同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習(xí)：第四章 第二節(jié)　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 Word版含解析

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1、課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 故選A. 答案：A 2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b＝(　　) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析：由a＝(2,4)知2a＝(4,8)，所以2a－b＝(4,8)－(－1，1)＝(5,7)．故選A. 答案：

2、A 3．設(shè)向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：由向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，可得4x＝2×6，解得x＝3. 答案：B 4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，則等于(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 解析：由題意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0.∴＝－. 答案：C 5．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE＝CD，若點(diǎn)P為C

3、D的中點(diǎn)，且＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．3 B. C．2 D．1 解析：由題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，建立直角坐標(biāo)系如圖， 則B(1,0)，E(－1,1)， ∴＝(1,0)，＝(－1,1)， ∵＝λ＋μ＝(λ－μ，μ)， 又∵P為CD的中點(diǎn)， ∴＝(，1)， ∴， ∴λ＝，μ＝1， ∴λ＋μ＝， 答案：B 6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3,4)，且a∥b，則m＝ . 解析：由題意得，4m－12＝0，所以m＝3. 答案：3 7．設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝ .

4、解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b，則m＋2＝0，所以m＝－2. 答案：－2 8．已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ＜0)，則m－n＝ . 解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ＜0)，得m2＋n2＝20?、?，　②，聯(lián)立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6. 答案：－6 9．設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2， 求證：A，C，D三點(diǎn)共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三點(diǎn)共線，

5、求k的值． 解析：(1)證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ＝－8e1－2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2 ＝－(－8e1－2e2)＝－， ∴與共線． 又∵與有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線． (2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2. ∵A，C，D三點(diǎn)共線， ∴與共線，從而存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ， 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)， 得解得λ＝，k＝. 10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式； (2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)． 解析：由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)．

6、 ∵A， B，C三點(diǎn)共線，∴∥. ∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2×(2，－2)． ∴解得 ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)． B組——能力提升練 1．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,1)，(，0)，(0，－2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||＝1，則|＋＋|的最小值是(　　) A.－1 B.－1 C.＋1 D.＋1 解析：設(shè)P(cos θ，－2＋sin θ)，則|＋＋|＝＝＝≥＝－1. 答案：A 2．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則＋的最小值是(　　)

7、 A．24 B．8 C. D. 解析：∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0， 化簡(jiǎn)得2x＋3y＝3，又∵x，y均為正數(shù)， ∴＋＝×(2x＋3y) ＝≥ ×＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立． ∴＋的最小值是8.故選B. 答案：B 3．已知AC⊥BC， AC＝BC，D滿足＝t＋(1－t)，若∠ACD＝60°，則t的值為(　　) A. B.－ C.－1 D. 解析：由題意知D在直線AB上．令CA＝CB＝1，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)． 令D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)椤螪CB＝30°，則直線CD的方程為y＝x，易

8、知直線AB的方程為x＋y＝1，由得y＝，即t＝.故選A. 答案：A 4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，若＝＋λ，則||的取值范圍為(　　) A．[2，] B．[2，] C．[0，] D．[2，] 解析：因?yàn)锳B＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，所以·＝3，又＝＋λ，所以||2＝2＋·＋λ22＝4λ2＋4λ＋4，因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，所以點(diǎn)P在線段DE上，其中D，E分別為AB，BC的三等分點(diǎn)，如圖所示，所以0≤λ≤，所以4≤||2≤，所以2≤||≤，故選D. 答案：D 5．(2018·貴陽市檢測(cè))如圖，

9、在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB＝2，AD＝DC＝1，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分(包括邊界)運(yùn)動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R，則4x－y的最大值為 ． 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，D(0,1)，C(1,1)，B(2,0)， 直線BD的方程為x＋2y－2＝0，C到BD的距離d＝， ∴圓弧以點(diǎn)C為圓心的圓方程為(x－1)2＋(y－1)2＝， 設(shè)P(m，n)則＝(m，n)， ＝(0,1)，＝ (2,0)，＝(－1,1)， 若＝x＋y， ∴(m，n)＝(2x－y，y)，

10、 ∴m＝2x－y，n＝y(tǒng)， ∵P在圓內(nèi)或圓上， ∴(2x－y－1)2＋(y－1)2≤， 設(shè)4x－y＝t，則y＝4x－t，代入上式整理得80x2－(48t＋32)x＋8t2＋7≤0， 設(shè)f(x)＝80x2－(48t＋32)x＋8t2＋7≤0， x∈[，]， 則， 解得2≤t≤3＋， 故4x－y的最大值為3＋. 答案：3＋ 6．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． 求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n. 解析：由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以解得 7．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線． 解析：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0. (2)證明：當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， ∴與共線，又有公共點(diǎn)A，∴A，B，M三點(diǎn)共線．