8、n.
[證明] (1)當(dāng)n＝1時(shí)，∵a2是a＋a2－1＝0的負(fù)根，
∴a1>a2.
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，ak＋10.
又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，
∴ak＋20，n∈N＋.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；
9、
(2)證明通項(xiàng)公式的正確性. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172359】
[解] (1)當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0)．
當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1，
將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N＋)．
(2)證明：①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N＋)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
將ak＝－代入上式，整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k
10、＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立．
由①②可知對(duì)所有n∈N＋，an＝－都成立．
[規(guī)律方法] 1.猜想{an}的通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確計(jì)算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時(shí)可多計(jì)算幾項(xiàng))；(2)證明ak＋1時(shí)，ak＋1的求解過程與a2，a3的求解過程相似，注意體會(huì)特殊與一般的辯證關(guān)系．
2．“歸納—猜想—證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性．
[變式訓(xùn)練3] 已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N＋.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
11、[解] 由x1＝及xn＋1＝，
得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，已證命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)命題成立，
即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝＝
>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．
結(jié)合(1)(2)知，對(duì)?n∈N＋命題成立．
[思想與方法]
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步
12、驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．
2．在推證n＝k＋1時(shí)，可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè)．此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要弄清n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系．在推證時(shí)，應(yīng)靈活運(yùn)用分析法、綜合法、反證法等方法．
[易錯(cuò)與防范]
1．第一步驗(yàn)證當(dāng)n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．
2．由n＝k時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題成立的過程中，一定要用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．
3．解“歸納——猜想——證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)．否則將會(huì)做大量無用功．
課時(shí)分層訓(xùn)練(十二)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時(shí)：30分鐘)
1
13、．(2017·如皋市高三調(diào)研一)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：
12－22＋32＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172360】
[證明] n＝1時(shí)，1－22＝－3，左邊等于右邊；
假設(shè)n＝k時(shí)，有
12－22＋32－…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，
則n＝k＋1時(shí)，
12－22＋32－…＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]得證．
所以12－22＋32－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)成立．
14、
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2)．
[證明] (1)當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＝<2－＝，命題成立．
(2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即
1＋＋＋…＋<2－.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－
＝2－命題成立．
由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2時(shí)均成立．
3．(2017·鎮(zhèn)江期中)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，n∈N＋，a1＝.
(1)計(jì)算a2，a3，a4；
(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
[解] (1)由遞推公式，得a2＝＝＝，
a3＝，a4＝.
(2)猜想：an＝.
證明：①n＝1時(shí)，由已知，等式
15、成立．
②設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，等式成立．即ak＝.
所以ak＋1＝＝＝＝＝，
所以n＝k＋1時(shí)，等式成立．
根據(jù)①②可知，對(duì)任意n∈N＋，等式成立．
即通項(xiàng)an＝.
4．(2017·鹽城三模)記f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈N＋)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)，試猜想所有f(n)的最大公約數(shù)，并證明.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172361】
[解] (1)因?yàn)閒(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C，
所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.
(2)由(1)中結(jié)論可猜想所
16、有f(n)的最大公約數(shù)為4.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明所有的f(n)都能被4整除即可．
(ⅰ)當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝8能被4整數(shù)，結(jié)論成立；
(ⅱ)假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝(3k＋5)C
＝(3k＋2)C＋3C
＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C
＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C
＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C，此式也能被4整除，即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上所述，所有f(n)的最大公約數(shù)為4.
B組 能力提升
(建議用時(shí)：15分鐘)
1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λa
17、n＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋，λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明．
[解] (1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
(2)由(1)可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式為：
an＝(n－1)λn＋2n.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝1,2,3,4時(shí)，等式顯然成立，
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N＋)時(shí)等式成立，
即ak＝(k－1)λk＋2k，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋
18、(2－λ)2k
＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想成立，
由①②知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)λn＋2n(n∈N＋，λ>0)．
2．(2017·揚(yáng)州期中)已知Fn(x)＝(－1)kCfk(x)](n∈N)．
(1)若fk(x)＝xk，求F2015(2)的值；
(2)若fk(x)＝(x?{0，－1，…，－n})，求證：Fn(x)＝.
[解] (1)Fn(x)＝(－1)kCfk(x)]＝(－x)kC]＝(1－x)n，∴F2015(2)＝－1.
(
19、2)①n＝1時(shí)，左邊＝1－＝＝右邊，
②設(shè)n＝m時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x(x≠0，－1，…，－m)，
有(－1)kC＝，
那么，當(dāng)n＝m＋1時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x(x≠0，－1，…，－(m＋1))，有
(－1)kC＝1＋(－1)k[C＋C]＋(－1)m＋1
＝(－1)kC＋(－1)kC＝(－1)kC－·
＝－·
＝＝.
即n＝m＋1時(shí)，等式成立．
故對(duì)一切正整數(shù)n及一切實(shí)數(shù)x(x≠0，－1，…，－n)，有
(－1)kC＝.
3．(2017·南通調(diào)研一)已知函數(shù)f0(x)＝x(sin x＋cos x)，設(shè)fn(x)是fn－1(x)的導(dǎo)數(shù)，n∈N＋.
(1)求f1(x)，f2(x)的表達(dá)
20、式；
(2)寫出fn(x)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
[解] (1)因?yàn)閒n(x)為fn－1(x)的導(dǎo)數(shù)，
所以f1(x)＝f′0(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)
＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，
同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.
(2)由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，
把f1(x)，f2(x)，f3(x)分別改寫為
f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，
f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos，
f3(x)＝(x＋3)
21、sin＋(x－3)cos，
猜測(cè)fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos(*)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述等式．
(ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)知，等式(*)成立；
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式(*)成立，即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
fk＋1(x)＝f′k(x)
＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k)
＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]
＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]cos，
即n＝k＋1時(shí)，命題成立．
由(ⅰ)(ⅱ)可知，對(duì)?n∈N＋，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos.
4．(2
22、017·蘇北四市期末)已知數(shù)列{an}滿足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N＋.
(1)求證：g(2)>；
(2)求證：當(dāng)n≥3時(shí)，g(n)>.
[證明] (1)由條件an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋，
當(dāng)n＝2時(shí)，g(2)＝＋＋＝＋＋＝>.
(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
①當(dāng)n＝3時(shí)，g(3)＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋
>＋＋＝＋＋>＋＋>，
所以當(dāng)n＝3時(shí)，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即g(k)>，
則n＝k＋1時(shí)，
g(k＋1)＝g(k)＋
>＋>＋－
＝＋＝＋，
由k≥3可知，3k2－7k－3>0，即g(k＋1)>.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合①②可得，當(dāng)n≥3時(shí)，g(n)>.
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第3章 第68課 數(shù)學(xué)歸納法
