，，代入，得． 故選A． 考點(diǎn)：1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】計(jì)算橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，要注意；計(jì)算雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，要注意．否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤． 9. 【2016高考新課標(biāo)1卷】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算,注意解析幾何問(wèn)題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性,基礎(chǔ)題失分過(guò)

9、多是相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因. 10. 【2015高考新課標(biāo)2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)雙曲線方程為，如圖所示，，，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，在中，，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，即，所以，故選D． 【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、解直角三角形知識(shí)，正確表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用“點(diǎn)在雙曲線上”列方程是解題關(guān)鍵，屬于中檔題． 11 .【2016高考新課標(biāo)3理

10、數(shù)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意設(shè)直線的方程為，分別令與得點(diǎn)，，由，得， 即，整理，得，所以橢圓離心率為，故選A． 考點(diǎn)：橢圓方程與幾何性質(zhì)． 【思路點(diǎn)撥】求解橢圓的離心率問(wèn)題主要有三種方法：（1）直接求得的值，進(jìn)而求得的值；（2）建立的齊次等式，求得或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式求解；(3)通過(guò)特殊值或特殊位置，求出． 12. 【2015高考四川，理5】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且

11、與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則（ ） (A) (B) (C)6 （D） 【答案】D 【解析】 雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)F與x軸垂直的直線為，漸近線方程為，將代入得：.選D. 【考點(diǎn)定位】雙曲線. 【名師點(diǎn)睛】雙曲線的漸近線方程為，將直線代入這個(gè)漸近線方程，便可得交點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)，從而快速得出的值. 13. 【2014四川，理10】已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ） A． B．

12、 C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：據(jù)題意得，設(shè)，則，或，因?yàn)槲挥谳S兩側(cè)所以.所以兩面積之和為. 【考點(diǎn)定位】1、拋物線；2、三角形的面積；3、重要不等式. 【名師點(diǎn)睛】在圓錐曲線的問(wèn)題中，我們通常使用設(shè)而不求的辦法，此題中，我們?cè)O(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由，得，接下來(lái)表示出與面積之和，利用基本不等式即可求得最小值，利用基本不等式時(shí)，要注意“一正，二定，三相等”. 14. 【2015高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（ ） （A） （B）

13、 （C） （D） 【答案】D 【解析】 【考點(diǎn)定位】直線與圓錐曲線，不等式. 【名師點(diǎn)睛】首先應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析.結(jié)合圖形易知，只要圓的半徑小于5，那么必有兩條直線（即與x軸垂直的兩條切線）滿足題設(shè)，因此只需直線的斜率存在時(shí)，再有兩條直線滿足題設(shè)即可.接下來(lái)要解決的問(wèn)題是當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，圓的半徑的范圍是什么.涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)及弦的中點(diǎn)的問(wèn)題，常常采用“點(diǎn)差法”.在本題中利用點(diǎn)差法可得，中點(diǎn)必在直線上，由此可確定中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍，利用這個(gè)范圍即可得到r的取值范圍. 15. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理4】已知為雙曲線:的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為

14、（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】由已知得，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．則，，設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)，一條漸近線的方程為，即，所以焦點(diǎn)F到漸近線的距離為，選A． 【考點(diǎn)定位】1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，本題將說(shuō)切線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，確定好各個(gè)焦點(diǎn)和利用點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵；本題主要考查了考生的計(jì)算能力和綜合分析能力. 16. 【2016高考天津理數(shù)】已知雙曲線（b>0），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半

15、徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】 試題分析：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，， ∴， ∴，故雙曲線的方程為，故選D. 考點(diǎn)：雙曲線漸近線 【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)注點(diǎn)： (1)確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”條件，“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法． (2)利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?，以避免討論? ①若雙曲線的焦點(diǎn)不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為A

16、x2＋By2＝1(AB＜0)． ②若已知漸近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． 17. 【2015高考新課標(biāo)1，理5】已知M（）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是( ) （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） 【答案】A 【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式將表示為關(guān)于點(diǎn)M坐標(biāo)的函數(shù)，利用點(diǎn)M在雙曲線上，消去x0，根據(jù)題意化為關(guān)于的不等式，即可解出的范圍，是基礎(chǔ)題，將表示為的函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

