高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第三講分類討論思想

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1、高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第三講 分類討論思想 【思想方法詮釋】 1．分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解（或分割）成若干個基礎(chǔ)性問題，通過基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題（或綜合性問題）分解為小問題（或基礎(chǔ)性問題），優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 2．分類討論的常見類型： （1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等． （2）由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和

2、公式、函數(shù)的單調(diào)性等． （3）由數(shù)學(xué)運算引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． （4）由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關(guān)系等． （5）由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法． 3．分類討論的一般流程： 【核心要點突破】 要點考向1：根據(jù)數(shù)學(xué)概念的要求分類討論（概念型） 例1：設(shè)0<

3、x<1，a>0且a≠1，比較|log(1－x)|與|log(1＋x)|的大小。 注：本例是由對數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵引發(fā)的分類討論，我們稱為概念分類型．由概念內(nèi)涵分類的還有很多，如絕對值：|a|的定義分為a＞0、a＜0、a=0三種情況；直線的斜率分為：傾斜角，斜率k存在，傾斜角，斜率不存在；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)：與，可分為兩種類型；直線的截距式分：直線過原點時為y=kx，不過原點時為等． 要點考向2：根據(jù)運算的要求或性質(zhì)、定理、公式的條件分類討論 例2：設(shè)等比數(shù)列{a n}的公比為q ，前n項和S n＞0（n =1 , 2 , 3 ,…）. （1）求q的取值范圍；

4、（2）設(shè)b n= a n+2 -a n+1 ,記{b n}的前n項和為T n ，試比較S n與T n的大小 . 思路精析：要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和的公式時，由于公式的要求，分q＝1和q≠1兩種情況 注：（1）一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，均值定理、等比數(shù)列的求和公式等性質(zhì)、定理與公式在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，這時要小心，應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論． （2）分類討論的許多問題有些是由運算的需要引發(fā)的．比如除法運算中分母能否為零的討論；解方程及不等式兩邊同乘以一個數(shù)是

5、否為零，是正數(shù)，還是負(fù)數(shù)的討論；二次方程運算中對兩根大小的討論；求函數(shù)單調(diào)性時，導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論；排序問題、差值比較中的正負(fù)的討論；有關(guān)去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等． （3）在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程中，往往由于實際問題中存在的諸多情況而引起分類討論，特別在近幾年高考中概率的計算有很多題目滲透了分類討論的思想，解題目時要注意分類的原則是“不重不漏”． 要點考向3：根據(jù)字母的取值情況分類討論 例3：設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－2x＋2，對于滿足10，求實數(shù)a的取值范圍。 【解析】當(dāng)a>0時，f(x)＝a（x－）＋2－ ∴ 或或 ∴ a≥1或<

6、a<1或φ 即 a>； 當(dāng)a<0時，，解得φ；[來源:Z&xx&k.Com] 當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合題意 注：題目中含有參數(shù)的問題（含參數(shù)型），主要包括：（1）含有參數(shù)的不等式的求解；（2）含有參數(shù)的方程的求解；（3）對于解析式系數(shù)是參數(shù)的函數(shù)，求最值與單調(diào)性問題；（4）二元二次方程表示曲線類型的判定等．求解這類問題的一般思路是：結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而進行分類討論．討論時，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想． 要點考向4：根據(jù)圖形位置或形狀變動分類討論 例4：在

7、xoy平面上給定曲線y＝2x，設(shè)點A(a,0)，a∈R，曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。 注：一般由圖形的位置或形狀變動引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變動；函數(shù)問題中敬意的變動；函數(shù)圖象形狀的變動；直線由斜率引起的位置變動；圓錐曲線由焦點引起的位置變動或由離心率引起的形狀變動；立體幾何中點、線、面的位置變動等． 【跟蹤模擬訓(xùn)練】 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ） 2．已知函數(shù)的定義域的R，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） 3．正三棱柱的側(cè)面展開圖是兩邊長

8、分別為2和4的矩形，則它的體積為（ ） 4.“直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍”是“直線l的斜率等于-2”的（ ） (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 5．對任意兩實數(shù)a、b,定義運算“*”如下：a*b=,則函數(shù)的值域為（ ） 6.如圖所示，在△AOB中，點A（2，1），B（3，0），點E在射線OB上自O(shè)開始移動.設(shè)OE=x,過E作OB的垂線l，記△AOB在直線l左邊部分的面積為S，則函數(shù)S=f（x）的圖象是（ ） 二、填空題（每小題6分，共18分） 7．設(shè)為橢圓的兩個焦點

