高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第10章 第56課 幾何概型

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1、 第56課 幾何概型 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 幾何概型 √ 1．幾何概型的概念 設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)．這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型． 2．幾何概型的概率計(jì)算公式 一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(

2、A)＝. 3．要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 4．隨機(jī)模擬方法 (1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法． (2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法．這個(gè)方法的基本步驟是①用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；③計(jì)算頻率fn(A)＝作為所求概率的近似值． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)

3、誤的打“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(　　) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是________．(填序號(hào)) 圖56-1 ①　[P(①)＝，P(②)＝，P(③)＝，P(④)＝， ∴P(①)>P(③)＝P(④)>P(②

4、)．] 3．(2016·全國卷Ⅱ改編)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為________． [如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝.] 4．如圖56-2所示，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________． 圖56-2 0．18　[由題意知， ＝＝0.18. ∵S正＝1，∴S陰＝

5、0.18.] 5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是________． 1－　[如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S＝4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積S陰＝4－π， ∴所求事件的概率P＝＝1－.] 與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 　(1)(2016·全國卷Ⅰ改編)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是________． 圖56

6、-3 (2)如圖56-3所示，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________． (1)　(2)　[(1)如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝. (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點(diǎn)P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn)P′在上發(fā)生”． 又

7、在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動(dòng)范圍，當(dāng)考查對象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長度”為測度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置． 2．(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計(jì)算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯(cuò)求P＝. (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角對應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率．事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比． [變式訓(xùn)練1]　(1)設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連結(jié)，則弦

8、長超過半徑倍的概率是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172308】 (2)(2016·山東高考)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． (1)　(2)　[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長|AB|＞R， ∴P＝＝. (2)由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得<3， 即16k2<9，解得－

9、]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為________． 　[因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 角度2　與線性

10、規(guī)劃交匯問題 　由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為________． [如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD， 易知C，S△BCD＝××(2－1)＝， S△OAB＝×2×2＝2， 故P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合． 2．解題時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 與體積有關(guān)的

11、幾何概型 　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172309】 1－　[設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A. 則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心，以1為半徑的半球的外部． ∴V正方體＝23＝8，V半球＝π·13×＝π. ∴P(A)＝＝1－.] [規(guī)律方法]　對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件求解． [變式訓(xùn)練2]　如圖56-4，正方體A

12、BCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為________． 圖56-4 　[設(shè)四棱錐M-ABCD的高為h，由于V正方體＝1. 則·SABCD·h＜， 又SABCD＝1，∴h＜， 即點(diǎn)M在正方體的下半部分， ∴所求概率P＝＝.] [思想與方法] 1．古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：前者基本事件的個(gè)數(shù)有限，后者基本事件的個(gè)數(shù)無限． 2．判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系． (2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長度；若

13、變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域． [易錯(cuò)與防范] 1．易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點(diǎn)是試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是無限的，古典概型中試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的． 2．準(zhǔn)確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵． 3．幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果． 課時(shí)分層訓(xùn)練(五十六) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172310】 　

14、[在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1， 即－2≤X≤1的概率為P＝.] 2．如圖56-5所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機(jī)扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是________． 圖56-5 3π　[設(shè)陰影部分的面積為S，且圓的面積S′＝π·32＝9π. 由幾何概型的概率得＝，則S＝3π.] 3．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖56-6所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________． 圖56-6 　[設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝＝＝.] 4．已

15、知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172311】 　[由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)O為中心的正方形，直線y＝kx將其面積平分，如圖， 所求概率為.] 5．一個(gè)長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個(gè)角上各裝有一個(gè)捕蠅器(大小忽略不計(jì))，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率為________． 　[屋子的體積為5×4×3＝60米3， 捕蠅器能捕捉到的空間體積為×π×13×3＝米3

16、， 故蒼蠅被捕捉的概率是＝.] 6．(2015·山東高考改編)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為________． 　[不等式－1≤log ≤1可化為log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由幾何概型的概率公式得P＝＝.] 7．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜VS-ABC的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172312】 　[當(dāng)點(diǎn)P到底面ABC的距離小于時(shí)， VP-ABC＜VS-ABC. 由幾何概型知，所求概率為P＝1－3＝.] 8．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)

17、實(shí)數(shù)x，使得sin x∈的概率為________． 　[由0≤sin x≤，且x∈[0，π]， 解得x∈∪. 故所求事件的概率P＝＝.] 9．小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 　[∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝.] 10.如圖56-7，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此

18、點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________． 圖56-7 　[因?yàn)閒(x)＝B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，E(0,1)． 所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)． 故矩形ABCD的面積為2×3＝6，S陰影＝×1×3＝. 根據(jù)幾何概型得P＝＝.] 11．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172313】 　[如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(

19、不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為＝.] 12．隨機(jī)向邊長為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是________． 　[由題意作圖，如圖，則點(diǎn)P應(yīng)落在深色陰影部分，S三角形＝×6×＝12，三個(gè)小扇形可合并成一個(gè)半圓，故其面積為，故點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率為＝.] B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 3　[由|x|≤m，得－m≤x≤m. 當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得＝， 解得m＝2.5，矛盾，舍去．

20、當(dāng)2＜m＜4時(shí)，由題意得＝，解得m＝3.] 2．在區(qū)間[0,5]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根的概率為________． 　[∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根， ∴解得

21、正數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為________． ＋　[由0＜y＜(a＞0)， 得(x－a)2＋y2＜a2， 因此半圓區(qū)域如圖所示． 設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)＝＝＝＋.] 5．(2015·湖北高考改編)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則下列正確的是________． ①p1

22、在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“x＋y≤”對應(yīng)的圖形為陰影△ODE(如圖①)， 其面積為××＝，故p1＝<，事件“xy≤”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分(如圖②)，其面積顯然大于，故p2>，則p1<