17、18. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理10】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，P是上一點(diǎn)，Q是直線PF與C得一個(gè)焦點(diǎn)，若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖所示，因?yàn)?，故，過(guò)點(diǎn)作，垂足為M，則軸，所以 ，所以，由拋物線定義知，，選B． 【考點(diǎn)定位】1、拋物線的定義；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、向量共線． 【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與拋物線的位置關(guān)系，本題考查了考生的基本運(yùn)算能力和綜合分析能力. 19.【2015高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，，，其中

18、點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】，故選A. 【考點(diǎn)定位】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題，解題時(shí)，需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)不能遺漏相應(yīng)平面幾何知識(shí)的復(fù)習(xí). 20. 【2014高考重慶理第8題】設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲

19、線的離心率為（ ） A. B. C. D.3 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：1、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；2、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義，性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件． 21. 【2015高考重慶，理10】設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為1，過(guò)F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過(guò)B,C分別作AC，AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（　?。? A、

20、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】由題意，由雙曲線的對(duì)稱性知在軸上，設(shè)，由得，解得，所以，所以，因此漸近線的斜率取值范圍是，選A. 【考點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì). 【名師點(diǎn)晴】求雙曲線的漸近線的斜率取舍范圍的基本思想是建立關(guān)于的不等式，根據(jù)已知條件和雙曲線中的關(guān)系，要據(jù)題中提供的條件列出所求雙曲線中關(guān)于的不等關(guān)系，解不等式可得所求范圍．解題中要注意橢圓與雙曲線中關(guān)系的不同． 22. 【2015高考安徽，理4】下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（ ） （A） （

21、B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由題意，選項(xiàng)的焦點(diǎn)在軸，故排除，項(xiàng)的漸近線方程為， 即，故選C. 【考點(diǎn)定位】1.雙曲線的漸近線. 【名師點(diǎn)睛】雙曲線確定焦點(diǎn)位置的技巧：前的系數(shù)是正，則焦點(diǎn)就在軸，反之，在軸；在雙曲線的漸近線方程中容易混淆，只要根據(jù)雙曲線的漸近線方程是，便可防止上述錯(cuò)誤. 23. 【2014湖北卷9】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ） A. B. C.3 D.2 【答案】A

22、【解析】 試題分析：設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為（），半焦距為，由面積公式得，所以， 令，，為參數(shù)， 所以. 所以橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為，故選A. 考點(diǎn)：橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，利用三角換元法求最值，難度中等. 【名師點(diǎn)睛】將橢圓、雙曲線和解三角形等知識(shí)聯(lián)系在一起，重點(diǎn)考查橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在圓錐曲線的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，凸顯了知識(shí)之間的聯(lián)系性、綜合性，能較好的考查學(xué)生的計(jì)算能力和思維的全面性、縝密性. 24. 【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）

23、 A．對(duì)任意的， B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， C．對(duì)任意的， D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 【答案】D 【解析】依題意，，， 因?yàn)?，由于，，? 所以當(dāng)時(shí)，，，，，所以； 當(dāng)時(shí)，，，而，所以，所以. 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 【考點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì)，離心率. 【名師點(diǎn)睛】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．分類討論的時(shí)應(yīng)做到：分類不重不漏；標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明；能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無(wú)原則地討論． 25.【2015高考福建，理3】若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則 等于（?。? A．11 　　　

24、 B．9 C．5 D．3 【答案】B 【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B． 【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義． 【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線的定義列方程求解，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性． 26. 【2014遼寧理10】已知點(diǎn)在拋物線C：的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 考點(diǎn)：1.直線與拋物線的位置關(guān)系；2.斜率公式. 【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的

25、幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系及斜率公式..涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，往往是通過(guò)聯(lián)立直線方程、圓錐曲線方程得到方程組，研究根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等，建立新的方程或方程組，尋求解題途徑. 本題是一道能力題，在較全面考查拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力. 二、填空題 1. 【2014高考北京理第11題】設(shè)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2），且與具有相同漸近線，則的方程為 ；漸近線方程為 . 【答案】； 【解析】 試題分析：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以曲線的漸近線方程為， 設(shè)曲線的方程為，將代入求得，故曲線的方程

