《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第四節(jié) 數(shù)列求和
[考綱傳真] (教師用書(shū)獨(dú)具)1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見(jiàn)的求和方法．
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第87頁(yè))
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1．公式法
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝＝na1＋d；
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝
2．幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減．
(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變
2、形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
(5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
[基本能力自測(cè)]
3、
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝.( )
(2)當(dāng)n≥2時(shí)，＝.( )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得．( )
(4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S5等于( )
A．1 B.
C. D．
B [∵an＝＝－，
∴
4、S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]
3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，前n項(xiàng)和為9，則n等于( )
A．9 B．99
C．10 D．100
B [∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99，故選B.]
4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝________.
9 [S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]
5．若數(shù)列{
5、an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝__________.
2n＋1－2＋n2 [Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第87頁(yè))
分組轉(zhuǎn)化求和
(20xx·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
[解] (1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)．
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
6、
因?yàn)閍1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋＝n2＋.
[規(guī)律方法] 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．
(2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．
易錯(cuò)警示：注
7、意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的分類(lèi)討論．
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·南昌一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.
[解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，
∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)．
∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)
＝(－2)×n＝－2n.
8、
裂項(xiàng)相消法求和
(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
[解] (1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
兩式相減得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式，
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.
由(1)知＝＝－，
則Sn＝－＋－＋…＋－＝.
[規(guī)律方法] 利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng),(1)抵消后并不一
9、定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).,(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).,(3)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·石家莊一模)已知等差數(shù)列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項(xiàng)和S10＝100.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140181】
[解] (1)由已知得
解得
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1
10、.
(2)bn＝＝，
所以Tn＝
＝＝.
錯(cuò)位相減法求和
(20xx·山東高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)設(shè){an}的公比為q，
由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，
又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1＝2，q＝2，
所以an＝2n.
(2)由題意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
所以bn
11、＝2n＋1.
令cn＝，則cn＝.
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
兩式相減得
Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.
[規(guī)律方法] (1)錯(cuò)位相減法求和的適用范圍
如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和.
(2)錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng)
①在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
②在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·石家莊
12、質(zhì)檢(二))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N＋).
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140182】
(1)求m的值；
(2)若數(shù)列{bn}滿足＝log2bn(n∈N＋)，求數(shù)列{(an＋6)·bn}的前n項(xiàng)和．
[解] (1)由已知得am＝Sm－Sm－1＝4，
且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14，
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則2am＋3d＝14，
∴d＝2.
由Sm＝0，得ma1＋×2＝0，即a1＝1－m，
∴am＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4，
∴m＝5.
(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴an＝2n－6，
∴n－3＝log2bn，得bn＝2n－3.
∴(an＋6)·bn＝2n×2n－3＝n×2n－2.
設(shè)數(shù)列{(an＋6)·bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，
∴Tn＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，?、?
2Tn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，?、?
①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1
＝－n×2n－1
＝2n－1－－n×2n－1，
∴Tn＝(n－1)·2n－1＋(n∈N＋)．
新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版