9、．P為橢圓上一點．已知P，是一個直角三角形的三個頂點，且，則的值為 8.過點M(2,4)向圓(x-1)2+(y+3)2=1作切線，所得切線方程是__________. 9.將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為b、c,則方程x2+bx+c=0有實根的概率為________. 三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分） 10．已知函數(shù)（a≠0）定義域為，值域為[-5，1]，求常數(shù)a,b的值。 11．已知函數(shù) （1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （2）若方程f(x)=0有三個不等實根，求a的取值范圍． 12.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項

10、和為Sn=2·3n+k(k∈R,n∈N*)， （1）求數(shù)列｛an｝的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項和，試比較3-16Tn與4(n+1)bn+1的大小，并證明你的結(jié)論. 參考答案 1解析：選D．因為漸近線方程為．∴當(dāng)即：，得：，當(dāng)，即：，得，綜上． 2【解析】選C.當(dāng)a=0時，f(x)有意義，當(dāng)a≠0時，由ax2+ax-3≠0,得Δ=a2+12a＜0,即-12＜a＜0.綜合得-12＜a≤0. 3【解析】選D．分兩種情況分別計算得：． 4【解析】選B.若直線l的斜率等于-2，則直線l在y軸上的截距一定是它在x軸上的截距的2倍；但當(dāng)直線l

11、在y軸上的截距是它在x軸上的截距的2倍時，其斜率不一定等于-2，因為直線l可以經(jīng)過原點，其斜率可以為任意值.所以“直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍”是“直線l的斜率等于-2”的必要不充分條件. 5解析：選A．根據(jù)題目給出的情境可得， 由于的圖象在定義域上為增函數(shù)，可得f(x)的值域為（-∞，0]． 6【解析】選D．當(dāng)0

12、1）當(dāng)斜率k不存在時，x=2符合題意； （2）當(dāng)斜率k存在時，則切線方程為y-4=k(x-2), 即kx-y-2k+4=0,圓心（1，-3）到切線的距離為 解得k=, 即切線方程為24x-7y-20=0. 綜上，切線方程為x=2或24x-7y-20=0. 答案：x=2或24x-7y-20=0 9【解析】一枚骰子擲兩次，其基本事件總數(shù)為36，方程有實根的充要條件為b2≥4c. 由此可見，使方程有實根的基本事件個數(shù)為1+2+4+6+6=19，于是方程有實根的概率為P= . 答案： 10解析： 11【解析】(1) f′(x)=x2-(a+1)x+a=

13、(x-a)(x-1). 當(dāng)a=1時，f′(x)=(x-1)2≥0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞); 當(dāng)a＜1時，f′(x)＞0的解集是(-∞,a)∪(1,+∞),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,a)和(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(a,1); 當(dāng)a＞1時，f′(x)＞0的解集是(-∞,1)∪(a,+∞),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,a). （2）方法一：有一個根是0，∴f(x)有三個不等實根等價于方程2x2-3(a+1)x+6a=0有兩個不等于0的相異實根． 由此得解得 ∴a的取值范圍是 方法二：由（1）知，當(dāng)a=1時，f(x)在

14、（-∞，+∞）上遞增，f(x)=0只有一個實根； 當(dāng)a＜1時，，由f(x)=0有3個實根知， 且，解得； 當(dāng)a＞1時， ，由f(x)=0有3個實根知＜0且，解得a＞3; 綜上：a的取值范圍是． 12【解析】（1）由Sn=2·3n+k(k∈R,n∈N*)得 n≥2時，an=Sn-Sn-1=4×3n-1， ∵｛an｝是等比數(shù)列,∴a1=S1=6+k=4， ∴k=-2，得an=4×3n-1(n∈N*). 【備課資源】 1.已知集合A=｛2,3,4｝,B=｛2,4,6,8｝,C=｛(x,y)|x∈A,y∈B,且logxy∈N*｝,則C中元素個數(shù)是（

15、 ） (A)9 (B)8 (C)3 (D)4 【解析】選D.由題意,x可取的值有2,3,4三種可能. 當(dāng)x=2時，y可以取2，4，8三個數(shù)，得到C中元素3個；當(dāng)x=3時，沒有y的值滿足題意；當(dāng)x=4時，y可以取4，得C中元素1個.故C中元素的個數(shù)為3+0+1=4個. 3.將長為15的木棒截成長度為整數(shù)的三段，使它們構(gòu)成一個三角形，求得到的不同三角形的個數(shù). 【解析】可采用分類討論的方法，若最小段長為1，則三角形三邊長可為1，7，7；若最小段長為2，則有2，6，7；若最小段長為3，則有3，5，7；3，6，6；若最小段長為4，則有4，4，7；4，5，6；若最小段長為5，則有5，5，5.共7種不同情況. ∴得到的不同的三角形的個數(shù)為7.