26、為. 考點(diǎn)：雙曲線的漸進(jìn)線，共漸進(jìn)線的雙曲線方程的求法，容易題. 【名師點(diǎn)睛】：本題考查求雙曲線方程及雙曲線的漸近線方程，本題屬于基礎(chǔ)題，近幾年高考這類選填題為必考題，可以考查求圓錐曲線方程、曲線的幾何性質(zhì)，特別是求離心率為高頻考題.本題為共漸近線問(wèn)題，問(wèn)題基礎(chǔ)簡(jiǎn)單，設(shè)法模式固定，易于得分. 2. 【2015高考北京，理10】已知雙曲線的一條漸近線為，則 ． 【答案】 【解析】雙曲線的漸近線方程為，，,則 【考點(diǎn)定位】本題考點(diǎn)為雙曲線的幾何性質(zhì)，正確利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，利用已給漸近線方程求參數(shù). 【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查雙曲線的漸近線方程

27、，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，求漸近線方程的簡(jiǎn)單方法就是把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”改“0”，利用已知漸近線方程，求出參數(shù)的值. 3. 【 2014湖南15】如圖4，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則. 【答案】 【解析】由題可得,因?yàn)樵趻佄锞€上,所以,故填. 【考點(diǎn)定位】拋物線 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線與正方形的關(guān)系結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)得到關(guān)于a,b,p的方程聯(lián)立結(jié)合拋物線的有關(guān)性質(zhì)得到a,b的比值即可. 4. 【2016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓 的右焦點(diǎn)，直線

28、與橢圓交于兩點(diǎn)，且,則該橢圓的離心率是 ▲ . 【答案】 【解析】由題意得， 因此 考點(diǎn)：橢圓離心率 【名師點(diǎn)睛】橢圓離心率的考查，一般分兩個(gè)層次，一是由離心率的定義，只需分別求出，這注重考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中量的含義，二是整體考查，求的比值，這注重于列式，即需根據(jù)條件列出關(guān)于的一個(gè)齊次等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到離心率的值. 5. 【2016高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線，（t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為，則p的值為_(kāi)________. 【答案】 考

29、點(diǎn)：拋物線定義 【名師點(diǎn)睛】1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理． 2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|＝x0＋；若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到． 6. 【2016高考山東理數(shù)】已知雙曲線E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是_______. 【答案

30、】2 【解析】 試題分析：假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，則，，所以，，由，得離心率或（舍去），所以E的離心率為2. 考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì).本題解答，利用特殊化思想，通過(guò)對(duì)特殊情況的討論，轉(zhuǎn)化得到一般結(jié)論，降低了解題的難度.本題能較好的考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想、一般與特殊思想及基本運(yùn)算能力等. 7. 【2015江蘇高考，12】在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若點(diǎn) 到直線的距離大于c恒成立，則是實(shí)數(shù)c的最大值為 . 【答案】 【解析】設(shè)，因?yàn)橹本€平行于漸近線，所以點(diǎn)到直線的距離恒大于直線與漸近線之間距離

31、，因此c的最大值為直線與漸近線之間距離，為 【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線，恒成立轉(zhuǎn)化 【名師點(diǎn)晴】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問(wèn)題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：(1)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(2)若漸近線方程為，則可設(shè)為；(3) 雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)；(4) 的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。硗饨鉀Q不等式恒成立問(wèn)題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置. 8．【2015高考山東，理15】平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為

32、 . 【答案】 【解析】設(shè) 所在的直線方程為 ,則 所在的直線方程為, 解方程組 得： ，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 , 拋物線的焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為: .因?yàn)槭?的垂心，所以 , 所以， . 所以， . 【考點(diǎn)定位】1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線基本問(wèn)題的把握以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及基本的運(yùn)算求解能力，三角形的垂心的概念以及兩直線垂直的條件是突破此題的關(guān)鍵. 9. 【2016年高考北京理數(shù)】雙曲線（，）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所

