高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.7 簡單幾何體的面積和體積 1.7.3 球課件 北師大版必修2

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1、7 7.3 3球1.理解球的截面,并能解決相關(guān)問題.2.了解圓的切線的相關(guān)概念,記住球的表面積和體積公式.3.會用球的表面積公式和體積公式進行有關(guān)計算,并能解決一些簡單的實際問題.1.球的截面(1)如圖,用一個平面去截半徑為R的球O,截面是圓面O,則球心與截面圓心的連線OO垂直于截面.設(shè)球心到截面的距離為d,O的半徑為r,則有如下關(guān)系:R2=r2+d2.(2)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的大圓;被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的小圓.2.球的切線當直線與球有唯一交點時,稱直線與圓相切,其中它們的交點稱為直線與球的切點,過球外一點的所有切線的長度都相等.3.球的體積4.球的表面積設(shè)球的半徑

2、為R,那么它的表面積S=4R2.說明:(1)球的表面積和體積公式均是關(guān)于球的半徑的函數(shù).(2)球的表面不像柱體、錐體和臺體那樣可以展開在一個平面上,即使是球面上任意小的一塊,也不能展開在一個平面上,因此球的表面沒有展開圖.【做一做1】 直徑為6的球的表面積和體積分別是()A.144,144 B.144,36C.36,144D.36,36答案:D【做一做2】 8個半徑為1的鐵球,熔化成一個大球,則大球的表面積是.答案:16【做一做3】 過球的某一條半徑的中點,作一個垂直于這條半徑的截面,截面面積為48 cm2,求球的表面積.題型一題型二題型三題型四【例1】 在球內(nèi)有相距為1的兩個平行截面,截面面

3、積分別是5和8,球心不在兩截面之間,求球的表面積.分析:求球的表面積或體積只需要求出球的半徑,要求球的半徑只需解球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離組成的直角三角形.題型一題型二題型三題型四解:設(shè)球的半徑為R,過截面圓圓心作垂直于截面的球的軸截面(過軸的截面),如圖所示.圓O是圓心在球心的圓,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑.過圓心O作OC1垂直A1B1于點C1,并延長交A2B2于點C2.因為A1B1A2B2,所以O(shè)C2A2B2.由圓的性質(zhì)可得,C1和C2分別是A1B1和A2B2的中點.題型一題型二題型三題型四反思反思球的軸截面(過球心的截面)是將球的問題轉(zhuǎn)化為圓的問題的關(guān)鍵,因

4、此必須抓住球的軸截面,利用其性質(zhì)列出方程(組),求球的半徑,進而解決問題.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】 三個球的半徑之比為123,則最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()答案:C題型一題型二題型三題型四反思計算球的體積或體積的簡單應(yīng)用都需要認真解決球的半徑問題.題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】 一個平面截一球得到直徑為6 cm的圓面,球心到這個截面的距離為4 cm,則球的體積為.解析:如圖所示,由已知,O1A=3 cm,OO1=4 cm,R=OA=5 cm,題型一題型二題型三題型四【例3】 在球面上有四個點P,A,B,C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=P

5、C=a,求這個球的體積.分析:因為PA,PB,PC是兩兩互相垂直且相等的三條棱,所以可以將三棱錐P-ABC看成一個正方體的一角,P,A,B,C四點在球面上,所以此球可視為以PA,PB,PC為相鄰三條棱的正方體的外接球,其直徑為正方體的體對角線.題型一題型二題型三題型四解:設(shè)球的半徑為R,因為PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,所以以PA,PB,PC為相鄰三條棱可以構(gòu)造正方體.又因為P,A,B,C是球面上的四點,所以球是所構(gòu)造的正方體的外接球,正方體的體對角線是球的直徑,反思反思與球有關(guān)的組合體問題,通常有兩種情況:一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的

6、位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.球與旋轉(zhuǎn)體的組合,通常作它們的軸截面,球與多面體的組合,通常通過多面體的一條側(cè)棱和球心,或“切點”“接點”作出截面圖.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】 有三個球,第一個球內(nèi)切于正方體,第二個球與這個正方體各條棱相切,第三個球過這個正方體的各個頂點,求這三個球的表面積之比.解:設(shè)正方體的棱長為a.正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點是六個正方形的中心,經(jīng)過四個切點及球心作截面,如圖甲,所以有2r1=a,題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四易錯點:考慮問題不全而致誤【例4】 一個球內(nèi)有相距9 cm的兩個平行截面,面積分別為49

7、 cm2和400 cm2,求球的表面積.錯解:如圖所示,設(shè)OD=xcm,由題意知CA2=49,CA=7 cm.又BD2=400,BD=20 cm.設(shè)球的半徑為Rcm,則有(CD+DO)2+CA2=R2=OD2+DB2,即(9+x)2+72=x2+202,x=15,R=25.S球=4R2=2 500 cm2.錯因分析:本題出現(xiàn)錯解的原因在于考慮不周,由于球心可能在兩個截面之間,也可能在兩個截面的同一側(cè),因此解決此題要分類討論.題型一題型二題型三題型四正解:(1)當球心在兩個截面的同側(cè)時,解法同錯解.(2)當球心在兩個截面之間時,如圖所示,設(shè)OD=x,則OC=9-x.設(shè)球的半徑為R,可得x2+20

8、2=(9-x)2+72=R2,此方程無正數(shù)解,即此種情況不可能.綜上可知,球的表面積是2 500 cm2.題型一題型二題型三題型四【變式訓練4】 設(shè)球O的半徑為5,一個內(nèi)接圓臺的兩底面半徑分別是3和4,求圓臺的體積.解:如圖所示,分兩種情況,1 2 3 4 5答案:B 1 2 3 4 52.如果兩個球的半徑之比為13,那么這兩個球的表面積之比為()A.19 B.127C.13D.11解析:設(shè)兩個球的半徑分別為R1,R2,答案:A1 2 3 4 53.兩個球的表面積之差為48,它們的大圓周長之和為12,則這兩個球的半徑之差為()A.4B.3C.2D.1解析:設(shè)兩個球的半徑分別為R,r(Rr).由題意,知答案:C1 2 3 4 54.一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面邊長為1 cm,那么該正四棱柱的側(cè)面積為.1 2 3 4 55.某個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m).求:(1)該幾何體的表面積(結(jié)果保留);(2)該幾何體的體積(結(jié)果保留).1 2 3 4 5