33、在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則_______________. 【答案】2 【解析】 試題分析：∵是正方形，∴，即直線方程為，此為雙曲線的漸近線，因此，又由題意，∴，．故填：2． 考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.對(duì)漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會(huì)利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù). 求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問(wèn)題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時(shí)為橢圓，當(dāng)時(shí)為雙曲線. 10. 【

34、2015高考陜西，理14】若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則 ． 【答案】 【解析】拋物線（）的準(zhǔn)線方程是，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€（）的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，所以答案應(yīng)填：． 【考點(diǎn)定位】雙曲線的幾何性質(zhì)和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題．解題時(shí)要注意拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)落在哪個(gè)軸上，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線（）的準(zhǔn)線方程是，雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，其中． 11. 【2015高考新課標(biāo)1，理14】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓

35、的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 【答案】 【考點(diǎn)定位】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，本題結(jié)合橢圓的圖形可知圓過(guò)橢圓的上下頂點(diǎn)與左頂點(diǎn)（或右頂點(diǎn)），有圓的性質(zhì)知，圓心在x軸上，設(shè)出圓心，算出半徑，根據(jù)垂徑定理列出關(guān)于圓心的方程，解出圓心坐標(biāo)，即可寫(xiě)出圓的方程，細(xì)心觀察圓與橢圓的特征是解題的關(guān)鍵. 12. 【2016高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的焦距是________▲________. 【答案】 【解析】 試題分析：． 故答案應(yīng)填：，焦距為2c 考點(diǎn)：雙曲線性質(zhì) 【

36、名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查雙曲線基本性質(zhì)，而雙曲線性質(zhì)是與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程息息相關(guān)，明確雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中量所對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵：揭示焦點(diǎn)在x軸，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，漸近線方程為，離心率為 13. 【2014年.浙江卷.理16】設(shè)直線與雙曲線（）兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足,則該雙曲線的離心率是__________ 答案： 解析：有雙曲線的方程可知，它的漸近線方程為，與，分別于，聯(lián)立方程組，解得,,由得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，與已知直線垂直，故，解得，即，． 考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法類似，但是聯(lián)立直線方程與雙

37、曲線方程消元后，注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的判斷．對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”． 解決有關(guān)漸近線與離心率關(guān)系問(wèn)題的方法：(1)已知漸近線方程y＝mx，若焦點(diǎn)位置不明確要分|m|＝或|m|＝討論．(2)注意數(shù)形結(jié)合思想在處理漸近線夾角、離心率范圍求法中的應(yīng)用 14. 【2015高考浙江，理9】雙曲線的焦距是 ，漸近線方程是 ． 【答案】，. 【解析】由題意得：，，，∴焦距為， 漸近線方程為. 【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦距，漸近線等相關(guān)概念，屬于容易題，根據(jù)條件中的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求得，，，進(jìn)而

38、即可得到焦距與漸近線方程，在復(fù)習(xí)時(shí)，要弄清各個(gè)圓錐曲線方程中各參數(shù)的含義以及之間的關(guān)系，避免無(wú)謂失分. 15. 【2014，安徽理14】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若軸，則橢圓的方程為_(kāi)_________ 【答案】． 【解析】 考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．橢圓的性質(zhì)． 【名師點(diǎn)睛】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，通常情況以求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的形式出現(xiàn)，其實(shí)質(zhì)是求其上動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系式.常用的方法有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法.本題解題核心是找出橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，代入方程中，利用待定系數(shù)法求出系數(shù)，從而得出標(biāo)準(zhǔn)方程. 16. 【2016高考浙江

39、理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______． 【答案】 【解析】 試題分析： 考點(diǎn)：拋物線的定義． 【思路點(diǎn)睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到軸的距離． 7. 【技巧點(diǎn)撥】解決直線與圓的綜合問(wèn)題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法(即幾何問(wèn)題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決． 17. 【2

40、014上海,理3】若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)__________. 【答案】. 【解析】橢圓的右焦點(diǎn)為，因此，，準(zhǔn)線方程為. 【考點(diǎn)】橢圓與拋物線的幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】1．涉及拋物線幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性． 2．求拋物線方程應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種； (2)要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系； (3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用

41、它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題． 18. 【2014遼寧理15】已知橢圓C：，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則 . 【答案】12 【解析】 試題分析：設(shè)M,N的中點(diǎn)坐標(biāo)為P，,則 ；由于，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)橢圓的定義==6，所以12. 考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.兩點(diǎn)距離公式. 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間距離公式等.本題中通過(guò)化簡(jiǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，由橢圓的的定義得出結(jié)論. 本題屬于能力題，在重點(diǎn)考查橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力

42、，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想. 19. 【2015湖南理13】設(shè)是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的離心率為 . 【答案】. 【解析】 試題分析：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，短軸端點(diǎn)為，從而可知點(diǎn)在雙曲線上， ∴. 【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于容易題，根據(jù)對(duì)稱性將條件中的信息進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，在求解雙曲線的方程時(shí)，主要利用，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程等性質(zhì)，也會(huì)與三角形的中位線，相似三角形，勾股定理等平面幾何知識(shí)聯(lián)系起來(lái). 三、解答題 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】（

43、本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. （I）證明為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程； （II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（）（II） 【解析】 試題分析：根據(jù)可知軌跡為橢圓,利用橢圓定義求方程；（II）分斜率是否存在設(shè)出直線方程,當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)其方程為,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式把面積表示為x斜率k的函數(shù),再求最值. （Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,,. 由得. 則,.

44、 所以. 過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以 .故四邊形的面積 . 可得當(dāng)與軸不垂直時(shí),四邊形面積的取值范圍為. 當(dāng)與軸垂直時(shí),其方程為,,,四邊形的面積為12. 綜上,四邊形面積的取值范圍為. 考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問(wèn)題 【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個(gè)很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成, .其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問(wèn)題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用. 2. 【2014高考北京理第19題】（本小題滿分14） 已知橢圓：. （1）求橢圓

45、的離心率； （2）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 【答案】（1）；（2）直線與圓相切. 【解析】 試題分析：（1）把橢圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，，利用求得離心率；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，即，用、表示，當(dāng)或分別根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較，從而判斷直線與圓的位置關(guān)系. 試題解析：（1）由題意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 所以，，從而， 所以. （2）直線與圓相切，證明如下： 設(shè)點(diǎn)，，其中， 因?yàn)?，所以，即，解得? 當(dāng)時(shí)，，代入橢圓的方程得， 此時(shí)直線與圓相切. 當(dāng)時(shí)，直線的方程為， 即， 圓心到直

46、線的距離為，又，， 故. 故此直線與圓相切. 考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的有關(guān)知識(shí)及判斷直線與圓的位置關(guān)系，本題屬于中檔問(wèn)題，先利用待定系數(shù)法求出橢圓方程，再利用求圓心到直線距離等于圓的半徑，說(shuō)明直線與圓相切，相對(duì)近幾年高考解析幾何題而言，本題難度不大，學(xué)生還是可以得到較滿意的分?jǐn)?shù). 3. 【2015高考北京，理19】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）； （Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問(wèn)：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

47、【答案】(1),,(2)存在點(diǎn) 【解析】（Ⅰ）由于橢圓：過(guò)點(diǎn)且離心率為，，，橢圓的方程為. ,直線的方程為：，令，； （Ⅱ），直線的方程為：，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，令，則. 設(shè) , , , 則，所以，（注：點(diǎn)在橢圓上，），則，存在點(diǎn)使得. 考點(diǎn)：1.求橢圓方程；2.求直線方程及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；3.存在性問(wèn)題. 【名師點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的有關(guān)知識(shí)及解存在性命題的方法，本題屬于中偏難問(wèn)題，思維量和運(yùn)算量均有，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程，利用直線方程的斜截式寫(xiě)出直線方程，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用直角三角形內(nèi)銳角三角函數(shù)正切定義求出，根據(jù)二者相等，解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，說(shuō)明存在點(diǎn)符合

48、條件的點(diǎn)Q. 4. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷).理科.20】 (本小題滿分14分)已知橢 圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由題意知，且有，即，解得， 因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； (2)①設(shè)從點(diǎn)所引的直線的方程為，即， 當(dāng)從點(diǎn)所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時(shí)，分別設(shè)為.，則， 將直線的方程代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得， ， 化簡(jiǎn)得，即， 則.是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則， 化簡(jiǎn)得； ②當(dāng)從點(diǎn)所引的兩條切線均與坐標(biāo)軸

49、垂直，則的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)也在圓上. 綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為. 【考點(diǎn)定位】本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，將直線與二次曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)利用的符號(hào)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應(yīng)用，屬于難題. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于難題．解題時(shí)一定要注意關(guān)鍵條件“兩條切線相互垂直”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，即橢圓（）的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，其中，離心率． 5. 【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分14分） 平面直角坐標(biāo)系中，橢圓

50、C：?的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn). （I）求橢圓C的方程； （II）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M. （i）求證：點(diǎn)M在定直線上; （ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）見(jiàn)解析；（ii）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（Ⅱ）（i）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ii）分別列出，面積的

51、表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 試題解析： （Ⅰ）由題意知，可得：. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以， 所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）（i）設(shè)，由可得， 所以直線的斜率為， 因此直線的方程為，即. 設(shè)，聯(lián)立方程 得， 由，得且， 因此, 將其代入得， 因?yàn)?，所以直線方程為. 聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 即點(diǎn)在定直線上. （ii）由（i）知直線方程為， 令得，所以， 又， 所以， ， 所以， 令，則， 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線

52、與圓錐曲線的位置關(guān)系；3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等. 6. 【2016高考江蘇卷】（本小題滿分10分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，拋物線 （1）若直線l過(guò)拋物線C

53、的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程； （2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q. ①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為； ②求p的取值范圍. 【答案】（1）（2）①詳見(jiàn)解析，② 【解析】 試題分析：（1）先確定拋物線焦點(diǎn)，再將點(diǎn)代入直線方程（2）①利用拋物線點(diǎn)之間關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求證，②利用直線與拋物線位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系：，解出p的取值范圍. 方程（*）的兩根為，從而 因?yàn)樵谥本€上，所以 因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ②因?yàn)樵谥本€上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為 考點(diǎn)：直線與拋物線位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】在利用

54、代數(shù)法解決范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： (1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 7. 【 2014湖南21】如圖7,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且. (1)求的方程; (2)過(guò)點(diǎn)作的不垂直于軸的弦,為的中點(diǎn),當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.

55、 【答案】(1) (2) 【解析】 試題分析:(1)利用橢圓和雙曲線之間的關(guān)系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點(diǎn),由題目和即可得到之間的兩個(gè)方程,聯(lián)立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 試題解析:(1)由題可得,且,因?yàn)?且,所以且且,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為. (2)由(1)可得,因?yàn)橹本€不垂直于軸,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,,則,因?yàn)樵谥本€上,所以,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得,則,則,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則到直線的距離也為,則,因?yàn)樵谥本€的兩端,所以, 則 ,又因?yàn)樵谥本€上,所以, 則四邊形面積,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)

56、,四邊形面積的最小值為. 【考點(diǎn)定位】弦長(zhǎng) 雙曲線 橢圓 最值 【名師點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線方程的求法，是直線與圓錐曲線、圓錐曲線與圓錐曲線間的關(guān)系的綜合題，考查了橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是學(xué)生要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是壓軸題 8. 【2014江蘇，理17】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接. （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般要找到關(guān)系的兩個(gè)等量關(guān)系，本題中橢圓過(guò)點(diǎn)，可把點(diǎn)的坐標(biāo)代入

57、標(biāo)準(zhǔn)方程，得到一個(gè)關(guān)于的方程，另外，這樣兩個(gè)等量關(guān)系找到了；（2）要求離心率，就是要列出關(guān)于的一個(gè)等式，題設(shè)條件是，即，，要求，必須求得的坐標(biāo)，由已知寫(xiě)出方程，與橢圓方程聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)，則，由此可得，代入可得關(guān)于的等式，再由可得的方程，可求得. 試題解析：（1）由題意，，，，又， ∴，解得．∴橢圓方程為． （2）直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，又，由得，即， ∴，化簡(jiǎn)得． 【名師點(diǎn)晴】1．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的

58、標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a，b，c的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)． 9. 【2014江蘇，理18】如圖：為保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)劃要求，新橋與河岸垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心在線段上并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任一點(diǎn)的距離均不少于80，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)位于點(diǎn)正北方向60處，點(diǎn)位于點(diǎn)正東方向170處，（為河岸），. （1）求新橋的長(zhǎng)； （2）當(dāng)多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？ 【答案】（1）；（2）． 【解析】 （2）設(shè)，

59、即，由（1）直線的一般方程為，圓的半徑為，由題意要求，由于，因此，∴∴，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)圓面積最大． 【考點(diǎn)定位】解析幾何的應(yīng)用，直線方程，直線交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)晴】圓錐曲線中的最值問(wèn)題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解． 10. 【2015江蘇高考，18】（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐

60、標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程. 【答案】（1）（2）或． 【解析】 試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一是離心率為，二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得（2）因?yàn)橹本€AB過(guò)F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)

61、間距離公式求出AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長(zhǎng)，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫(xiě)出直線AB方程. 試題解析：（1）由題意，得且， 解得，，則， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）當(dāng)軸時(shí)，，又，不合題意． 當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，， 將的方程代入橢圓方程，得， 則，的坐標(biāo)為，且 ． 若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意． 從而，故直線的方程為， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而． 因?yàn)?，所以，解得? 此時(shí)直線方程為或． 【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系 【名師點(diǎn)晴】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方

62、法一般為待定系數(shù)法：根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單． 11.【2014山東.理21】（本小題滿分14分） 已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， （?。┳C明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； （ⅱ）的面積是否存在最小值？若存

63、在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（I）.（II）（ⅰ）直線AE過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）的面積的最小值為16. 【解析】 試題分析：（I）由拋物線的定義知， 解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為. （II）（?。┯桑↖）知， 設(shè)， 可得，即，直線AB的斜率為， 根據(jù)直線和直線AB平行，可設(shè)直線的方程為， 代入拋物線方程得， 整理可得， 直線AE恒過(guò)點(diǎn). 注意當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過(guò)點(diǎn)， 得到結(jié)論：直線AE過(guò)定點(diǎn). （ⅱ）由（?。┲?，直線AE過(guò)焦點(diǎn)， 得到， 設(shè)直線AE的方程為， 根據(jù)點(diǎn)在直線AE上， 得到，再設(shè)，直線AB的方程為， 可得， 代入拋

64、物線方程得， 可求得，， 應(yīng)用點(diǎn)B到直線AE的距離為. 從而得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值. 試題解析：（I）由題意知 設(shè)，則FD的中點(diǎn)為， 因?yàn)椋? 由拋物線的定義知：， 解得或（舍去）. 由，解得. 所以拋物線C的方程為. （II）（?。┯桑↖）知， 設(shè)， 因?yàn)?，則， 由得，故， 故直線AB的斜率為， 因?yàn)橹本€和直線AB平行， 設(shè)直線的方程為， 代入拋物線方程得， 由題意，得. 設(shè)，則，. 當(dāng)時(shí)，， 可得直線AE的方程為， 由， 整理可得， 直線AE恒過(guò)點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過(guò)點(diǎn)， 所以直線AE過(guò)定點(diǎn). （ⅱ）

65、由（ⅰ）知，直線AE過(guò)焦點(diǎn)， 所以， 設(shè)直線AE的方程為， 因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上， 故， 設(shè)， 直線AB的方程為， 由于， 可得， 代入拋物線方程得， 所以， 可求得，， 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 . 則的面積， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立. 所以的面積的最小值為16. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、中三角形的面積、基本不等式等，本題的（I），根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程；（II）通過(guò)假設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用函數(shù)方程思想及點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，按照“設(shè)而不求”的原則，得出三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式確定面積的最值，本題

66、對(duì)考生復(fù)雜式子的變形能力及邏輯思維能力要求較高.本題易錯(cuò)點(diǎn)是變形出錯(cuò). 本題是一道能力題，屬于難題.在考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想. 12. 【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分） 設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 試題解析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為. （2）（Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得. 解得，或，由題意得，從而. 由（Ⅰ）知，，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為. 設(shè)，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或. 所以，直線的斜率的取值范圍為. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程 【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： (1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)